§ 126. Околозвуковой закон подобия

Развитая в §§ 123—125 теория сверх- и дозвуковых обтека­ний тонких тел неприменима в случае околозвукового движения, когда становится несправедливым линеаризованное уравнение для потенциала. В этом случае картина течения во всем про­странстве определяется нелинейным уравнением (114,10):

^{*-£-&—£-+-& <126.'>}

(или, при плоском движении, эквивалентным ему уравнением Эйлера —- Трикоми). Решение этих уравнений для конкретных случаев, однако, весьма затруднительно. Поэтому существенный интерес представляют правила подобия, которые можно устано­вить для таких течений, не прибегая к их конкретному решению. Рассмотрим сначала плоское течение, и пусть

Y = 6f(x/l) (126,2)

есть уравнение, определяющее форму обтекаемого тонкого кон­тура, причем / есть его длина (в направлении обтекания), а 6 характеризует его толщину (6<С/). Изменением двух парамет­ров I и 6 получим семейство подобных контуров. Уравнение движения гласит:

со следующими граничными условиями. На бесконечности ско­рость равна скорости vi невозмущенного потока, т. е.

(см. определение потенциала ф согласно (114,9)). На профиле же скорость должна быть направлена по касательной к нему:

в„ (Эф dY б /х\

ввиду тонкости профиля можно требовать выполнения этого условия при у = 0.

Введем новые безразмерные переменные согласно

l - Ш^2/3 _

х = 1х, у = ^ у₁₃у, Ф = —1/гф(*. 9) (126,6)

(мы ввели угол 0 = 6//, характеризующий «угол раствора» тела или угол атаки). Тогда мы получим уравнение

„ дф <Э²ф д²ф

с граничными условиями

^{f =0н.оо, f при 8^0.}

K = Thas- (126,7)

^где

М, — 1 (о.в)^:

Эти условия содержат лишь один параметр: К. Таким образом, мы получили искомый закон подобия: плоские околозвуковые те­чения с одинаковыми значениями числа К подобны, как это уста­навливается формулами (126,6) (С. В. Фалькович, 1947).

Обратим внимание на то, что в выражение (126,7) входит также и единственный параметр а*, характеризующий свойства самого газа. Поэтому полученное правило определяет также и подобие по изменению рода газа.

В условиях рассматриваемого приближения давление опре­деляется формулой

Вычисление с помощью выражений (126,6) показывает, что коэффициент давления на профиль будет функцией вида

£'(*• тУ

Коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы опреде­ляются интегралами по контуру профиля:

C_x = -j\c_p^dx, C_y=j§C_pdx

и, следовательно, являются функциями вида ')

fl5/3 _fl2/3

С_х = ±щ-Ш). С_у = ±щГ_у{К). (126,8)

Совершенно аналогичным образом можно получить закон подобия для трехмерного обтекания тонкого тела, форма кото­рого задается уравнениями вида

У = 6/, (у), Z = 6f₂(-f) (126,9)

с двумя параметрами б и /(б <С /). Существенное отличие от плоского случая связано с тем, что потенциал имеет при

') Область применимости этих формул определяется неравенством | Mi — 1| < 1. Линеаризованной же теории соответствуют большие значе­ния К, т. е. | Mi — 11 » в²". В области 1 > Mi — 1 > б²/' формулы (126,8) должны, следовательно, переходить в формулы (125,6—8) линеаризованной теории. Это значит, что при больших К функции f_x и /„ должны быть про­порциональны К~^иг.

2->-0 логарифмическую особенность (см., например, формулы обтекания тонкого конуса в § 113). Поэтому граничное условие на оси х должно определять не сами производные дщ/ду, dcp/dz, а остающиеся конечными произведения:

" ду dx ' дг dx '

Легко убедиться в том, что преобразованием подобия в этом случае является (снова вводим угол 0 = 6/£)

x = lx, y = —L^g, z = —i—г, ф = /е²ф, (126,10) оа. На,

причем параметр подобия

(126,11)

(Т. Кагтап, 1947). Для коэффициента давления на поверхность тела получим выражение вида

С_Р = &Р(К, х/1),

а для коэффициента силы сопротивления соответственно')

С_л = 6⁴/(/С). (126,12)

Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым положительным, так и к малым отрицательным значениям Mi—1. Если в точности Mi = 1, то параметр подобия /( = 0 и функции в формулах (126,8) и (126,12) сводятся к постоянным, так что эти формулы полностью определяют зависимость С_х и С_у от угла 6 и свойств газа а¹¹.