Глава II

вязкая жидкость

§ 15. Уравнения движения вязкой жидкости

Мы переходим теперь к изучению влияния, которое оказы­вают на движение жидкости происходящие при движении про­цессы диссипации энергии. Эти процессы являются выражением всегда имеющей место в той или иной степени термодинамиче­ской необратимости движения, связанной с наличием внутрен­него трения (вязкости) и теплопроводности.

Для того чтобы получить уравнения, описывающие движение вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнение движения идеальной жидкости. Что касается урав­нения непрерывности, то, как явствует из самого его вывода, оно относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой. Уравнение же Эйлера должно быть изменено.

Мы видели в § 7, что уравнение Эйлера может быть напи­сано в виде

д дЩ_к Ж™** dxj'

где Uik — тензор плотности потока импульса. Поток импульса, определяемый формулой (7,2), представляет собой чисто обра­тимый перенос импульса, связанный просто с механическим пе­редвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления. Вяз­кость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.

Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно полу­чить, прибавив к «идеальному» потоку импульса (7,2) дополни­тельный члена^, определяющий необратимый, «вязкий», перенос импульса в жидкости. Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде

П/й = pb_ik + 9V_tv_k — o'_tk = — o_ik + pv_tv_k. (15,1)

Тензор

°tk = -Pbib + <k (¹⁵-2)

называют тензором напряжений, a a'_tk — вязким тензором на­пряжений, oik определяет ту часть потока импульса, которая не связана с непосредственным переносом импульса вместе с мас­сой передвигающейся жидкости¹).

Установить общий вид тензора a'_lk можно, исходя из следую­щих соображений. Процессы внутреннего трения в жидкости воз­никают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому aik должно зависеть от производных от скорости по координатам. Если гра­диенты скорости не очень велики, то можно считать, что обус­ловленный вязкостью перенос импульса зависит только от пер­вых производных скорости. Самую зависимость a'_ik от произ­водных dvi/дхи можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от dvi/dXk члены должны отсутствовать в выра­жении для a'_ik, поскольку a'_ik должны обратиться в нуль при v — const. Далее замечаем, что а'_1к должно обращаться в нуль также и в том случае, когда вся жидкость как целое совершает равномерное вращение, поскольку ясно, что при таком движении никакого внутреннего трения в жидкости не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью Q скорость v равна векторному произведению [Qr]. Линейными комбинациями про­изводных dvi/dxk, обращающимися в нуль при v == [Qr], яв­ляются суммы

^дхк ^dxi '

Поэтому a'_ik должно содержать именно эти симметричные ком­бинации производных dvi/dx^

Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетво­ряющего этим условиям, является

/dv, dv_b 2 dv,\ dv,

^{°» = 4^ + ^7 ~ т 6-^7J + 4 <15-3>}

с независящими от скорости коэффициентами ц и £; в этом утверждении использована изотропия жидкости, вследствии ко­торой ее свойства как таковой могут характеризоваться лишь скалярными величинами (в данном случае — ц и £). Члены в (15,3) сгруппированы таким образом, что выражение в скоб­ках дает нуль при свертывании (т. е. при суммировании компо­нент с I = k). Величины rj и £ называют коэффициентами вязко­сти (причем % часто называют второй вязкостью). Как будет

') Мы увидим ниже, что a_ik содержит член, пропорциональный б,*, т. е. член такого же вида, как и P^_ik- Поэтому, строго говоря, после такого ви­доизменения формы тензора потока импульса должно быть уточнено, что именно подразумевается под давлением р. См. об этом конец § 49.

показано в §§ 16, 49, оба они положительны:

г)>0, $>0. (15,4)

Уравнения движения вязкой жидкости можно теперь полу­пи

чить непосредственно путем прибавления выражения -т— к правой стороне уравнения Эйлера

(dv_[ dv_t \ dp

-oT^+Vk'dir_k)^~-dT_i-

Таким образом, получаем: . / dv. dv. \

~~ dx_{ ~*~ dx_h \^ц \ dx_k ~*~ dx_l 3 °^ik dx_t)l^ dx_t \}> dx_t ) '

(15,5)

Это есть наиболее общий вид уравнений движения вязкой жид­кости. Величины ц, % являются, вообще говоря, функциями дав­ления и температуры. В общем случае р, Т, а потому и п, EJ, не постоянны вдоль всей жидкости, так что ц и Е; не могут быть вынесены из-под знака производной.

В большинстве случаев, однако, изменение коэффициентов вязкости вдоль жидкости незначительно, и потому можно счи­тать их постоянными. Тогда уравнения (15,5) можно представить в векторном виде:

p[|f + (vv)v] = — grad р + иДу + (£+ j) grad div v. (15,6)

Это — так называемое уравнение Навье — Стокса.

Оно существенно упрощается, если жидкость можно считать несжимаемой. Тогда divv —О и последний член справа в (15,6) исчезает. Рассматривая вязкую жидкость, мы фактически всегда будем считать ее несжимаемой и соответственно этому пользо­ваться уравнением движения в виде ')

lL _{+ {vv)v =} _l_{gradp +} ^_Av. (15₍₇₎

Тензор напряжений в несжимаемой жидкости тоже принимает простой вид:

(dv, dv_b \

') Уравнение (15,7) было впервые сформулировано на основе модель­ных представлений Навье (С. L. Navier, 1827). Вывод уравнений (15,6—7) (без члена с £), близкий к современному, был дан Стоксом (G. G. Stokes, 1845).

+ <¹⁵'⁸)

Мы видим, что в несжимаемой жидкости вязкость описы­вается всего одним коэффициентом. Поскольку практически жидкость можно очень часто считать несжимаемой, обычно иг­рает роль именно этот коэффициент вязкости и. Отношение

v = n/p (15,9)

называют кинематической вязкостью (а о самой ц говорят тогда как о динамической вязкости). Приведем значения величин ц и v для некоторых жидкостей и газов .(при температуре 20° С) в абсолютных единицах:

Воздух . Спирт . . Глицерин Ртуть . .

т), г/с • см v, см²/с Вода 0,010 0,010

1,8 - 10—⁴ 0,150

0,018 0,022

8,5 6,8

0,0156 0,0012

Упомянем, что динамическая вязкость газов при заданной тем­пературе не зависит от давления. Кинематическая же вязкость соответственно обратно пропорциональна давлению.

Из уравнения (15,7) можно исключить давление таким же образом, как это было сделано раньше с уравнением Эйлера. Применив к обеим сторонам уравнения операцию rot, получим:

д

-£т- rot v = rot [v rot v] + vA rot v.

(ср. уравнение (2,11) для идеальной жидкости). Поскольку здесь идет речь о несжимаемой жидкости, этому уравнению можно придать другой вид, раскрыв первый член в его правой части по правилам векторного анализа и учтя равенство divv = 0:

-J}-rotv -;- (vv) rotv — (rotv • v)v = vArot v. (15,10)

По известному распределению скоростей, распределение давле­ния в жидкости может быть найдено путем решения уравнения типа уравнения Пуассона:

оно получается применением к уравнению (15,7) операции div. Приведем здесь также уравнение, которому удовлетворяет функция тока ^(х, у) при двухмерном течении несжимаемой вяз­кой жидкости. Оно получается подстановкой (10,9) в уравнение (16,10):

Необходимо написать еще граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости. Между поверхностью твердого тела и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы молекуляр­ного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы прили­пая к ней. Соответственно этому граничное условие к уравне­ниям движения вязкой жидкости состоит в требовании обраще­ния в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверх­ностях:

v = 0. (15,13)

Подчеркнем, что здесь требуется исчезновение как нормальной, так и тангенциальной компонент скорости, между тем как гра­ничные условия к уравнениям идеальной жидкости требуют об­ращения в нуль только v„').

В общем случае движущейся поверхности скорость v должна быть равна скорости этой поверхности.

Легко написать выражение для силы, действующей на сопри­касающуюся с жидкостью твердую поверхность. Сила, действую­щая на некоторый элемент поверхности, есть не что иное, как поток импульса через этот элемент. Поток импульса через эле­мент поверхности df есть

П** df_k = (pv_tv_k — a_ik) df_k.

Написав dfk в виде dfk = n_kdf, где n — единичный вектор нор­мали к поверхности, и помня, что на твердой поверхности v = О²), находим, что сила Р, действующая на единицу площади поверхности, равна

Pi⁼=-°ikn_k = pn_i-o'_lkn_k. (15,14)

Первый член есть обычное давление жидкости, а второй пред­ставляет собой действующую на поверхность силу трения, обус­ловленную вязкостью. Подчеркнем, что п в (15.14) есть еди­ничный вектор нормали, внешней по отношению к поверхности жидкости, т. е. внутренней по отношению к твердой поверхности.

') Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить лиш« нему (по сравнению со случаем идеальной жидкости) граничному условию обращения в нуль тангенциальной скорости. Математически это связано с бо­лее низким (первым) порядком этого уравнения по координатным производ­ным, чем порядок (второй) уравнения Навье — Стокса.

²) При определении действующей на поверхность силы надо рассматри­вать данный элемент поверхности в системе отсчета, в которой он покоится. Сила равна просто потоку импульса только при неподвижной поверхности.

Если мы имеем границу раздела двух несмещивающихся жидкостей (или жидкости и газа), то условия на этой поверх­ности гласят, что скорости обеих жидкостей должны быть равны и силы, с которыми они действуют друг на друга, должны быть

одинаковы по величине и противоположны по направлению. Вто­рое из этих условий записывается в виде

где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям. Векторы нор­мали п⁽¹⁾ и п⁽²⁾ имеют взаимно противоположные направления, n<'> = — n⁽²⁾ s= п, так что можно написать:

= (15.16)

На свободной поверхности жидкости должно выполняться ус­ловие

^aikⁿk^^a\kⁿk~= 0. (15,16)

Уравнения движения в криволинейных координатах

Приведем для справок уравнения движения вязкой несжи­маемой жидкости в часто используемых криволинейных коор­динатах.

В цилиндрических координатах г, q>, г компоненты тензора напряжений выглядят следующим образом:

<Эо_г /1 dv_r dv₉ v_v \ °_гг=-Р + 2т\-_1Г, ^аг*=ч(т + тУ

(15,17)

i r> dv_z (dv_z . dv_r \

Три компоненты уравнения Навье — Стокса принимают вид: до_г оф 1 dp ( v_r 2 dv \

dv_v р_г»_ф 1 dp ( о_ф 2 dv_r\

(15,18)

причем операторы (vv) и А определяются формулами

df Vr, df df

^~ r dr if dr ) r² dtp² + dz-

Уравнение непрерывности:

dr ¹ r dcp ' dz

1 d (rv_r) 1 dv_w dv_z

+ -Т^Г+^7- = 0. (15,19)

В сферических координатах л, ср, 6 имеем для тензора напря­жений

o_w— р -г- _{r sin е 5ф} 1- _f f _r J. »_M=-p+2,(-t4u+i),

(15,20)

--ЧтЗг+т?-?)-

°"6ф — Л^TiHTF дф г 58 г )'

_ (^dv<p , ¹ ^ _ ^ф^ ¹¹ V~dT + г sin е IS 7)

Уравнения Навье — Стокса:

9 о

-^T+(vv) «>,—

Г. 2 d(t>_esin9) 2 64>_ф1

~~ p йг "^r"^vL ^r r^? /-²sin²e d9 r²sine aqpj' __ _{+ (vv)t},_{9 +} _ V~ =

Li^_L Гл 1 ² d"^r 2 cos 9 др_ф"1

~~ pa ae ^v L ⁶ r² dQ r²sin^?e л² sin² 8 dq> _г ^([°'^г1>

dvq о_го_ф t>₉o<pCtg9 •аГ + ^Оф-т- —+ --=

¹ — 4- Гл I ² dry 2 cos В dt>₉ о_ф 1

р7 дго"+ ^V L ⁹ >'² sin 9 "дф" г² sin² 9 "дф г² sin² 9 J *

причем

3/ t>₉ df и df

(W) f = v_{r w} + — _ж + _T1^₁- ^,

_Af 1 d / ₂ df \ 1 d f , д/ 4 , 1 d²f

Щ~г² dr V dr ) ⁺ r² sin 8 d9 i^Sm d9 J "^t" r² sin² 9 дф² '

Уравнение непрерывности:

1 d(r'v_t) 1 5(sin8y₉) 1 с:'

T²" ov¹ I" rsine ae ^ rsino ~d~ir^=0, (¹⁵>²²)