§ 118. Уравнение Эйлера — Трикоми. Переход через звуковую скорость

Существенный принципиальный интерес имеет исследование особенностей течения, возникающих при переходе из до- в сверх­звуковую область, или обратно. Стационарные течения, сопро­вождающиеся таким переходом, называются смешанными или трансзвуковыми, а самую границу перехода называют переход­ной или звуковой поверхностью.

Для исследования течения вблизи границы перехода в осо­бенности удобно уравнение Чаплыгина, сильно упрощающееся в этой области.

На границе перехода v = с = с», а вблизи нее (в околозвуко­вой области) разности v — с» и с — с* малы и связаны друг с другом соотношением (114,8):

Произведем соответствующие упрощения в уравнении Чаплы­гина. Третий член уравнения (116,8) мал по сравнению со вто­рым, содержащим 1 — v²/c² в знаменателе. Во втором же члене полагаем приближенно

2 2

v с:

1 - v²/c² 2(1- v/c) 2а» (1 - с/с.) '

Наконец, вводя вместо скорости v новую переменную

П = (2а*)^1/3-^рЧ (118,1)

получим искомое уравнение в виде

д²Ф д²Ф _п та о\

•) К рассматриваемой газодинамической проблеме уравнение Трикоми было привлечено Ф. И. Франклем (1945).

Уравнение такого вида в математической физике называется уравнением Эйлера — Трикоми '). В полуплоскости г\ > 0 оно от-

носится к гиперболическому, а в полуплоскости г) < 0 — к эл­липтическому типу. Мы рассмотрим здесь ряд чисто математи­ческих свойств этого уравнения, которые существенны для иссле­дования тех или иных конкретных физических случаев.

Характеристики уравнения (118,2) определяются уравнением

имеющим общий интеграл:

е±4_чз,²=с,

(118,3)

где С — произвольная постоянная. Это уравнение изображает в плоскости Tj, 0 два семейства характеристик, представляющих собой ветви полукубических парабол, расположенных в правой полуплоскости с точками возврата на оси 9 (рис. 118).

дФ

у = ж

При исследовании движения в не­большой области пространства, в ко­торой направление скорости газа меня­ется незначительно¹), всегда можно выбрать направление оси х так, чтобы отсчитываемый от нее угол 0 во всей рассматриваемой области был малым. Тогда сильно упрощаются также и уравнения (116,6), определяющие ко­ординаты х, у по функции Ф(г|,0)²):

* = (2а*)^1/3^-,

Для того чтобы избежать появления в формулах лишнего мно­жителя (2а*)^1/3, мы будем ниже, в §§ 118—121, пользоваться вместо координаты х величиной х(2а^)-¹^, обозначая ее той же буквой х. Тогда

х —

дФ

(118,4)

²) Мы опустили в правых сторонах равенства множители 1/с»; это озна­чает лишь замену функции Ф на с*Ф, не меняющую уравнения (118,2) н потому всегда допустимую.

Полезно заметить, что ввиду такой простой связи с Ф функ­ция у(ц,Щ (но не х(г|,0)) тоже удовлетворяет уравнению Эйле­ра — Трикоми. Имея это в виду, можно написать якобиан пре­образования из физической плоскости в плоскость годографа в виде

* - TWTW = «* " ^ф-^ф» - Ш' - ч (*)" ■ <¹¹⁸'⁵>

Как уже сказано, уравнение Эйлера — Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окре­стности начала координат в плоскости ц, 0. В физически интерес­ных случаях эта точка представляет собой особую точку реше­ния. В связи с этим особое значение приобретает семейство ча­стных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми, обладающих определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о решениях, однородных по отношению к переменным 0² и ту³; та­кие решения должны существовать, поскольку преобразование 0²->-а0², г|³->аг|³ оставляет инвариантным уравнение (118,2). Будем искать эти решения в виде

o>=e²V(i), 1=1

где k — постоянная (степень однородности функции Ф по отно­шению к указанному преобразованию). Переменную £ мы вы­брали такой, что она обращается в нуль на характеристиках, проходящих через точку п = 0 = 0. Сделав подстановку, полу­чим для функции /(£) уравнение

6(1- |)Г + [|-2Л2*)]f/ = 0.

Это — частный случай гипергеометрического уравнения. С по­мощью известного выражения для двух независимых интегралов гипергеометрического уравнения находим искомое решение (при нецелом числе 2k + 1/6) в виде

+ в('-#Г"''(*+т *+f »+*'-*)]• <»м>

С помощью известных соотношений между гипергеометрически­ми функциями от аргументов г, у, 1 —z, _{ ^_ , _; ^_ _z молено

представить это решение еще в пяти других видах; при исследо­вании различных конкретных случаев приходится пользоваться всеми этими видами '). Мы приведем здесь лишь следующие два

') Соответствующие формулы можно найти, например, в §е Математи­ческого приложения в III. Пользуемся случаем исправить опечатку в формуле (е, 9) этого параграфа: во втором члене должен стоять множитель г"~Ч (вместо 2^a_y).

вида:

4_ 4t|³ \1 3 ¹ 99² ЛГ

(118,7)

99² 4t|³

) +

В

„3/2

(118,8)

(постоянные Л, В в формулах (118,6—8), конечно, не совпа­дают). Из этих выражений сразу следует важное свойство функ­ций Ф/й, не видное непосредственно из выражения (118,6): линии т] = 0 и 0 = 0 не являются их особыми линиями (из (118,7) видно, что вблизи и = 0 Ф*. разлагается по целым степеням rj, а из (118,8) — то же самое по 0). Из выражения же (118,6) видно, что характеристики, напротив, являются особыми ли­ниями общего (т. е. содержащего обе постоянные А и В) одно­родного интеграла Ф* уравнения Эйлера — Трикоми: при неце­лом 2/2+1/6 точками разветвления обладает множитель (99² — 4n³)^2ft+1/б, а при целом 2/е + 1/6 один из членов в (118,6) вообще теряет смысл ') (либо при 2k + 1/6 = 0 совпадает с дру­гим) и должен быть заменен вторым независимым решением гипергеометрического уравнения, имеющим, как известно, в этом случае логарифмическую особенность.

Между интегралами Ф& с различ­ными значениями k имеются следую­щие соотношения:

(118,10)

Ф_к = Ф__й__1/6(90² - 4п³)²*^+1/6, (118,9)

Ф*-1/2 =

Первое следует непосредственно из выражения (118,6), а второе — из того, что функция дф/г/д0 удовлетворяет уравнению Эйлера — Трикоми и имеет Рис 119

ту же степень однородности, что и

Ф*-1/2. В этих формулах под ф_к подразумевается, конечно, об­щее выражение с двумя произвольными постоянными.

*) Напомним, что ряд F(a, р\ у; г) при у = 0, —1, —2, ... теряет смысл.

При исследовании решения в окрестности точки т) = 0 = 0 приходится следить за его изменением при обходе вокруг этой точки. Пусть, например, функция ф_к (118,6) изображает реше­ние в точке А вблизи характеристики 0 = ²/₃т]^3/2 (рис. 119) н требуется найти форму решения вблизи характеристики 0 =

= —²/зЦ^3/2 (в точке В). Переход вдоль АВ связан с пересече­нием оси абсцисс; между тем значение 0 = 0 есть особая точка гипергеометрических функций в выражении (118,6), так как их аргумент обращается в бесконечность. Поэтому для совершения перехода необходимо сначала применить к гипергеометрическим функциям преобразование, переводящее их в функции обратного

(99² \ эег _ _4т)з j • Д^ля которых 0 = 0 уже не будет особой

точкой, после чего меняем знак 9 и повторным таким же преоб­разованием переводим их в функции прежнего аргумента. Та­ким способом получим для функций, входящих в выражение (118,6), следующие формулы преобразования:

г(-2*-^г(-2^+|Л

2sinnl

+ Г(-2*)г(-2* + -|)

2 sin j

Fa 2**+'/³ v 67 V 6 7

я(26 + 1) ' r(2fe+l)r(2fe + y)

причем под f 1 и f₂ подразумеваются выражения

С- loi»ll i!!!J²*^+1/6pCb-I_ ¹ fc-J_² 9fe-I_⁷-1 ^4l?\

(118,11)

(118,12)

в которых 0 и 1—4т]³/90² в коэффициентах при гипергеометри­ческих функциях берутся по их абсолютным значениям.

Аналогичным образом можно получить формулы преобразо­вания при переходе из точки А' в точку В' (рис. 119) путем обхода начала координат в обратном направлении. Вычисления при этом более громоздки, так как приходится проходить через три особые точки гипергеометрических функций — точку с 0 = О и два раза точки с п = 0 (напомним, что особыми точками ги­пергеометрической функции аргумента г являются точки z = 1 и 2=00). Окончательные формулы гласят:

sin я f 4* — 4-|

л- )—&i +

sin я (2* + -g- J

+ F_a ■ 2-**⁺²>³ cos п (2k + 1) -i ^{ь) V} "Л

^{4 ЬУ} Г (-2ft) Г (-2*-г—)