Глава XII

ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

§ 114. Потенциальное движение сжимаемого газа

Мы встретимся в дальнейшем с многочисленными важными случаями, когда движение сжимаемого газа можно рассмат­ривать как потенциальное практически во всем пространстве. Здесь мы выведем общие уравнения потенциального течения и рассмотрим в общем виде вопрос об их применимости¹).

Потенциальность течения сжимаемого газа нарушается, во­обще говоря, ударными волнами; после прохождения через удар­ную волну потенциальный поток становится в общем случае вих­ревым. Исключение представляют, однако, случаи, когда стацио­нарный потенциальный поток проходит через ударную волну постоянной (вдоль всей ее поверхности) интенсивности; таковы, например, случаи, когда однородный поток проходит волну, пе­ресекающую все линии тока под одинаковым углом²). В таких случаях течение остается потенциальным и позади ударной волны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся урав­нением Эйлера, написанным в виде

yVo² — [v rotv]= — — Vp

(ср. (2.10)), или

где учтено термодинамическое соотношение dw = Т ds -j- dp/P-Но в потенциальном потоке перед ударной волной w + v²/2 — = const, а на ударной волне эта величина непрерывна; поэтому она останется постоянной и во всем пространстве позади удар­ной волны, так что будем иметь:

[v rot v] = — TVs.

(114.1 >

') В этом параграфе течение еще не предполагается плоским! ²) С такими случаями мы уже встречались при изучении сверхзвукового» обтекания клина и конуса (§§ 112, 113).

Потенциальный поток перед ударной волной изэнтропичен. В общем случае произвольной ударной волны с переменным вдоль ее поверхности скачком энтропии в пространстве за вол­ной градиент Vs ф 0, а вместе с ним будет отличен от нуля и rotv. Однако если ударная волна обладает постоянной интен­сивностью, то и скачок энтропии в ней постоянен, так что тече­ние за ней тоже будет изэнтропическим, т. е. Vs — 0. Отсюда следует, что либо rot v = 0, либо векторы rot v и v везде парал­лельны друг другу. Но последний случай невозможен: на самой ударной волне v во всяком случае имеет отличную от нуля нор­мальную компоненту, а нормальная компонента rot v во всяком случае равна нулю (нормальная компонента rotv определяется тангенциальными производными от тангенциальных компонент скорости, непрерывных на поверхности разрыва).

Другой важный случай, когда потенциальность течения мож­но считать не нарушающейся ударными волнами, — это случай волн малой интенсивности. Мы видели (§ 86), что в таких удар­ных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения (114,1) видно поэтому, что величиной третьего порядка будет и rotv за разрывом. Это и дает возможность считать, с точ­ностью до малых величин высших порядков, течение потенциаль­ным и позади ударной волны.

Выведем общее уравнение для потенциала скорости при про­извольном стационарном потенциальном течении сжимаемого газа. Для этого исключаем плотность из уравнения непрерыв­ности divpv = р div v -j- v Vp — 0 с помощью уравнения Эйлера

ч Vp с²

_{(vv)v =} JL^.—yp

и получаем:

с² div v — (W) v = 0.

Вводя сюда потенциал согласно v = V(p и раскрывая векторные выражения, найдем искомое уравнение:

(с² - ф²) <р_хх + (с² - ф²) ср_уу + (с* - ф²) _Фгг -

— 2 (фяф^ф^ + ФхФгФяг + фуФгФуг) = 0 (114,2)

(нижние индексы обозначают здесь частные производные). В частности, для плоского движения

(с°' - Ф„ + (*² - Ф %_у ~ 2<адур_х, = 0. (114,3)

В этих уравнениях скорость звука сама должна быть выражена как функция скорости, что может быть, в принципе, сделано с помощью уравнения Бернулли w -j- v²/2 = const и уравнения изэнтропичности s = const (для политропного газа зависимость с от v дается формулой (83,18)).

Уравнение (114,2) очень упрощается, если во всем простран-•стве скорость газа лишь незначительно отличается по величине и направлению от скорости натекающего из бесконечности по­тока¹). Тем самым подразумевается и что ударные волны (если они вообще есть) обладают слабой интенсивностью, а потому не нарушают потенциальности течения.

Выделим из v постоянную скорость натекающего потока vi, написав v = vi-f-v^/, где v' — малая величина. Вместо потен­циала ф полной скорости, введем потенциал ф' скорости v': у' = Уф'. Уравнение для этого потенциала получится из (114,2) заменой ф = ф' + xv\ (ось х выбираем в направлении век­тора vi). Рассматривая после этого ф' как малую величину и опуская все члены выше первого порядка, получим следующее линейное уравнение:

O-MD^ + ^ + lS—O, (П4,4>

где Mi = V\/c\\ для скорости звука здесь подставлено, естествен­но, ее заданное значение на бесконечности.

Давление в любой точке потока определяется в этом же приближении через скорость по формуле, которую можно по­лучить следующим образом. Рассматривая р как функцию w (при заданном s) и учитывая, что (dw/dp)_s = 1/р, пишем:

P — Pi** {lw~)_s ^ ~ ^w^ ^{= р1} (^ш ~~ Согласно же уравнению Бернулли имеем:

^w- щ = -1[(^vi + ^v)²-^у?] ~ -т(°5 + ^VD - °»°*•

так что

p-p_x = -_9xv_xv_x--^{vl + vD. (114,5)

В этом выражении надо, вообще говоря, сохранить член с квад­ратами поперечной скорости, так как в области вблизи оси х (в частности, на самой поверхности обтекаемого газом тонкого тела) производные ду'/ду, ду'/dz могут стать большими по сравнению с дхр'/дх.

⁴) С таким случаем мы встретились уже в § 113 (обтекание тонкого ко­нуса) и встретимся еще при изучении обтекания сжимаемым газом произволь­ных тонких тел.

Уравнение (114,4), однако, неприменимо, если число Mi очень близко к единице (околозвуковое движение), так что коэффи­циент в первом члене становится малым. Ясно, что в таком слу­чае в уравнении должны быть сохранены также и члены более высокого порядка по производным потенциала по координате х. Для вывода соответствующего уравнения снова вернемся к исходному уравнению (114,2), которое после пренебрежения заведомо малыми членами сводится к следующему:

(l —-$•) Ф** + 4W + Фя == 0. (114,6)

В рассматриваемом случае скорость »,« с и скорость звука с близки к критической скорости с*. Поэтому можно написать:

с — c. — (v — С) -г— * ^v *' dv

или

c — v = (c—v)(l—-£-\ У ^v * ' \ dv \₀*.cJ

Воспользовавшись тем, что при v = с — с* согласно (83,4) имеем dp/dv = —р/с, пишем (при v = с*):

dc dc dp р dc

dv dp dv с dp

так что

_c_₀ = (_Ce_₀)liM. = a.(c.-«). (114,7)

Мы воспользовались здесь для производной d(pc)/dp выраже­нием (99,9), а а* обозначает значение величины а (102,2) при и = с* (для политропного газа а есть просто постоянная, так что а* = <х = (у+ 1)/2). С той же точностью это равенство можно переписать в виде

y-l=«.(t-l). (114,8)

Это соотношение устанавливает в общем виде связь между чис­лами М и М„в околозвуковом случае. С помощью этой формулы пишем:

v⁷' V² ( V \ г V \

Наконец, вводим новый потенциал, производя замену

ф ->- С, (X + ф),

так что теперь будет

дф v_x (Эф v_u дф v.

-г- = —-1. = — . 1Г-=* — - (П4,9)

дх с, ' ду с, dz с, \ > /

Внося все это в (114,6), получим окончательно следующее урав­нение для потенциала околозвукового течения (с направлением скорости, везде близким к оси х):

dv d²w d'tr . d²a>

Свойства газа входят сюда только через постоянную а*. Мы увидим в дальнейшем, что зависимость всех вообще свойств околозвукового течения от конкретного рода газа целиком опре­деляется этой постоянной.

Линеаризованное уравнение (114,4) становится непримени­мым и в другом предельном случае — очень больших значений Mi, не говоря уже о том, что благодаря возникновению сильных ударных волн реальное течение при таких Mi фактически вообще нельзя считать потенциальным (см. § 127).