§ 14. Волны во вращающейся жидкости

Другой своеобразный тип внутренних волн может распро­страняться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вра­щении кориолисовыми силами.

Будем рассматривать жидкость в системе координат, вра­щающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в ме­ханические уравнения движения должны быть введены дополни­тельные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую сторону уравнения Эйлера. Центро­бежная сила может быть представлена в виде градиента V[Qr]²/2, где Q — вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой —Yp/p, введя эффективное давление

P = p-%[Qr]*. (14,1)

Кориолисова же сила равна 2[v£2], она появляется лишь при движении жидкости относительно вращающейся системы коор­динат (v — скорость в этой системе). Перенеся этот член в ле­вую сторону уравнения Эйлера, напишем его в виде

47+(vv)v + 2[Qv] = - -J-VP. (14,2)

Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сво­дясь для несжимаемой жидкости к равенству divv = 0.

Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении (14,2), которое примет вид

*L + 2lQv] = -|vp'. (14.3)

где р' — переменная часть давления в волне, а р = const. Сразу же исключим давление, применив к обеим сторонам уравнения (14,3) операцию rot. Правая сторона уравнения обращается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжимаемости жидкости:

rot [fiv] = Q div v — (fiV) v = — (QV) v.

Выбрав направление fi в качестве оси z, запишем получающееся уравнение в виде

^-rotv-20-g. (14,4)

Ищем решение в виде плоской волны

v = Ae'№'-»'>, (14,5)

удовлетворяющей (в силу уравнения divv = 0) условию попе-речности

kA = 0. (14,6)

Подстановка (14,5) в уравнение (14,4) дает

со [kv] = 2iQ.k_zv. (14,7)

Закон дисперсии волн получается исключением v из этого векторного равенства. Умножив его с обеих сторон векторно на к, переписываем его в виде

—co&2_{v =} 2iQk_z [kv]

и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зави­симость со от к:

fi> = 2Q-^- = 2Qcos9, (14,8)

где 0 — угол между кий.

С учетом (14,4) равенство (14,7) принимает вид

[nv] = /V,

где п = к/А. Если представить комплексную амплитуду волны как А = а + /Ь с вещественными векторами а и Ь, то отсюда следует, что [nb] = а, — векторы а и b (оба лежащие в плоско­сти, перпендикулярной вектору к) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине. Выбрав их направления в качестве осей х и у и отделив в (14,5) вещественную и мнимую части, найдем,что

v_x = a cos (cor — kr), v_y — —a sin (со? — kr).

Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каж­дой точке пространства вектор v вращается со временем, оста­ваясь постоянным по величине¹). Скорость распространения волны:

где v — единичный вектор в направлении Q; как и в гравита­ционных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна вол­новому вектору. Ее абсолютная величина и проекция на направ­ление Я:

(7=2^ sin0, Uv = -^ sin² 0 = [/ sine.

Рассмотренные волны называют инерционными. Поскольку кориолисовы силы не совершают работы над движущейся жид­костью, заключенная в этих волнах энергия — целиком кине­тическая.

') Напомним, что речь идет о движении по отношению к вращающейся системе координат! По отношению к неподвижной системе на это движение налагается еще и вращение всей жидкости как целого.

Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских) волн может распространяться вдоль оси -вращения жидкости — см. задачу.

В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к стационарным движениям во вращающейся жидкости, а не к распространению волн в ней.

Пусть / — характерный параметр длины такого движения, а и — характерная скорость. По порядку величины член (vV)v в уравнении (14,2) равен и²/1, а член 2[Qv]~Qu. Если u/lQ «С 1, то первым можно пренебречь по сравнению со вторым и тогда уравнение стационарного движения сводится к

2 [Q_v] = — -~уР (14,10)

или

on 1 ^дР on ^{1 дР дР} п

2Qv_u =—2Qv_x = з—, -г—= 0,

" р дх ' ^х р ду dz

где х, у — декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Отсюда видно, что Р, а потому и v_x, v_y, не зави­сят от продольной координаты г. Далее, исключив Р из двух первых уравнений, получим

<Эо, dv,.

дх ⁺ ду ^и>

после чего из уравнения непрерывности divv = 0 следует, что dv_z/dz = 0. Таким образом, стационарное движение (относи­тельно вращающейся системы координат) в быстро вращаю­щейся жидкости представляет собой наложение двух независи­мых движений: плоского течения в поперечной плоскости и осе­вого движения, не зависящего от координаты z (J. Proudman, 1916).

Задачи

1. Определить движение в осесимметричной волне, распространяющейся вдоль оси вращающейся как целое несжимаемой жидкости (W. Thomson, 1880).

Решение. Введем цилиндрические координаты г, <p, z с осью г вдоль вектора Q. В осесимметричной волне все величины не зависят от угловой переменной ф. Зависимость же от времени и координаты z дается множите­лем вида exp{i(fe — со^)}- Раскрыв уравнение (14,3) в компонентах, получим

— Лво_г-20о_ф = \-Цт' ⁽¹⁾

Ik

— Лво_ф + 2Q.v_r = 0, — mv_z = — р\ (2)

Сюда надо присоединить уравнение непрерывности

-•37<"V) + <*⁰*-°- (3)

г от

Выразив о_ф и р' через v_r из (2) и (3) и подставив в (1), получим уравнение

d²F dr²

для функции F(f), определяющей радиальную зависимость скорости v_r:

_0г = /?(г)_в"^и'-И

Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при г — 0, есть

F = const • /, [kr ₍5)

где Ji — функция Бесселя порядка 1.

Вся картина движения в волне распадается на области, ограниченные коаксиальными цилиндрическими поверхностями с радиусами г_п, определяе- мыми равенствами

и _л I ^4Q2 ,

ftr Л/ —-5 1 =» *„,

где xi, х_г, ... — последовательные нули функции Jt(x). На этих поверхностях v, = 0; другими словами, жидкость никогда не пересекает их.

Отметим, что дли рассматриваемых волн в неограниченной жидкости ча­стота (о не зависит от ft. Возможные значения частоты ограничены, однако, условием со < 2Q; в противном случае уравнение (4) не имеет решения, удо­влетворяющего необходимым условиям конечности.

Если же вращающаяся жидкость ограничена цилиндрической стенкой (ра- диуса R), то должно быть учтено условие iv 0 на стенке. Отсюда возни- кает соотношение

устанавливающее .связь между w и А для волны с заданным значением п (т. е. числом коаксиальных областей в ней).

2. Получить уравнение, описывающее произвольное малое возмущение давления во вращающейся жидкости.

Решение. Уравнение (14,3), расписанное в компонентах, дает

^~--2Qv_g^{- -gr + 2"0* = --p--37-> -§т* р ИГ'}

0)

Продифференцировав эти три уравнения соответственно по х, у, z и сложив их с учетом уравнения div v = 0, получим:

1 / dv_u do, \

Дифференцирование этого уравнения по t, снова с учетом уравнений (1),

дает

а еще одно дифференцирование по / приводит к окончательному уравнению

д*р'

= 0

12)

Для периодических возмущений с частотой ю это уравнение сводится к

13)

Для волн вида (14,5) отсюда получается, разумеется, уже известное дис­персионное соотношение (14,8); при этом ш < 2Q и коэффициент при д^гр'/дг² в уравнении (3) отрицателен. Возмущения из точечного источника распро­страняются вдоль образующих конуса с осью вдоль Я и углом раствора 20, где sin 9 = со/2Я.

При to > 2Q коэффициент при д²р'\дг² в уравнении (3) положителен, и путем очевидного изменения масштаба вдоль оси г оно приводится к урав­нению Лапласа. Влияние точечного источника возмущений простирается в этом случае по всему объему жидкости, причем убывает при удалении от источника по степенному закону