Глава XI

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА

§ 109. Волна разрежения

Линия пересечения двух ударных волн является в математи­ческом отношении особой линией двух функций, описывающих движение газа. Такой же особой линией является край всякого острого угла на поверхности обтекаемых газом тел. Оказывает­ся возможным исследовать движение газа вблизи особой линии в самом общем виде (L. Prandtl, Th. Meyer, 1908).

Рассматривая область вблизи небольшого участка особой ли­нии, мы можем считать последнюю прямой, которую мы выбе­рем в качестве оси z цилиндрической системы координат г, ф, г. Вблизи особой линии все величины существенным образом за­висят от угла ф. Напротив, от координаты г они зависят лишь слабо, и при достаточно малых г зависимостью от г можно во­обще пренебречь. Несущественна также зависимость величин от координаты г, — изменением картины течения вдоль небольшого участка особой линии можно пренебречь.

Таким образом, мы должны исследовать стационарное движе­ние, при котором все величины являются функциями только от

ds

ф. Уравнение сохранения энтропии vVs = 0 дает и_ф — = 0, от­куда s = const¹), т. е. движение изэнтропично. Поэтому в урав­нении Эйлера можно писать Vw вместо Vp/p: (vV)jf = —Vw. В цилиндрических координатах получаем три уравнения:

г d<f г ~~ ' г dtp ~^r г г d(f ' ^ф д<?

Из последнего имеем v_z — const; без ограничения общности можно положить Vz — 0 и рассматривать движение как' пло­ское, — это сводится просто к соответствующему выбору ско­рости движения системы координат вдоль оси z. Первые два уравнения переписываем в виде

/ dv_m \ 1 dp dw "о Ы" + Ч = - у ^ = - • (109,2)

') Если положить Уф = 0 (вместо ds/d(p = 0), то, как легко заключить из написанных ниже уравнений движения, получится v, = 0, v_z Ф 0. Такое движение соответствовало бы пересечению поверхностей тангенциальных раз­рывов (со скачком скорости v_z) и ввиду неустойчивости таких разрывов не представляет интереса.

Подставляя (109,1) в (109,2), получаем:

dv₉ dv_r dw

^V* dy ^{+ Vr} dq> ~ dq> "

или, интегрируя:

2,2

w + "^ф °^r = const. (109.3)

Заметим, что равенство (109,1) означает, что rotv = 0, т. е. движение потенциально; в связи с этим и имеет место уравне­ние Бернулли (109,3).

Далее, уравнение непрерывности div(pv) = 0 дает

Р°' + т£ - ^р & + ^) + о, % = 0. (109,4) Используя (109,2), получим отсюда:

Но производная dp/dp, которую правильнее писать в виде (др/др) s, есть квадрат скорости звука. Таким образом,

Этому уравнению можно удовлетворить двумя способами. Во-первых, может быть

do_m

-dV + ^vr-o.

Тогда из (109,2) имеем р = const, р = const, а из (109,3) полу­чаем, что и v² = v².-\- Vy = const, т. е. скорость постоянна по аб­солютной величине. Легко видеть, что и направление скорости в этом случае постоянно. Угол х, образуемый ско­ростью с некоторым заданным направ­лением в плоскости движения, равен (рис. 96)

X = qp + arctg-^. (109,6)

"Г

Дифференцируя это выражение по ф и используя (109,1—2), по­лучаем после простого преобразования:

При р = const имеем, действительно, % = const. Таким образом, приравнивая нулю первый множитель в (109,5), мы получаем просто тривиальное решение — однородный поток.

Во-вторых, уравнению (109,5) можно удовлетворить, положив 1 = v²Jc², т. е. у_Ф = ±с. Радиальная же скорость определится из (109,3). Обозначая в этом уравнении const посредством доо,

получаем:

Оф=±с, v_r = i ^/2 (wq — w) с² •

В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляю­щая v_v скорости в каждой точке равна по величине местной ско­рости звука. Полная же скорость v = д/у² + а², следовательно, больше скорости звука. Как абсолютная величина скорости, так и ее направление меняются от точки к точке. Поскольку ско­рость звука не может пройти через нуль, то ясно, что непрерыв­ная функция иф(ср) должна быть равна везде -f-c или же везде —с. Выбирая соответствующим образом направление отсчета угла ф, мы можем условиться считать, что у,_р == с. Что касается выбора знака у v_r, то мы увидим ниже, что он диктуется физи­ческими соображениями и должен быть положительным. Таким

образом:

у_ф = с, v_r = V2 {w₀ — w) — с². (109,8)

Из уравнения непрерывности (109,4) имеем dq> =—d{pv^)/pv_r. Подставив сюда (109,8) и интегрируя, получим:

(109,9)

J р л/2 (w₀ — w) — с²

Если известно уравнение состояния газа и уравнение адиабаты (напомним, что s = const), то с помощью этой формулы можно определить зависимость всех величин от угла ф. Таким образом, формулы (109,8—9) полностью определяют движение газа.

Займемся теперь более подробным изучением полученного решения. Прежде всего заметим, что прямые ф = const пересе­кают в каждой точке линии тока под углом Маха (его синус равен Уф/у = cfv), т. е. являются характеристиками. Таким об­разом, одно из двух семейств характеристик (в плоскости х, у) представляет собой пучок выходящих из особой точки прямых и обладает в данном случае важным свойством — вдоль каждой из них все величины остаются постоянными. В этом смысле рас­сматриваемое решение играет в теории плоского стационарного движения такую же роль, какую играет изученное в § 99 автомо­дельное движение в теории нестационарных одномерных течений. Мы вернемся еще к этому вопросу в § 115.

Из (109,9) видно, что (рс)'<0 (' обозначает дифференциро-. вание по ф). Написав и замечая, что производная d(pc)/dp положительна (см. (99,9)), мы находим, что производная р' < 0; вместе с нею отрицательны и производные р' — с²р', до' — р'/р. Далее, из того, что произ­водная до' отрицательна, следует, что абсолютная величина ско­рости 0 = у2(и>_о — w)— возрастающая функция ср. Наконец, из (109,7) следует, что /' > 0. Таким образом, получаем следую­щие неравенства:

i£.<0, -^<0, -т->0, $L>0. (109,10) d<f dip ' dcp ^ dtp ^v

Другими словами, в направлении обхода вокруг особой точ­ки, совпадающем с направлением обтекания, плотность и давле­ние падают, а вектор скорости возрастает по абсолютной вели­чине и поворачивается в направлении обхода.

Описанное движение часто называют волной разрежения; ниже мы будем пользоваться этим термином.

Легко видеть, что волна разрежения не может иметь места во всей области вокруг особой линии. Действительно, поскольку v есть монотонно возрастающая функция ср, то при полном об­ходе вокруг начала координат (т. е. при изменении ср на 2я) мы получили бы для v значение, отличное от исходного, что нелепо. Ввиду этого истинная картина движения вокруг особой линии должна представлять собой совокупность секториальных обла­стей, разделённых плоскостями ср = const, являющимися поверх­ностями разрывов. В каждой из таких областей происходит либо движение, описываемое волной разрежения, либо движение с по­стоянной скоростью. Число и характер этих областей для раз­личных конкретных случаев будут установлены в следующих па­раграфах. Сейчас укажем лишь, что граница между волной раз­режения и областью однородного течения должна быть непре­менно слабым разрывом. Действительно, эта граница не может быть тангенциальным разрывом (разрывом скорости v_r), так как на ней не обращается в нуль нормальная к ней компонента ско­рости у_ф = с. Она не может также быть ударной волной, так как нормальная компонента скорости (v_v) по одну сторону от такого разрыва должна была бы быть больше, а по другую — меньше скорости звука, между тем как в данном случае с одной из сто? рон границы мы во всяком случае имеем у_ф = с.

Из сказанного можно вывести важное следствие. Возмуще­ния, вызывающие образование слабых разрывов, исходят от осо­бой линии (оси г) и распространяются по направлению от нее. Это значит, что ограничивающие волну разрежения слабые раз­рывы должны быть «исходящими» по отношению к этой линии, т. е. компонента скорости v_r касательная к слабому разрыву должна бьггь положительна. Таким образом, мы оправдали сде­ланный в (109,8) выбор знака у v_r.

Применим теперь полученные формулы к политропному газу. В таком газе w = c²/(y—1); уравнение же адиабаты Пуассона можно написать в виде

pc-»»v-'» = const, рс~²У«У-" = const (109,11)

(ср. (99,13)). Пользуясь этими формулами, представим интеграл (109,9) в виде

Vy+l С ^dc

где с» — критическая скорость (см. (83,14)). Отсюда

Ф = д/-у~т arccos -j- + const, или, выбирая начало отсчета <р так, чтобы было const = 0:

iV = c = c,cos д/-£=±_ф. (109,12)

Согласно формуле (109,8) получаем отсюда:

^{»r=Vf^c-Sin Vttt45- <109>13>}

Далее, воспользовавшись уравнением адиабаты Пуассона в виде (109,11), находим зависимость давления от угла ф:

_2V_

p=^.(^cos д/ттг^ф)^¥-' • ^(109,14)

Наконец, для угла х (109,6) имеем:

X = ? + arctg(^/-^}ctg д/Х^1_ф) _{109,15)

(угол х отсчитывается от того же направления, от которого от-считывается ф).

Поскольку должно быть v_r > 0, с > 0, то угол ф в этих фор­мулах может меняться только в пределах между ф = 0 и

ф = фтах, ГДе

qw = f VlF=T\ ^(109,16)

Это значит, что волна разрежения может занимать сектор с углом раствора, не превышающим ф_тах; так, для двухатомного газа (воздух) этот угол равен 219,3°. При изменении ф от 0 до фтах угол % меняется от я/2 до фтах. Таким образом, направле­ние скорости в волне разрежения может повернуться нэ угол, не превышающий ф_тах — я/2 (для воздуха 129,3°).

то ограничивающий ее с этой стороны слабый разрыв представ- ляет собой границу с вакуумом. При этом он, естественно, со- впадает с одной из линий тока; _Uii имеем здесь:

Y+ 1

у — 1 * ^umax>

и_ф = с = 0,

т. е. скорость направлена по ра­диусу и достигает своего предель­ного значения и_тах (см. § 83).

На рис. 97 даны графики ве­личин р/р», c*/v и % как функции угла ф для воздуха (у = 1,4).

Полезно заметить форму, ко- Рис. 98

торую имеет определяемая фор­мулами (109,12—13) кривая в плоскости v_x, v_y (так называемый годограф скоростей). Это — дуга эпициклоиды, построенной ме­жду ОКРУЖНОСТЯМИ раДИуСОВ V = С* И V = Umax (РИС. 98) .

Задачи

1. Определить форму линий тока в волне разрежения. Решение. Уравнение линий тока для двухмерного движения в поляр­ных координатах есть dr/v_r — rd<p/v . Подставляя сюда (109,12—13)

^:'о (c°s д/^+уф)

и интегрируя, получаем:

V+I Y-1

Эти линии тока представляют собой семейство подобных кривых, обращен­ных своей вогнутостью в сторону начала координат, являющегося центром подобия.

2. Определить наибольший возможный угол между слабыми разрывами, ограничивающими волну разрежения, при заданных значениях Vi, ct скоро­сти газа и скорости звука на первом из них.

Решение. Для соответствующего первому разрыву значения угла ф находим из (109,12):

_*-у*

+ 1 с,

arccos^

1 с. •

Значения же фг ■= фти, так что искомый угол равен

Л/:

' V + 1 с

Фг — Ф1 = Д/ г. f ^arcsln -J'

Критическая скорость с« выражается через Vi, Cj уравнением Бернулли л. °> ^С» ■ °? V + 1 ₂

Наибольший возможный угол поворота скорости газа в волне разрежения получится соответственно с помощью (109,15) как разность Хш.х =■ = X(«Pi) — X(<Pj):

VY + 1 . .с, -- arcstn —• arcsm —i-. Y — 1 c, vi

Как функция от fi/Ci, Xmax имеет наибольшее значение при t>i/c_t = 1

Xmax^- 2 V V Y — 1 )' При t/i/ci->-oo Xmax стремится к нулю, как

_ 2 с, Xmax у — 1 о, '

§ НО. Типы пересечений поверхностей разрыва

Ударные волны могут пересекаться друг с другом; это пересе­чение происходит вдоль некоторой линии. Рассматривая движе­ние в окрестности небольших участков этой линии, мы можем считать ее прямой, а поверхности разрывов — плоскими. Таким образом, достаточно рассмотреть пересечение плоских ударных волн.

Линия пересечения разрывов представляет собой в матема­тическом отношении особую линию (как уже указывалось в на­чале § 109). Вся картина движения вокруг нее складывается из ряда секториальных областей, в каждой из которых имеется либо однородный поток, либо описанная в § 109 волна разре­жения. Ниже излагается общая классификация возможных ти нов пересечения поверхностей разрывов ').

Прежде всего необходимо сделать следующее замечание. Если по обе стороны ударной волны движение газа является сверхзвуковым, то (как было указано в начале § 92) можно го­ворить о «направлении» ударной волны и соответственно этому различать ударные волны, «исходящие» от линии пересечения, и волны, «приходящие» к ней. В первом случае касательная со­ставляющая скорости направлена от линии пересечения, и мож­но сказать, что возмущения, вызывающие образование разрыва, исходят от этой линии. Во втором же случае возмущения исхо­дят из какого-то места, постороннего по отношению к линии пе­ресечения.

Если по одну из сторон от ударной волны движение является дозвуковым, то возмущения распространякЗтея в обе стороны вдоль ее поверхности и понятие о направлении волны т"ёряет, строго говоря, смысл. Для нижеследующих рассуждений суще­ственно, однако, что вдоль такого разрыва могут распростра­няться исходящие от места пересечения возмущения. В этом смысле подобные ударные волны в излагаемых ниже рассуж­дениях играют ту же.роль, что и чисто сверхзвуковые исходящие волны, и под исходящими ударными волнами ниже подразуме­ваются обе эти категории волн.

На следующих ниже рисунках изображаются картины тече­ния в плоскости, перпендикулярной к линии пересечения. Без ограничения общности можно считать, что движение происходит в этой плоскости. Параллельная линии пересечения (а потому и всем плоскостям разрывов) компонента скорости должна быть одинакова во всех областях вокруг линии пересечения и поэтому надлежащим выбором системы координат может быть всегда обращена в нуль.

Укажем, прежде всего, некоторые заведомо невозможные кон­фигурации.

') Она была дана Л. Д. Ландау (1944), а в некоторых пунктах (отно­сящихся к взаимодействию ударных волн с тангенциальными и слабыми раз­рывами) дополнена С. П. Дьякдзым (1954).

²) Чтобы не загромождать текст однообразными рассуждениями, мы ге будем приводить аналогичные соображения для случаев, когда имеются об­ласти дозвукового движения и уходящей волной является в действительности ударная волна, граничащая с дозвуковой областью.

Легко видеть, что не может быть такого пересечения удар­ных волн, при котором нет хотя бы одной приходящей волны. Так, при изображенном на рис. 99, а пересечении двух уходящих ударных вода линии тока натекающего слева потока отклони­лись бы в разные стороны, между тем как во всей области 2 скорость должна быть постоянной; это затруднение не может быть преодолено введением в область 2 еще каких-либо других разрывов ²). Аналогичным образом убеждаемся в невозможности изображенного на рис. 99, б пересечения уходящей ударной волны с уходящей же волной разрежения; хотя в такой кар­тине и можно добиться постоянства направления скорости в об­ласти 2, но при этом не сможет быть выполнено условие по­стоянства давления, так как в ударной волне давление воз­растает, а в волне разрежения — падает.

Далее, поскольку пересечение не может оказывать обратного влияния на приходящие ударные волны, то одновременное пе­ресечение (вдоль общей линии) более чем двух таких волн, воз­никающих от каких-то посторонних причин, было бы невероят­ной случайностью. Таким образом, в картине пересечения могут уча­ствовать всего лишь одна или две приходящие ударные волны.

Весьма существенно следую­щее обстоятельство: протекающий мимо точки пересечения газ мо­жет пройти лишь через одну ис­ходящую из этой точки ударную волну или волну разрежения. Пусть, например, газ проходит че­рез следующие друг за другом две исходящие из точки О удар­ные волны, как это показано на рис. 99, в. Поскольку позади вол­ны Оа нормальная компонента скорости v_2n < с_2< то тем более была бы меньше с₂ нор­мальная к волне Ob компонента скорости в области 2 в проти­воречии с основным свойством ударных волн. Аналогичным об­разом убеждаемся в невозможности прохождения газа через следующие одна за другой исходящие из точки О две волны раз­режения или волну разрежения и ударную волну.

Эти соображения, очевидно, не распространяются на прихо­дящие к точке пересечения ударные волны.

Теперь мы можем приступить к перечислению возможных типов пересечений.

На рис. 100 изображено пересечение, в котором участвует всего одна приходящая ударная волна Оа; две другие ударные волны Ob и Ос являются исходящими. Этот случай можно рас­сматривать как разветвление одной ударной волны на две¹). Легко видеть, что наряду с двумя уходящими ударными вол­нами должен возникнуть еще и один расположенный между ними тангенциальный разрыв Od, разделяющий потоки газа, протекшего соответственно через Ob или Ос²). Действительно, волна Оа возникает от посторонних причин и потому является полностью заданной. Это значит, что имеют определенные за­данные значения термодинамические величины (скажем, р, р) и скорость v в областях 1 и 2. Поэтому в нашем распоряжении остаются всего две величины — углы, определяющие направле­ния разрывов Ob и Ос. С их помощью, однако, вообще говоря, нельзя удовлетворить четырем условиям (постоянство р, р и двух компонент скорости) в области 3—4, которые требовались бы при отсутствии тангенциального разрыва Od. Введение же последнего уменьшает число условий до двух (постоянство дав­ления и направления скорости).

Разветвиться может, однако, отнюдь не произвольная удар­ная волна. Приходящая ударная волна определяется (при за­данном термодинамическом состоянии газа 1) двумя парамет­рами, например, числом Mi натекающего потока и отношением давлений р\/рг. Разветвление оказывается возможным лишь в определенной области плоскости этих двух переменных³).

•) Следует отметить, что разветвление ударной волны на одну ударную же волну и одну волну разрежения невозможно (без труда можно убедиться в том, что при таком пересечении нельзя было бы согласовать друг с другом изменения давления и изменения направлений скорости в обеих исходящих волнах).

²) Как всегда тангенциальный разрыв в действительности размывается в турбулентную область.

') Определение этой области связано с громоздкими алгебраическими или численными расчетами. Повторим лишний раз о необходимости следить при этом за «направлением» ударных волн. Случаи, в которых имелись бы две приходящие и одна уходящая ударные волны представлял бы собой пересе­чение двух разрывов, возникающих от посторонних причин и потому прихо­дящих к месту пересечения с заданными значениями всех параметров. Их слияние в одну волну возможно лишь при вполне определенном соотно­шении между этими произвольными параметрами, что являлось бы невероят­ной случайностью.

Пересечения, содержащие две приходящие ударные волны, можно рассматривать как результат «столкновения» двух волн, возникших где-то от посторонних причин. При этом воз­можны два существенно различных случая, изображенных на рис. 101.

В первом случае столкновение двух ударных волн приводит к возникновению двух ударных же волн, исходящих из точки пересечения. Выполнение всех необходимых условий снова тре­бует возникновения тангенциального разрыва, расположенного

между уходящими ударными волнами.

Во втором случае вместо двух ударных волн возникают одна ударная волна и одна волна разрежения.

Две сталкивающиеся удар­ные волны определяются тремя параметрами (например, М, и отношениями pi/p₂, Р\1рг). Опи­санные типы пересечений воз­можны лишь в определенных областях значений этих пара­метров. Если же значения па­раметров лежат вне этих обла­стей, то до столкновения удар­ных волн должно произойти их разветвление.

Рассмотрим, далее, типы пересечений, которые могут воз­никнуть при падении ударной волны на тангенциальный раз­рыв.

На рис. 102, а изображено отражение ударной волны от границы раздела между дви­жущимся и неподвижным газа­ми. Область 5 есть область не­подвижного газа, отделенная от движущегося газа тангенциаль­ным разрывом. В обоих граничащих с нею областях / и 4 дав­ление должно быть одинаковым (равным р₅). Поскольку же в ударной волне давление возрастает, то ясно, что она должна отразиться от тангенциального разрыва в виде волны разреже­ния 3, понижающей давление до первоначального значения. В точке пересечения тангенциальный разрыв терпит излом.

Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом, по другую сторону которого скорость жидкости отлична от нуля, но дозвуковая, вообще невозможно. Действительно, в дозвуковую область не могут проникнуть ни ударная волна, ни волна раз­режения; поэтому в дозвуковой области может быть только три­виальное течение с постоянной скоростуо, так что тангенциаль­ный разрыв не может иметь излома. Отражение ударной волны в виде волны разрежения невозможно, так как это неизбежно вызвало бы излом тангенциального разрыва; отражение в виде ударной волны тоже невозможно, поскольку при этом нельзя было бы удовлетворить условию равенства давлений на танген­циальном разрыве.

Если же течение по обе стороны тангенциального разрыва сверхзвуковое, возможны две различные конфигурации. В одном случае (рис. 102, б) наряду с падающей на тангенциальный раз­рыв ударной волной возникают еще и отраженная и прелом­ленная ударные волны; тангенциальный разрыв терпит излом.

6) »)

• Ударная вша

Тангещиапьный разрыв

Слабый разрыв

Линия тока

Рис. 102

В другом случае (рис. 102, в) возникают отраженная волна раз­режения и прошедшая в другую среду преломленная ударная волна. Обе эти конфигурации возможны только в определенных областях значений параметров падающей ударной волны и тан­генциального разрыва¹).

Взаимодействие двух тангенциальных разрывов может при­вести к конфигурации без приходящих»ударных волн, а лишь с двумя уходящими (что невозможно, как было указано выше, в отсутствии тангенциальных разрывов). В области / на рис. 103 газ покоится; конфигурация возможна, очевидно, лишь при сверхзвуковом течении в областях 2 и 5.

Остановимся кратко на пересечениях ударной волны с при­ходящим от постороннего источника слабым разрывом. Здесь могут представиться два случая в зависимости от того, является ли движение за ударной волной сверх- или дозвуковым. В пер­вом случае (рис. 104, а) слабый разрыв преломляется на удар­ной волне, проходя в пространство позади нее (сама же удар­ная волна в точке пересечения излома не имеет; ее форма имеет лишь особенность более высокого порядка —того же характера,

') Эти две конфигурации в известноу смысле обобщают случаи, изобра­женные на рис. 100 и 101,6.

что и особенность на слабом разрыве). Кроме того, изменение энтропии в ударной волне должно привести к возникновению позади нее еще и слабого тангенциального разрыва, на котором испытывают скачок производные энтропии.

Если же позади ударной волны течение становится дозвуко­вым, то слабый разрыв не может проникнуть в эту область и оканчивается в точке пересечения (рис. 104,6). Последняя яв­ляется в этом случае особой точкой (так, если падающий разрыв представляет собой раз­рыв первых производных гид­родинамических величин, ухо­дящий слабый тангенциальный разрыв, форма ударной волны и распределение давления в ок­рестности точки пересечения

Рис. 103 Рис. 104

логарифмической особенностью). Кроме того, как и в предыду­щем случае, позади ударной волны возникает слабый тангенци­альный разрыв энтропии.')

Сказанное относительно взаимодействия ударных волн со слабым разрывом справедливо и для взаимодействия со сла­быми тангенциальными разрывами. Если течение в области за ударной волной сверхзвуковое, в ней возникают слабый и сла­бый тангенциальный разрывы. Если же течение за ударной вол­ной дозвуковое, то в нем возникает лишь преломленный слабый же тангенциальный разрыв.

Наконец, упомянем еще о взаимодействии слабых разрывов с тангенциальными. Если течение по обе стороны тангенциаль­ного разрыва сверхзвуковое, наряду с падающим возникают от­раженный и преломленный слабые разрывы. Если же течение по другую сторону тангенциального разрыва дозвуковое, сла­бый разрыв в него не проникает, происходит «полное внутрен­нее отражение» слабого разрыва.

') Детальное количественное исследование пересечений ударных волн со слабыми разрывами дано Дьяковым С. Л.— ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 948, 962.