§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде

В однородной неограниченной среде функции D_ik (со; г₁₍ г₂) зависят только от разности r = r₂—г₍ причем четны по этой переменной (уравнение (75,15) содержит только вторые про­изводные по координатам, и потому D,_ft(co; г) и (со; — г) удовлетворяют одному и тому же уравнению). Взяв фурье-ком­поненты по г от обеих сторон равенства (76,2), получим

^ИРМ?>)«_k ^{= ycth!f №ш. k)-[Z?5(«>}_f ^{к)]*}. (77,1)}

Для немагнитоактивных сред, с учетом (75,12), эта формула за­писывается в виде

(4jM?%k = -cth|ilmD£(a>, к). (77,2)

^х) Теория электромагнитных флуктуации была развита в другой форме СМ. Рытоеым (1953), а в форме, эквивалентной (76,2—5), — М. Л. Левиным и С. М. Рытоеым (1967).

В изотропной немагнитной (р=1) среде функция D$ (со, к) дается формулой (75,20). Задача же об определении простран­ственной корреляционной функции флуктуации сводится к вы­числению интеграла

D5(a>; г) = JDg(a>, k)e'^kr|^. (77,3)

Интегрирование осуществляется формулами

С e^tkr <Pk _ e~^w J *²+x²(2n)³~ 4nr '

Cktkyl* d³k _^ d² _e-*^f * ^,j

J k² -fx² (2л)³ d*,-d*_ft 4ял •

из которых первая получается путем взятия компонент Фурье от известного равенства

(А — и²) = —4яб (г), (77,5)

а вторая получается дифференцированием первой. В результате найдем

D5(<d; r)--A[e_tt + £_eS^] iexp (—Jl^Tr) , (77,6)

где г = J —г₂|, а корень ]/—e должен быть взят с таким зна­ком, чтобы было ReJ^—е> 0; для пустоты надо положить 8 = 1, Y—е = — i (см. ниже).

Отсюда, согласно (76,6) и (76,3), сразу находим

-*cth#Im{l[=fo„+^]lexp(-iK=Sr)} (77,7)

(СМ. Рытое, 1953). Свернув это выражение по индексам i, k (и воспользовавшись формулой (77,5)), получим

(Е<»Е<²%=2йcth|? Im ехр (-^V^lr) + 2яб (г)] }. (77,8)

Аналогичным образом, вычисление по формуле (76,4) приводит к выражениям для корреляционных функций магнитного поля, отличающихся от (77,7—8) отсутствием множителя 1/е перед квадратной скобкой; при этом член с б-функцией под знаком Im в (77,8) становится вещественным и выпадает из ответа. Связь выражений (77,7—8) с мнимой частью е ясно подчеркивает связь электромагнитных флуктуации с поглощением в среде. Но если произвести переход к пределу Im'e—>-0 в формулах (77,7—8), мы получим конечные, отличные от нуля выражения.

Это обстоятельство связано с порядком перехода к двум пре­делам—бесконечным размерам среды и равной нулю Ime. По­скольку в бесконечной среде уже сколь угодно малое Ime приводит в конце концов к поглощению, то при использован­ном нами порядке перехода к пределам получающийся результат относится к физически прозрачной среде, в которой, как и во всякой реальной среде, сколько-нибудь отличное от нуля по­глощение все же имеется.

Произведем, например, указанный переход в формуле (77,8). Для этого замечаем, что при малом положительном Ime (при со>0)

(с учетом требования Re V—е > 0). Поэтому в пределе Ime--*О получим

^{(Е<»Е<»% = 1 (Н«>H<»>)}_e ^{= ^sin ^ cth ^ , (77,9)}

где n = |/V—вещественный показатель преломления. Ввиду от­сутствия члена с б-функцией это выражение остается конечным и при совпадающих точках и г₂:

(E%^(H% = ^cthf£. (77,10)

Предельный переход к случаю прозрачной среды можно было бы произвести и на более ранней стадии вычислений — в гри­новской функции. Учтя, что знак Ime (со) совпадает со знаком со, найдем, что в этом пределе функция (75,20) принимает вид

^D<*(^M' ^k)=(uW/_C²-l"+tO-si_gno) [^б'*^—Щг] (⁷⁷'^П)

(М. И. Рязанов, 1957). Мнимая часть этой функции связана толь­ко с правилом обхода полюсов w = ±ck/n; отделив ее с помо­щью формулы (8,11) и подставив в (77,2), получим

(£№³%_к =

= ^(j6_I,-^){6(^-fe)-6(^ ₊ fe)}cth|. (77,12)

Аргументы б-функций в этом выражении имеют простой физи­ческий смысл: они показывают, что флуктуации поля с задан­ным значением к распространяются в пространстве со скоростью с/п, совпадающей со скоростью распространения электромагнит­ных волн в данной среде. Фурье-обращением выражения (77,12) можно, разумеется, снова получить (77,7).

Энергия флуктуационного электромагнитного поля в прозрач­ной среде (с р = 1) в спектральном интервале dco дается (в едини­це объема пространства) выражением

^[2<E%^ + 2(H%]g

[см. VIII § 61)¹). Подставив сюда (77,10), получим после про­стого преобразования

[t+tJzt]^^^ С77.1Я»

Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями поля. Второй же член дает энергию термодинамически равновесного электромагнитного излучения в прозрачной среде, т. е. энергию черного излучения. Эту часть формулы можно было бы получить и без рассмотрения флуктуации, путем соответствующего обоб­щения формулы Планка для черного излучения в пустоте. Согласно последней, энергия черного излучения (в единице объема) в интервале волновых векторов d³k дается формулой

2d³k

_efc(o/r_j (2я)³

(множитель 2 учитывает два направления поляризации). Соот­ветственно для получения спектральной плотности энергии надо заменить d³k на 4nk²dk и подставить /г = со/с. Для перехода же от пустоты к прозрачной среде достаточно положить fe = «co/c, т. е. написать

k4k = k⁴f-d⁵=^^d-P.d«>, da с³ da '

что и дает требуемый результат.

Задачи

1. Найти флуктуации электромагнитного поля вдали от тела, погружен­ного в прозрачную разреженную среду, с которой оно находится в тепловом равновесии; длина волны излучения и расстояние от тела к точке наблюдения велики по сравнению с размерами тела. Тело обладает анизотропной элект­рической поляризуемостью а,⁶ (ш).

Решение. Разреженную прозрачную среду рассматриваем как вакуум. Исквмые флуктуации определяются малым (на больших расстояниях) измене­нием вакуумной функции Грина, вызнанным присутствием тела. Для вычис­ления этого изменения исходим из аналогии, согласно которой вакуумную функцию Dfo (ш; г, г') (при заданном индексе k) можно формально рассмат­ривать как электрическое поле (г, г'), создаваемое в точке г некоторым источником, находящимся в точке г'. Эта аналогия основана на том, что поле Е( (г, г') (как и его потенциал А; (г, г')) удовлетворяет при г Ф г' такому же уравнению, как и функция (а>; г, г') — уравнение (75,16) с 6 = 1. Пусть тело находится в точке г = 0. Поле

£,(0, t') = D%(w, 0, r')^D?fe((o; г')

(где Dik (ш; г) — гриновская функция в пустоте в отсутствие тела, даваемая выражением (77,6) с е=1) поляризует тело, создавая тем самым вточкег = 0 дипольный момент d, = a,jDg (со; 0, г'). Поле же, создаваемое, в свою очередь, этим дипольным моментом в точке г, и дает искомое изменение bD% (ш; г, г'). Согласно известной из электродинамики формуле (см. II § 72), поле, создав ваемое в точке г находящимся в точке г = 0 дипольным моментом d (завися­щим от времени как e~^iat), есть

причем расстояние г должно быть большим только по сравнению с размером тела, но не с длиной волны; это выражение можно представить в виде

Ei=-j^Dfi (со; t)d,

о

(напомним, что функция 'Du(w, г) четна по переменной г). С написанным выше дипольным моментом находим, следовательно,

Ый (со; г, г')=- ~ D^Ri (со; г) a_(mD%_k (со; г'),

Искомые корреляционные функции флуктуации даются теперь общими форму­лами (76,3—6) с 8Dg вместо DJ|. Окончательно получаем

Напомним, что тело находится в точке г = 0, а rj и г₂—две точки вдали от тела. Отметим, что вклад во флуктуации возникает не только от мнимой, но и от вещественной части поляризуемости; последний можно рассматривать как результат рассеяния на теле черного излучения, заполняющего прозрачную среду.