Глава VIII

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ

§ 75. Гриновская функция фотона в среде

Приступая к изучению статистических свойств электромаг­нитного поля в материальных средах, напомним прежде всего, в чем заключается смысл, усреднений, которым подвергаются электромагнитные величины .в макроскопической электроди­намике.

Если исходить, для наглядности, из классической точки зре­ния, то можно различать усреднение по физически бесконечно малому объему при заданном расположении всех частиц в нем и затем усреднение полученной величины по движению частиц. В уравнения Максвелла макроскопической электродинамики входят полностью усредненные величины. При рассмотрении же флуктуации поля речь идет о колебаниях со временем величин, усредненных лишь по физически бесконечно малым объемам.

С квантовомеханической точки зрения говорить об усредне­нии по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее оператора; второй же шаг заключается в определении среднего значения этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Фигурирующие ниже в этой главе операторы поля будут пониматься как усредненные только в первом смысле.

Статистические свойства электромагнитного излучения в ма­териальной среде описываются гриновской функцией фотона в среде. Для фотонов роль тр-операторов играют операторы потенциалов электромагнитного поля. Фотонные функции Грина определяются через эти операторы таким же образом, как они определяются для частиц через гр-операторы.

Потенциалы паля составляют 4-вектор А^ = (А⁰, А), где Л°=ср скалярный, а А — векторный потенциалы. Выбор этих потенциа­лов в классической электродинамике неоднозначен: они допус­кают так называемое калибровочное преобразование, никак не отражающееся ни на каких наблюдаемых величинах (см. II § 18). Соответственно в квантовой электродинамике такая же неодно­значность имеет место в выборе операторов поля, а с ними — и в определении гриновских функций фотона. Мы будем поль­зоваться калибровкой, в которой скалярный потенциал равен нулю:

Л° = ср = 0, (75,1)

так что поле определяется одним лишь векторным потенциалом. Такая калибровка обычно оказывается удобной для задач, в которых речь идет о взаимодействии электромагнитного поля с нерелятивистскими частицами, — как это и имеет место для поля в обычных материальных средах.

В этой калибровке функция Грина представляет собой трех­мерный тензор второго ранга

D_ik (X_it Х₂) = - i <ТЛ, (X,) А_к (Х₂)> (75,2)

(£, & — х, у, z—трехмерные векторные индексы), где угловые скобки обозначают (как и в (36,1)) усреднение по распределе­нию Гиббса для системы, состоящей из среды вместе с находя­щимся с ней в равновесии излучением; поскольку фотоны являются бозонами, то перестановка операторов Л,-, А_к при их хроноло­гизации не сопровождается изменением знака произведения. Напомним также, что операторы Л,—самосопряженные (чем выражается истинная нейтральность фотона); поэтому в (75,2) не делается различия между Л,- и At¹).

В качестве первичного понятия для построения всех видов фотонных гриновских функций следует, однако, пользоваться не (75,2), а запаздывающей функцией Грина, определенной со­гласно

iDJL(X_it X₂) = ^^Aif^^A_t^k(Xs:)~^{Ak{Xs;}Ai{Xl)>}' ^fl>t*'(75,3)

(знак минус между двумя членами в угловых скобках отвечает определению (36,9) для статистики Бозе).

Для замкнутой системы функция Грина зависит от моментов времени t_lt t₂ только через их разность t = t_i —1₂. Что же ка­сается координат г_и г₂, то в общем случае неоднородной среды они входят в функцию независимо друг от друга: D^_k(t; r_ltr₂). Соответственно фурье-разложению эта функция будет подвер-

^г) В общем случае произвольной калибровки потенциалов фотонная функ­ция Грина является 4-тензором Dfi_v (в калибровке же (75,1): £>оо = 0, £>₀, = 0). Общие тензорные и калибровочные свойства фотонной функции Грина в ста­тистике— такие же, как и в квантовой электродинамике поля в вакууме. От­метим, что определение (75,2) отличается знаком от принятого в IV. Оно выбрано здесь единообразно с определением гриновских функций других бо­зонов (в том числе фононов).

гаться только по времени; компонента этого разложения

00

D?_k (со; r_lf г,) = J е^шDg (t; r_it г,) dt. (75,4)

о

Рассматривая величины, усредненные по физически беско­нечно малым объемам, мы тем самым ограничиваем себя рас­смотрением лишь длинноволновой части излучения, в которой волновые векторы фотонов удовлетворяют условию

ka^l (75,5)

(а—межатомные расстояния в. среде). В этой области частот гриновская функция фотона может быть выражена через другие макроскопические характеристики среды—ее диэлектрическую и магнитную проницаемости е(со) и р(ю).

Для этого запишем оператор взаимодействия электромагнит­ного поля со средой:

t^-lJjAd**, (75,6)

где j—оператор плотности электрического тока, создаваемого частицами среды¹). Если же в среду внести некоторый класси­ческий «сторонний» ток j(r, г), то с ним будет связан оператор взаимодействия

^{P = -4J'j(*. r)Ad»*. (75,7)}

Это выражение позволяет установить связь с общей теорией отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.

Напомним, что в этой теории (см. V § 125) фигурировал дискретный ряд величин х_а(а=\,2,...), характеризующих по­ведение системы под действием определенных внешних воздей­ствий. Эти воздействия описываются «возмущающими силами» f_a(t) такими, что оператор энергии взаимодействия имеет вид

^г) См. IV § 53 (в IV ток обозначается как е], т. е. элементарный заряд е выносился из определения j). Оператор (75,6) подразумевает использование релятивистского выражения для оператора тока. В нерелятивистских задачах можно пренебречь в ^-операторах (из которых строится оператор тока j) ча­стями, связанными с отрицательными частотами, т. е. с античастицами. Это означает, в частности, пренебрежение радиационными поправками, которые изменяют фотонную функцию Грина в вакууме за счет виртуального рождения электронно-позитронных пар. Эти поправки пренебрежимо малы при длинах волн Я^> А/тс—условие, заведомо выполненное в области (75,5).­где х_а—операторы величин х_а. Средние значения x_a(t), уста­навливающиеся под действием возмущения, являются линейны­ми функционалами сил f_a(t). Для фурье-компонент всех величин эта связь записывается в виде

Х_ае> = 2 ^ааЬ N ftm b

(предполагается, что в отсутствие возмущения х_а = 0). Коэффи­циенты а_аЬ в этих соотношениях называют обобщенными воспри-имчивостями системы. Если обе величины х_а и х_ь ведут себя одинаково по отношению к обращению времени, а тело не маг-нитоактивно (не обладает магнитной структурой и не находится в магнитном поле), то величины а_аЬ симметричны по своим ин­дексам.

Здесь нам придется иметь дело с величинами f_a и х_а, име­ющими распределенный характер—функциями координат г точки тела. В таком случае выражение V надо писать в виде

V = -ZUa(t,r)x_a(t,r)d4, (75,8)

а

а соотношение между средними значениями х_а и силами f_a—как Ха* (г) = 2 $ а_аЬ (со; г, г') f_ba> (г') d³x'. (₇₅₎₉)

Обобщенные - восприимчивости становятся теперь функциями координат двух точек в теле, а их симметрия выражается ра­венством

а_а6(со; г, г') = а_Ьа(а; г', г). (75,10)

Согласно формуле Кубо (см. V (126,9)), восприимчивости выражаются через средние значения коммутаторов гейзенбер­говских операторов х_а (t, г): а_аЬ (со; г, г') =

ОС

^B=il^e'^ffl'^<*«^(/' ^г)*^й(0' ^r')-^(0,r')x_a(t, r)>dt. (75,11)

о

Будем рассматривать теперь в качестве «сил» f_a компоненты вектора тока j. Тогда из сравнения (75,7) с (75,8) видно, что отвечающими им величинами х_а будут компоненты векторного потенциала поля А/с. Сравнение же формулы (75,11) с опреде­лением (75,3—4) показывает теперь, что обобщенные воспри­имчивости а_о4 (со; г, г') совпадают с компонентами тензора

-D£(co; г, г')1%с\

В силу (75,10) отсюда сразу следует (для немагнитоактив-ных сред), что

О£(ф;г,г') = 0й((в;г',г). (75,12)

Соотношения же (75,9) принимают вид

А_ш (г) = ~fj D& (со; г, г') /*_ш (г') d*x'. (75,13)

Среднее значение А есть не что иное, как векторный по­тенциал макроскопического (полностью усредненного—см. на­чало параграфа) электромагнитного поля в среде; ниже черту над А (а также и над другими макроскопическими величинами) не будем писать. Учтем теперь, что макроскопическое поле, создаваемое классическим током j, удовлетворяет уравнению Максвелла

, 4я . ('со _

Г01 На = — jo — — Ub,

где D—электрическая индукция; в общем случае анизотропной среды Do связано с напряженностью Е_ш соотношениями Dc_a= = г_1к(со) Ek®, если среда неоднородна, то тензор диэлектрической проницаемости является также и функцией координат: e_rt(co,r). В выбранной нами калибровке потенциалов (75,1) имеем

В(о = го1А_ш, E_to = t-^-A_m, (75,14)

где В — магнитная индукция, связанная с напряженностью Н соотношениями Bi_at = Hi_kHk<a¹)- Поэтому для потенциала имеем уравнение²)

[rot,. ((С* rot„_ft)—§ е,_к]А_ка = ^ /,-<о.

Подставив сюда А© в виде (75,13), найдем, что функция Dg должна удовлетворять уравнению

[rot₍._m(p^rot„,)-^e_l7]Dg(co; г, г') =-4лАб,_А6 (г-г'). (75,15)

Это уравнение существенно упрощается для изотропных (в каждом своем элементе объема) сред, когда тензоры г_(к и \i_ilt сводятся к скалярам. Магнитная проницаемость обычно близкак 1, и ниже в этом параграфе мы будем считать ее равной 1. Положив e,-_ft = e6_fft и р,-а = 6_/а, получим уравнение

[в-^-б^еК ^r)] ^г> ^г') =

= — 4л1б_/Лб(г—г'). (75,16)

Таким образом, вычисление запаздывающей функции Грина для неоднородной среды сводится к решению определенного дифференциального уравнения (И. Е. Дзялоишнский, Л. П. Пи­таевский, 1959).^J).

На границах между различными средами компоненты тензора Df| должны удовлетворять определенным условиям. В уравне­нии (75,16) вторая переменная г' и второй индекс k не участ­вуют в дифференциальных или алгебраических операциях, про­изводимых над тензором Df_k, т. е. играют лишь роль парамет­ров. Поэтому граничные условия должны ставиться только по координатам г для функции £)$(<»; г, г'), рассматриваемой как вектор по индексу /. Эти условия соответствуют известным из макроскопической электродинамики требованиям непрерывности тангенциальных компонент Е и Н³). Поскольку Е = —А/с, то роль вектора Е играет при этом производная

-||W;r,r')

или, в компонентах Фурье,

^Df_fc(co;r, г'). (75,17)

Аналогичным образом, роль вектора Н (совпадающего при р=1 с В) играет

rot„D,._ft(co;r,r'). (75,18)

^J) Отметим, что функция Dik оказывается функцией Грина уравнений Максвелла в известном из математической физики смысле — решение уравне­ний поля с точечным источником, удовлетворяющее условию запаздывания (опережающая функция Dik удовлетворяла бы такому же уравнению с е* вмес­то е).

Для пространственно-однородной неограниченной среды функция Dfji зависит только от разности г — г'. Для компонент фурье-разложения по этой разности дифференциальное уравне­ние (75,16) сводится к системе алгебраических уравнений

^[M*-M^,+S«^e((o)]DS(a),k) = 6_rt. (75,19)

Решение этих уравнений:

^(со, Ч-Д^гр ^

Согласно (36,21), функция Грина D_lk для однородной среды выражается через запаздывающую функцию Dg формулой

D_ik (со, k) = ReDg (со, к) +1 cth |? • Im Dg (со, к). (75,21)

При Т—>0 эта формула дает

D_ik (со, к) = ReDg (со, к) +1 sign а • Im Dg (со, к). (75,22)

Функция Dg дается выражением (75,20); если учесть, что Re е(со)—четная, а Ime (со)—нечетная функция со, то мы най­дем, что при 7 = 0

D_rt(e>,k) = Dg(|©|,k). (75,23)

В пустоте е(со) = 1. Но поскольку во всякой материальной среде Im е (со) > 0 при со>0, то вакууму отвечает предельный пере­ход е—>-1+Ю. При этом получается выражение

u_ik (со, *) — _ai_/ct__k* _{+ i0}{°№ ^srr)*

совпадающее с известным результатом квантовой электродина­мики (см. IV § 77).