2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагничен­ность парамагнетика при произвольном соотношении между р§ и т.

Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)

sh ЩП)

_z= £ схр( ²Pfej^-^8htgp6(S+V,)/r]

Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по находим намаг­ниченность

м=4 т ±шг=Ж {(s+1) cth cthf}

(Z.. Brillouin, 1927), При Р&^Г это выражение переходит в (72,15). В обрат­ном пределе, при [$£ ^> Т, намагниченность стремится к своему номинальному значению по закону

§ 73. Взаимодействие магнонов

Существенный методический интерес представляет вопрос о вкладе в магнитную часть термодинамических величин фер­ромагнетика, происходящем от взаимодействия магнонов; напом­ним, что вычисления в § 71 были основаны на представлении об идеальном газе невзаимодействующих магнонов. Рассмотрим этот вопрос для системы, описываемой обменным спиновым га­мильтонианом.(72,1).

Имея в виду нахождение вклада только наиболее низкого порядка по малому отношению Т]Т_С, мы можем ограничиться лишь парным взаимодействием магнонов. Это значит, что надо рассмотреть двухмагнонные состояния системы, в которых про­екция полного спина равна MS—2.

Такой проекции отвечают волновые функции

Х„„ = [4S (2S- 1)]-^5„_5„_Хо, _{(73> 1}}

Хтп = (25)-*5_т_5_п_Хо, т^=п; поскольку операторы спина различных атомов коммутативны

ТО Xmn=Xnm¹)- ФуНКЦИИ (73,1) Нормированы уСЛОВИеМ XmnXmn= 1

в чем легко убедиться, раскрывая произведение таким же обра зом, как это было сделано для проверки нормировки в (72,9) Тем же способом можно убедиться и во взаимной ортогональ

НОСТИ раЗЛИЧНЫХ фуНКЦИЙ Xmn-

Функции (73,1) не являются сами по себе собственными функ­циями гамильтониана. Волновые же функции двухмагнонных стационарных состояний системы должны представлять собой определенные линейные комбинации функций Хшп, которые за­пишем в виде

Х== ^ "Ff ^^{mnXmn +} £^^nnXnn (⁷³'²⁾

m Ф п п

(поскольку Xmn и Xnm—одно и то же, то надо полагать и \b_m'_n=s\|)_nm). Совокупность коэффициентов \|) mn составляет волно­вую функцию в представлении, в котором независимыми пере­менными являются номера атомов в решетке. Множитель 1/^2 в первой сумме в (73,2) введен для того, чтобы квадрат модуля |х|² был равен сумме 2|\j)_mn|², в которой каждая из различ­ных tyny, встречалась бы лишь один раз.

Тем же способом, которым было найдено уравнение (72,11) для волновых функций одномагнонных стационарных состояний, найдем, что функции (73,2) должны удовлетворять аналогичному уравнению

m Ф п

+ £ 2 IS <£V^' ^М-^}*" ^(73>3)

где теперь & = Е—£₀—энергия двух взаимодействующих друг с другом магнонов (а скобки {...} означают коммутатор).

Раскроем коммутаторы в правой стороне уравнения (73,3). Для этого замечаем, что

*) Если спин S=l/2, то двукратное применение одного и того же опе­ратора S_n- к функции основного состояния /о обращает ее в нуль. В этом случае, следовательно, все «диагональные» функции Хппз=0.

{Н, S_m-S_n-\^{H, S_m-} S_n- +Sm- {н, S_n-},

и используем выражения (72,12) для коммутаторов {#, S„_}. После этого с учетом правил коммутации (72,4) переставляем операторы §_г в крайнее правое положение, где они, воздействуя на функцию умножают ее на S. В результате получим

{#, S_m_Sn-} Xo=S2[^mi(S_m-—Si_)S_n- +

+ Jn\ (S„- —Si-) S_m_] Xo + Smn 2 JnlSn-Sl_X₀ —J_mnS_m_Sn-Xo +

+ 4B§S_m_S„_x„.; (73,4)

для упрощения записи формул ограничения, налагаемые на индексы суммирования, не выписываются — суммирования про­изводятся по всем значениям 1, по при этом подразумевается, что все «диагональные» /п = 0.

Дальнейшая процедура сводится к подстановке (73,4) в урав­нение (73,3) и приравниванию коэффициентов, стоящих при одинаковых функциях Xmn в обоих сторонах равенства. Вычис­ления элементарны, хотя* и довольно громоздки. Они приводят в результате к следующей системе уравнений для величин a|)_mn:

(2JS — S) ^mn = S2 (/lmtyln + J\nbm) + /mntymn —

— A_s |7mn(^mm + iM + 26_mn2/lmtylm] . (73,5)

где

_-(tST]

и введено обозначение / для суммы 2 ^ш,- не зависящей, оче-

1

видно, от индекса п¹).

Перейдем в этом уравнении от координатного представления (независимые переменные—координаты атомов г_п, г_т) к импульс­ному, т. е. положим

^{^„=-jre,K(rm+r")/22^(K, к) (73,6)}

к

^х) Эти уравнения справедливы и в случае спина S= 1/2, когда все гр_пп произ­вольны. Обратим внимание на то, что приS= 1/2 все «диагональные» величи­ны г|з_пп вообще выпадают из уравнений с пл ф п. Уравнения же с пл = п в этом случае надо просто считать отсутствующими.

Вектор К играет роль суммарного квазиимпульса двух магно­нов, а к — квазиимпульса их относительного Движения; сумми­рование производится по N дискретным значениям к, допускае­мым для решетки объема Nv (N—число атомов в решетке, v — объем ее элементарной ячейки). Вместе с ty_mn надо представить в виде ряда Фурье также и обменные интегралы:

^{/тп =} тХ^е'^{к(Гт_Гп),/(к)}' ./(к)=£../опе-^;к(^го-^Гп> (73,7)

к п

(поскольку J_m„ = J_nm, то J(k)=J(— к)).

Опустив простые промежуточные выкладки, приведем сразу окончательный результат преобразования уравнения (73,5):

^{[е ("^ + к)+е (4~к) —^] ^<К' к) +}

+ jt/(K, к, к')Ч?(К, к')тЦг=0, (73,8)

где

NU(K, к, k') = A_s[j(± + k) + j(±-k) + J^ + k') +

^{+ J (4-- к')] —i [/ (к-к') + / (к + к')], (73,9)}

а е(к)—энергия одного магнона, определяемая формулой (72,13); суммирование по к' заменено интегрированием по одной ячейке обратной решетки.

Таким образом, точная (в рамках гамильтониана (72,1)) задача о двухмагнонных состояниях системы сводится к реше­нию уравнения, вполне аналогичного уравнению Шредингера для системы двух частиц в импульсном представлении (ср. Ill (130,4)). При этом функции е(к) играют роль кинетических энергий частиц, а ядро интегрального уравнения U (К, к, к') — роль матричного элемента энергии U их взаимодействия для перехода (рассеяния) из состояний с импульсами к_£, к_а в со­стояния с импульсами ki, к₂, где

ki⁼ ~2 Ь к, к₂ = — у к, ki = -2 [— к , к₂ — -g к .

В этом смысле U (К, к, к') целесообразно записать в виде NU(K, К; к₁,к_а) = Л5[/(к₁) + /(к_а) + /(к0 + У(к₂)]-

-y[^(ki-K) + ^(ki-k₂)]. (73,10)

В общем случае уравнение (73,8—9) очень сложно. Мы огра­ничимся вычислением поправки к термодинамическим величинам в предположении S^>1. Простота этого случая связана с тем, что энергия магнонов е (к) пропорциональна S, а их взаимодей­ствие U не зависит otS (при S^> 1 коэффициент в (73,9) Л₅ « 1/4). Поэтому U можно рассматривать как малое возмущение. Тогда поправка й_вз (от взаимодействия магнонов) к термодинамическому

потенциалу Q будет даваться просто средним значением U. Взяв «диагональный матричный элемент»

U (k_lf к₂; k_if к,) = ^ [J (к,) + / (к,)- / (ki-k,)- / (0)], (73,11)

мы тем самым усредняем по состоянию с заданными квазиим-пульсами магнонов. После этого статистическое усреднение по равновесному распределению магнонов осуществляется интегри­рованием

Q„=Jn(k₁)n(k₁)£/(k₁, k₂; К K)^V4^^k\ (73,12)

где п(к) =[ехр(е(к)/Г)— I]^-1—функция распределения Бозе.

При низких температурах интеграл определяется областью малых значений к^, к₂, соответственно чему следует разложить все е (к) и / (к) по степеням к. Тогда е (к) дается квадратичным выражением (72,14). Поскольку J (к)— четная функция к, то квадратичны также и первые члены ее разложения:

^J(k)«J(0)+a_iJk^fe,ft₄^.

Тогда

U (^Ki> ^2' ^к1> ^г) — "дГ ^aik^li^2k'

Но при подстановке этого выражения, нечетного по к_х- и к_а, в (73,12) интеграл обращается в нуль в результате усреднения по направлениям k_t и к,.

Поэтому в разложении / (к) надо учесть члены четвертого порядка, в результате чего в интеграле (73,12) функция U (k₁, к₂; kj, к_а) оказывается формой четвертой степени, причем отличный от нуля вклад в интеграл дают члены этой формы, квадратичные по k_t и по к₂. Ввиду быстрой сходимости интегри­рование может быть распространено по всему к-пространству. Заменой переменных к = к уТ убеждаемся тогда, что зависимость Q_B3 от Т и § имеет вид

Q_B3 = Vnf(&T), (73,13)

^М**~ v д§

причем /(0) и /'(0) конечны. Отсюда следует, что поправочный член в намагниченности

1 dQ„

= const-Г⁴. (73,14)

р=о

^J) Эти результаты (в общем случае произвольного спина) были впервые получены Дайсоном (F. Dyson, 1956). В изложенном выводе уравнения (73,5) мы следовали в основном Войду и Каллавэю (A?. J. Boyd, J. Callaway, 1965).

Такому же закону следует поправочный член в теплоемкости¹).

Мы видим, что взаимодействие магнонов приводит к поправ­кам в термодинамических величинах лишь в высоком прибли­жении по TjT_c. Напомним, что основные члены в намагничен­ности и в магнитной части теплоемкости следуют закону Г^3/2. Между этими членами и поправками- от Q_B3 существуют еще члены, пропорциональные Т^ъ/г и Г^7/г, происходящие от следую­щих членов разложения энергии магнонов е(к) по степеням к².

С помощью полученных уравнений можно рассмотреть также вопрос о связанных состояниях двух магнонов. Эти состояния проявляются как дискретные (при заданном К) собственные значения уравнения (73,8). Как функции переменной К, эти собственные значения #(К) представляют собой новые ветви элементарных возбуждений в системе. Исследование показывает, однако, что эти состояния существуют только при достаточно больших значениях К; поэтому они во всяком случае не влияют на термодинамические величины ферромагнетика при низких температурах¹).

Задача

В предположении S^> I найти поправочные члены от взаимодействия магнонов в намагниченности и теплоемкости для кубической решетки, в ко­торой обменные интегралы отличны от нуля только для соседних (вдоль ку­бических осей) пар атомов.

Решение. Каждый атом имеет шесть ближайших соседних атомов. По определению (73,7), находим

J (к) = 2/о (cos k_x а -f- cos k_y а+cos k_z a),

где J_Q—обменный интеграл для пары соседних атомов, а а—длина ребра кубической ячейки. При малых к

У (к) я J₀ [2 - a²*²+ (6*+** + *!)].

Отсюда

U (к_ъ к,; kx, к,) = --^(^_м + *У5, + &*Ь)

(опущены члены, нечетные по kj и к₂). Энергия магнона (согласно (72,14))

e(k) = S/₀a^a#4-2{,§.

Вычисление интеграла (73,12) приводит к следующим результатам:

М_ез Зя£ (»/,)£ (»/,)/ Т у __ 15я£² (*/„) N ( Т у М ~ 2S* \4nSJ₀) ' ^м~ S \4nSJ_Q)

(£—дзета-функция).

^х) См. М. Wortis, Phys. Rev. 132, 85 (1963). Речь идет о трехмерной ре­шетке. В двух- и одномерном случаях связанные состояния магнонов суще­ствуют при всех значениях к.