§ 72] Спиновый гамильтониан 357

q=n—m, запишем окончательно Е₀ в виде

Е₀ = - ±NS* £ Jч ~ 26S/V£. (72,8)

q^O

Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть 2BS/V.

Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина, состояние системы отвечает значению NS — 1 указанной проек­ции; оно соответствует возбуждению одного магнона с магнит­ным моментом —28. Таким значением проекции полного спина обладает состояние с волновой функцией

(2S)-*/*SVx,. (72,9)

в котором воздействием оператора S„_ уменьшена на 1 проек­ция спина одного из атомов¹). Эта функция, однако, не является собственной функцией гамильтониана системы; в ней не учтена еще трансляционная симметрия решетки. Собственная функция гамильтониана должна быть построена как линейная комбина­ция функций (72,9) со всеми номерами п. Те же рассуждения, которые привели нас в § 55 к функциям Блоха для электрона в периодическом поле, показывают, что для правильного учета трансляционной симметрии эта линейная комбинация должна иметь вид

Xk = (2iVS)-¹/²Se'^krnS_n_x„ (72,10)

п

(множитель N~¹¹² — нормировочный). Постоянный вектор к есть не что иное, как квазиимпульс магнона.

Энергия е (к) магнона есть разность £_к—Е₀ между энергиями возбужденного и основного состояний системы. Поэтому

(Я-£₀)_Хк==е(к)_Хк.

Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72,10) и заменив затем Е_о%₀ на Н%₀, получим

е (к) Хк = (2NS)~^ 2е'^кГп (HS_B.-S_n-H)_Xo. (72,11)

n

Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав Я в виде (72,6) и использовав правила коммутации (72,4). Снова учтя

^J) Нормировку функции (72,9) легко проверить, заметив, что

(VXo)* (S_n_Xo) = X*oS+_S„__Xo ^<S I S_n+ S„_ I S> =

= <S|S_n+ |S-1><S-1|S„_|S> = 2S.

симметрию коэффициентов J_mn, найдем

Я5„_-S_n-H = 2'/_Шп (5_mzS„_-S„₂S_m_) + 2p\§S„_. (72,12)

m

Наконец, подставив это выражение в (72,11), вспомнив (72,3) и перейдя к суммированию по q=n—m, получим

e(k)Xk = i5 2 Л,(1-_е'^кг<0 + 2р&Ь_к.

Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона. Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной функцией r_q, обращается в нуль в результате суммирования, так что окончательно

e(k) = S2 /_ч(1— coskr_q) + 26§ (72,13)

(F. Block, 1930).

Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в си­стеме, описываемой гамильтонианом (72,1). В предельном случае малых к она переходит, естественно, в квадратичный закон:

^{e(k)=i-Sft,fe}_A^{2/4*4'*4* + 2B£- (72,14)}

чф о

Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при темпера­туре T_C~J, так что при температурах Т$>>/ система уже за­ведомо парамагнитна. При таких температурах можно, в первом приближении, вовсе пренебречь взаимодействием между ато­мами. В этом приближении магнитная восприимчивость системы будет совпадать с восприимчивостью идеального газа атомов со спином 5 и даваться формулой

_х^{=4!8*£±!) (72,15)}

(см. V § 52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это выражение является первым членом разложения функции %(Т) по степеням 1/Т. Следующие члены разложения уже зависят от взаимодействия атомов; определим первый из них.

Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как произ­водная % = дМ/д$ при >-0, а намагниченность М вычисляется как производная от свободной энергии: VM = — dF/d&. Для решения поставленной задачи надо вычислить F с точностью до членов ~ 1/Т².

Исходим из формулы F = — T\nZ, где Z—статистическая сумма

^с ~ \ ¹ Т 2Т² 6Т³) '

^суммирование производится по всем уровням энергии системы Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентации атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 2S -f- 1 различных ориентации; поэтому указанное число есть (25+1)^. Обозначая чертой над буквой простое арифметическое усредне­ние, перепишем Z в виде

Z = (25 +1Г [ 1 —f-Б + £=-6^ Е⁵] •

Среднее значение Е^т = Sp'H^m/(25 +1)^- По известному свой­ству следа оператора он может вычисляться по любой полной системе волновых функций; пусть это будут функции, отвечаю­щие всем возможным наборам ориентации атомных спинов. Тогда усреднение сводится к независимому усреднению каждого из спинов по его направлениям; при этом £=0. Логарифмируя теперь Z и снова разлагая по степеням 1/Г, с той же точностью получим

F = N\n(2S + l)~Iⁱ+-^_iT: (72,16)

В этом выражении нас интересуют члены, содержащие ф²; только эти члены дадут вклад в восприимчивость. Опустив все остальные члены и заметив, что при усреднении нечетные сте­пени компонент спина обращаются в нуль, получим

р jWv?" <²№)^{2 1} V 9 1 (Ч Ч US 9 *

п п ф m

Средние значения

SnzSnx ⁼SnzSny ⁼⁼0, S_nz =5 (S -f-l)/3.

Таким образом,

^F = - W ^&^NS (⁵ + ¹) -1 №W5² (S + 1 )² £ /,,

q У=0

и отсюда окончательно восприимчивость

_x_ffi»|+Mr,₊2^tfl₂;,]. (72,17)

L чфо J

Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квад­ратных скобках зависит от знака обменного интеграла.

^х) Последующее вычисление свободной энергии соответствует вычислениям в V § 73, продлевая их до следующего члена разложения,

Задачи

1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся гамиль­тонианом (72,1), при температурах T^>J.

Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням 1/Т возникает от члена —Е²/2Т в свободной энергии (72,16). Усредняя тем же способом квадрат гамильтониана (72,1), получим

F2- ¹ 9 V I² о о со _r,S²(S+l)² N ^ _г ~4 2л ntrmi^mk^nrnk — * 9 if ч

(так как S,-S^ = S (S+1),6,-&/3). Для теплоемкости находим в результате

_NS²(S+l)j_Xn ,

l-иаг g=a 2и ч

ч¥=0

в соответствии с V (73,4).