§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины

Возбужденные в ферромагнетике магноны вносят определен­ный вклад в его термодинамические величины. Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют вычислить этот вклад при температурах, низких в том смысле, что Т<^.Т_С. Действительно, в тепловом равновесии при температуре Т ос­новная часть магнонов имеет энергии е~7\ Для квадратичного спектра

e(k) = 26Ma(n)fe^a (71,1)

это значит, что при температурах Т<^Т_С возбуждены магноны с квазиимпульсами k<<^(T_с1$Ма)¹1^г. Воспользовавшись оценкой (69,7) для а и оценив намагниченность как М~6/а³ (на одну элементарную ячейку приходится магнитный момент порядка нескольких В), находим отсюда ak<^\, т.е. условие примени­мости результатов § 70.

«Магнонные» части термодинамических величин ферромагне­тика вычисляются как термодинамические величины идеального бозе-газа с равным нулю химическим потенциалом. Так, для магнонной части термодинамического потенциала Q имеем

fi_Mar=rJln(l-_e-s/0jgp (71,2)

(см. V (54,4)). Отсюда для магнонного вклада во внутреннюю энергию^х)

р о у д^маг Р ⁶ Vd³k

^{маг маг 1} дТ "J _е^^т—1 (2я)³' У'¹^)

Магнонный же вклад в спонтанную намагниченность дает ее изменение с температурой. Он вычисляется как производная

^маг = М(Г)-М(0) = --^{1 а}°"

^ймаг

v

(71,4)

по внешнему магнитному полю (ср. VIII (31,4)). Дифференцируя выражение (71,2), получим

1 d^sk

,о e*<'^T-l (2я)»'

М =- f*L J <5§

*•) При химическом потенциале |х = 0 (а потому и ф = Л⁷|х = 0) имеем Е — = cD-j-7\S — PV=TS + Q; энтропия же S = — dQ/dT. Выражение (71,3) можно было бы, конечно, написать и непосредственно, без обращения к формуле (71,2).

Производная — (дв/д^) представляет собой собственный магнит­ный момент магнона.

Вычислим интегралы (71,3—4) при температурах Т^2ябМ¹); тогда для спектра магнонов можно пользоваться предельным выражением (71,1). В виду быстрой сходимости интегралов ин­тегрирование можно распространить по всему к-пространству (вместо одной ячейки обратной решетки). Полагая величину а постоянной (для кубических кристаллов) и заменив d³k -»- <lnk²dk, после очевидной подстановки получим

^£«аг _4лМз/2 J _е*-\ ~^V _4я2_Лз/2 »

где для краткости обозначено А = 26Ма (так что е = Л&²)²). Для теплоемкости С_каг = дЕ_кат/дТ находим отсюда

^{c^v4^T3li=^Wv' (71'5)}

Напомним, что это выражение дает лишь магнонную часть те­плоемкости; наряду с ней теплоемкость кристалла содержит еще и обычную фононную часть.

Обращаясь к интегралу (71,4), подставляем, согласно (70,11) значение —2(5 для магнитного момента магнона. В результате при Т^>2я6М получим

М

Р^З/2 .р _у1/2 ₍

о

откуда

^{М(Т) = М(0) — р7""Г}_а^(3/₃^{2У(3/з) = М(0)—0, 117В(Г/Л)3/2 (71,7)}

(магнонный вклад исчерпывает, конечно, все изменение намаг­ниченности, поскольку фононы не несут с собой магнитного момента). Таким образом, изменение спонтанной намагничен­ности в области температур 2пВУИ <^ Т <^ Т_с следует закону Т^я/г (F. Block, 1930).

Наличие щели (70,10) в спектре магнонов приводит к экспо­ненциальной зависимости С_маг и М_маг от Г в области еще более низких температур. При Т Щ.&КМ

С_маг, M_w*Sexv{-2$KM/T). (71,8)

!) Для типичного значения М = 2-10³гс это условие дает Т^> 1 К; ²) О вычислении интегралов такого типа см. V § 58.

Величина, стоящая в числителе экспоненты,— наименьшее зна­чение энергетической щели, достигаемое при 9 = 0 и 0 = я (см. также задачу 1).

Если спонтанная намагниченность ферромагнетика в основ­ном состоянии равна наибольшему возможному (как говорят, номинальному) значению, отвечающему параллельности всех атомных моментов в теле, то это значение уже не изменится при наложении (в том же направлении) внешнего магнитного поля, т.е. восприимчивость % в этом направлении равна нулю.

Учет релятивистских взаимодействий уменьшает спонтанную намагниченность (при Г = 0) по сравнению с ее «обменным» зна­чением и приводит к появлению отличной от нуля восприимчи­вости {Т. Holstein, Н. Primakoff, 1940). Хотя этот эффект и очень мал, его вычисление представляет принципиальный интерес.

При вычислении выше магнитной части термодинамических величин мы опустили нулевую энергию «магнитных осциллято­ров», не дающую вклада в температурную зависимость этих величин. Нулевая энергия отвечает числам заполнения магнон-ных состояний, равным 1/2:

£(0)_ма,= ^в(к)^. Соответственно для «нулевой» намагниченности имеем

Этот интеграл расходится при больших k, т. е. он определяется главным образом коротковолновыми магнонами (ka~ 1), которые вообще нельзя рассматривать макроскопически. Однако изме­нение намагниченности под влиянием релятивистских эффектов определяется, как мы увидим, длинноволновой областью спектра магнонов и может быть вычислено с помощью полученных в § 70 формул.

Для простоты будем рассматривать кубический кристалл и пренебрежем малой в этом случае константой анизотропии, т. е. будем писать спектр магнонов (70,10) в виде

е (к) = 26 [{bk* + £) (bk* + £ + 4лМ sin² 9)]¹/², (71,10)

где Ь = аМ; релятивистским эффектам отвечает в этом выра­жении член 4rt/Wsin²0, возникающий от учета магнитостатичес-кой энергии. Искомое изменение б/И намагниченности под влия­нием релятивистских эффектов получается вычитанием из (71,9) такого же интеграла с e_o6(k) = 26fcfe²-t-26§ вместо е(к):

^6М=~^14^[б(к)~^Еоб(к)](^' ^(71,П)

⁴) Во избежание недоразумений отметим, что поправку к энергии основ­ного состояния этим способом определить нельзя: без дифференцирования по § интеграл от е — e₀g расходится при использовании длинноволновых вы­ражений для спектра магнонов.

^{Этот интеграл уже сходится при больших кг).}

Для вычисления удобно сначала продифференцировать его по М при постоянном Ь (для этого и введено обозначение b в (71,10)). После простых преобразований получим

д&М 4п²$М Г Г sin⁴e-2ji£²dft-sinerf9

дМ ~ (2я)³ J J (6ft2-f^)i/²(6fe2 + ^-|-4nAfsin²e)^3/2 '

Ввиду сходимости интегрирование по dk можно распространить

ДО оо.

*М = -Ш. (71,12)

При § = 0 интеграл легко вычисляется; интегрируя затем по М, получим

8а^э

Эта величина очень мала: 6М/М ~ 10~⁶.

Если же внешнее поле велико (§^>4яМ); можно пренебречь членом 4nAfsin²9 в знаменателе подынтегрального выражения. После этого вычисление приводит к результату

При § ->- со 6М стремится, как и следовало, к нулю.

В заключение отметим, что если бы мы попытались тем же способом, который был применен в этом параграфе к трехмер­ному случаю, рассмотреть температурную зависимость намагни­ченности двумерного ферромагнетика, то (в чисто обменном при­ближении) мы получили бы вместо (71,6) логарифмически рас­ходящийся интеграл. Это означает, что спонтанное намагничение в двумерной системе с обменным взаимодействием в действи­тельности отсутствует при всех ТфО. Эта ситуация аналогична той, которая была отмечена в § 27 для двумерной бозе-жидкости (и в V § 137 — для двумерного кристалла). Независимость энергии системы от направления магнитного момента приводит к тому, что в ее выражение входят только производные вектора М; в свою очередь, это приводит, в конечном итоге, к расходи­мости флуктуации (в двумерном случае), разрушающих намаг­ничение. Учет релятивистских взаимодействий, зависящих от направления М, стабилизирует флуктуации и делает возможным существование двумерного ферромагнетика.

Задачи

1. Вычислить магнонные части термодинамических величин при темпера­турах Г<е(0).

Решение. Существенны магноны с малыми квазиимпульсами к, рас­пространяющиеся в направлении, где щель минимальна, т. е. вблизи 0 = 0 и в — п; оба эти значения дают одинаковый вклад. Например, при малых 6 имеем, с требуемой точностью,

е (к) = 2В/Ш + А№ + 4яВЛЮ²,

где А = 2$М<х для кубических кристаллов или Л=2ВУИа2 для одноосных кристаллов типа «легкая ось». Распределение магнонов при рассматриваемых температурах можно считать больцмановским (т. е. можно пренебречь едини­цей в знаменателях подынтегральных выражений) и заменить везде в пред-экспоненциальных множителях е(к) на fi(0). Интегрирование по k и по в распространяется до оо, ив результате находим

^маг_ 32я⁶/М³/² Ч Т )' ^M"^av~ VKM'

При вычислении теплоемкости следует дифференцировать только экспонен­циальный множитель

С_иаг = 2$КМТ-*Е_иаг...

2. Определить зависимость намагниченности от внешнего поля при усло­виях §»>4itM, Т >В§.

Jb~T J (вв/г_,

ф Т J {_e*IT__xy(2nf В интеграле существенны малые к. Поэтому

дМ _Л02^С 1 d³k Т } k*dk

Решение. В указанных условиях можно пренебречь релятивистскими членами и писать е (к) в виде (70,11). Продифференцировав выражение (71,4), находим

дМ 4В² Г е^е" №

^р • J е² (2я)³ 2я² J

д§ J ^е 2я< J (а*²М₀4-&)»

(полагаем а = const; Af₀—значение Л1 при §=0) и окончательно

дМ₌ Т

Таким образом, в рассматриваемых условиях М — Ai₀ « ф¹'².

3. Определить зависимость намагниченности при 7 = 0 от внешнего поля в слабых полях.

Редпение. Дифференцируя интеграл (71,11)_се(к) из (71,10) по §, получим

дМ_Г 4n²flAflsin«6 <Pk

Uf

<5& J [(a_JM₀fe^s + 4nM₀sin²9+S)(aM₀fe²+§)]⁸''² (²«)³

При ф -»- 0 интеграл no dk расходится логарифмически при малых k. Поэтому, ограничиваясь логарифмической точностью, можно положить в первом мно­жителе в знаменателе fe = 0, ф=0, а во втором § = 0, но при этом обрезать интеграл снизу при k²~§/aM_b и сверху—при А^а~4я/а. В результате получим

дМ В _1п 4лМ₀

Напомним, что в (71,10) пренебрежёно К. При $}<^КМ в логарифме $ заме­няется на KMq.

4. В обменном приближении определить пространственную корреляцион­ную функцию флуктуации намагниченности на расстояниях г^>а.

Решение. Операторы in_x и т_у, удовлетворяющие правилу коммутации (70,6) и выраженные через операторы уничтожения и рождения магнонов, имеют вид (в шредингеровском представлении)

т_х (г) = фМ/Ю¹/² 2 (V^kr+ S^-'^kr), k

т_у (r)= / ((Ш/V)¹/² 2 (°k^e'^kr- «k^e_Ikr)-k

С помощью этих операторов вычисляем корреляционную функцию

<¥ik (г)=у (^ri) "'А (^r*) + «ft (^ra) m,- (ri) >, r = r_t—r₂

(индексы i, k пробегают значения x, у). Учтя, что отличные от нуля диаго­нальные матричные элементы имеют только произведения <a_ka_k>=n_k, <а_ка_к> = п_к + 1 (где п_к — числа заполнения состояний магнонов), находим

Ф/*(г) = в/*$2[Ш (п_к +1) ^'Ц,-

Подынтегральное выражение прямо дает фурье-компоненту корреляционной функции. Постоянный член в ней можно опустить: ему соответствует 6-функ-ционное слагаемое в ф,-£ (г), между тем, как все рассмотрение относится лишь к расстояниям г ^> о. Таким образом,

Ф,* (к) = 2Щп_уЪ_!к = 2рМ [# (к)/г_ Ь._к.

В классическом пределе, при е<^.Т, находим

Ф«(к) = 6,-*772а^.

В кубическом ферромагнетике а= const, и тогда

Ф/* (г) = ЪкТ/йпаг, г > (рМ а/Г) V,.