§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр

Применим полученные в предыдущем параграфе уравнения к распространению волн, в которых плотность магнитного мо­мента совершает малые колебания, прецессируя относительно своего равновесного значения М₀. Мы будем рассматривать однодоменный образец, во всем объеме которого М₀ постоянно, и ограничимся случаем волн с длиной, много меньшей размеров, образца. Тогда среду можно рассматривать как неограниченную.

м,

J

(70,1)

Рассмотрим сначала вопрос с учетом только обменных вза­имодействий, т. е. на основе уравнения (69,11). Положим М = = М₀ + т, где т—малая величина, и линеаризуем уравнение, отбросив члены второго порядка по т; поскольку абсолютная величина М — М₀, то в этом приближении т_|_М₀. Получим

дх(дх_к

И

тс ^,к

(здесь и ниже полагаем g = 2). Для т, зависящего от коорди­нат и времени как ехр [i (кг—at)], находим

шт = М-а^[тМ₀], ₍₇₀₎₂₎

где а = а (n) = a_rtn,n_ft, п—единичный вектор в направлении волнового вектора к. Раскрыв это уравнение в компонентах, имеем

I е I

тт_х = —^L aMk²m,„ ^х тс У

I е I

тт.. = —^L aMk²m_x У тс ^х

(ось z—в направлении М„). Отсюда находим закон дисперсии спиновых волн *)

!) Квадратичный закон дисперсии спиновых волн был впервые найден с помощью микроскопической теории Ф. Блохом (F. Block, 1930). Выражение этого спектра через макроскопические параметры дано Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем (1945).

co = ^a(n)£*. (70,3)

Мы видим, в соответствии со сказанным в начале предыдущего параграфа, что в обменном приближении частота стремится к нулю при k—>-0. Вектор га в спиновой .волне вращается в плоскости ху с постоянной угловой скоростью со, оставаясь постоянным по абсолютной величине.

В квантовой картине формула (70,3) определяет энергети­ческий спектр магнонов е = Йсо¹):

е(к) = 2ВМсф)£^г. (70,4)

В формализме вторичного квантования макроскопические величины, описывающие ферромагнетик, заменяются операто­рами,'выраженными через операторы уничтожения и рождения магнонов. Покажем, как это должно быть сделано для магно­нов (70,4).

Приведем в соответствие с классической величиной М век­торный оператор М, компоненты которого удовлетворяют опре­деленным правилам коммутации. Пусть S(r)6V—оператор суммарного спина атомов в физически бесконечно малом эле­менте объема 8V в точке г. Операторы 8(^)6^ и S(r₂)6K₂, относящиеся к различным элементам 8V_t и 8V₂, коммутативны.

Компоненты же одного и того же оператора S(r)6F удовлетво­ряют обычным правилам коммутации момента:

S_x 8V-S_y 8V—S_y 8V-S_X 8V = iS₂ 8V,

или S_xSy—S_yS_x — ^:S_Z/8V (и аналогично для остальных комму­таторов). В пределе 8V—>0 эти правила записываются для любых г_г и г₂ в едином виде

S_x (rj S_y (r_t)-S_y (r_t)S_x(г,) = iS_z(г,) б (r_t-r₂).

Умножив теперь это равенство на 46² и заметив, что оператор .намагниченности М=—2|5S, получим

М_х (г,) М_у (r_t)-M_v (г₂) М_х (_Т1)=-2фМ_г (г,) б (_fl-r₂). (70,5)

В применении к спиновым волнам, в которых М испытывает малые колебания вокруг оси г, в первом приближении по ма­лым величинам т_х, т_у можно заменить в правой стороне (70,5) оператор M_z числом М_гжМ; тогда

т_х (гЛ т_у (г₂)—т_у (г,) т_х (r_t) = —2»рЛ*8 (г_х—г₂). (70,6)

^L) В этой главе (5 везде обозначает магнетон Бора: § = |е|£/2тс.

Отсюда видно, что величины т_у и т_х играют (с точностью до постоянных множителей) в данном случае роль канонически сопряженных «обобщенных координат и импульсов» — подобно тому, как ср и р' играли такую же роль при квантовании зву­ковых волн в жидкости (§ 24). Подчеркнем, однако, существенное отличие между обоими случаями. Правило коммутации (24,7) для фононных операторов является точным, не связанным с ма­лостью колебаний (т. е. с малостью чисел заполнения фононных состояний). Правило же (70,6) является приближенным, спра­ведливым лишь в первом приближении по малой величине т.

Исходя из правила коммутации (70,6) и соотношения между операторами т_х и т_у, отвечающего линейным уравнениям (70,1), можно найти выражения этих операторов через операторы уничтожения и рождения магнонов, подобно тому как это было сделано в § 24 для фононов (см. задачу 4 -к § 71).

Вернемся к изучению спектра магнонов и обратимся к учету влияния релятивистских эффектов на этот спектр. Теперь уже необходимо -учитывать и магнитное поле Н, возникающее при колебаниях М. Оно будет того же порядка малости, что и т; обозначим его здесь как h.

Уравнения Максвелла (69,10) дают

[kh] = 0, kh=— 4jtkm.

Отсюда видно, что поле h направлено вдоль волнового вектора и равно

h = —4я(пш)п. (70,7)

Подставив (70,7) в последние два члена подынтегрального вы­ражения в (69,5), получим

—mh-|^ = 2jt.(nm)^a (70,8)

(здесь опущен член M„h, который ввиду потенциальности поля h при интегрировании по всему объему преобразуется в интеграл по поверхности и обращается в нуль); эту часть энергии ани­зотропии в спиновой волне иногда называют магнитостати-ческой.

Пусть ферромагнетик одноосен и относится к типу «легкая ось», так что М„ направлено вдоль оси симметрии кристалла (ось z): M₀ = vM. Имея в виду дальнейшие применения, допустим также существование внешнего поля $?, параллельного тому же направлению v; при этом образец надо представлять себе как цилиндр с осью вдоль v. Тогда поле внутри тела H = £+h. Линеаризованное уравнение движения (которое мы выписываем уже умноженным на %)

^{-tem = 2p + +4-) [vm]-[vh]}. (70,9)}

Для одноосного кристалла а=а];51П²0 + а₂соз²9, где 0—угол между к и v.

Подставив сюда h из (70,7), расписываем уравнение в ком­понентах (причем ось х удобно выбрать в плоскости, проходящей через направления v и п). Из условия совместности получаю­щихся двух уравнений для т_х и т_у находим закон дисперсии

^{е (k) = 2рЧИ [ (ak* +К +1-) + К + - Jf + 4я sin2 е) ]•}

(70,10)

Отметим, что благодаря наличию члена sin²0 = fe²/fe² разложение е(к) по степеням компонент к не имеет простого степенного характера; это связано с дальнодействующим характером маг­нитных взаимодействий.

Выражение вида (70,10), выведенное здесь для одноосного ферромагнетика (типа «легкая ось»), справедливо и для куби­ческих кристаллов. Это следует из того, что изменение энергии анизотропии при малых отклонениях вектора М от своего рав­новесного направления имеет в обоих случаях одинаковый вид. Так, для кубического кристалла с К'>0 изменение 8(У_ан при отклонении М от направления М„ вдоль ребра куба зависит только от угла Ь между М и М„ и равно б(7_ан =/С'М²&². Сравнив это с аналогичным выражением &0_аи = КМ²Ь²/2 для одноосного кристалла, мы видим, что для перехода к случаю кубического кристалла с К.' > 0 достаточно заменить в (70,10) К—>-2К'-Аналогичным образом, легко убедиться, что для перехода к случаю кубического кристалла с К' < 0 (направление М₀ вдоль пространственной диагонали куба) надо заменить К—►4|/С'|/3. Отметим также, что в кубическом кристалле величина <х(п) сводится к постоянной. Для одноосного же ферромагнетика типа «легкая плоскость» (К. < 0) ситуация иная: изменение б(7_ан при отклонении М от М„ зависит как от полярного угла, так и от азимута направления М относительно М₀; .поэтому этот случай требует особого рассмотрения — см. задачу.

Напомним, что результат (70,10) относится лишь к началь­ной части спектра, в которой квазиимпульсы k<^.\/а и допустимо макроскопическое рассмотрение. Со стороны больших, но удов­летворяющих этому условию значений k (а&²^>4я, К) выраже­ние (70,10) сводится к

e(k)=2BMa(n)£² + 2p\§. (70,11)

Первый член здесь совпадает с чисто обменным выражением (70,4). Внешнее же поле добавляет к энергии магнона просто член 2В§. В этом приближении, следовательно, магнон обладает проекцией момента на М₀, равной —2В. Возбуждение в теле

(70,12)

Таким образом, учет магнитной анизотропии приводит к появ­лению энергетической щели в спектре магнонов¹). Это естест­венно, поскольку при наличии анизотропии даже поворот маг­нитного момента как целого (т. е. при к = 0) связан с конечной энергией. Мы видим, что при малых к релятивистские эффекты, несмотря на их малость, приводят к относительно большим поправкам к спектру.

Представление о магнонах как об элементарных возбужде­ниях относится к слабо возбужденным состояниям тела, а тем самым — к низким температурам. Поэтому в относящихся к маг-нонам формулах значения всех материальных констант (в том числе и намагниченности М) должны браться при Г = 0.

Вернемся к сделанному в § 69 предположению о слабости диссипации. В квантовой картине диссипация означает конеч­ность времени жизни магнонов, обусловленную их взаимодей­ствием друг с другом и с другими квазичастицами.

Если сначала говорить о взаимодействии магнонов друг с другом, то прежде всего надо отметить, что в обменном при­ближении число магнонов не меняется (каждый магнон дает в М_г одинаковый вклад —26, а обменное взаимодействие сохра­няет M_z). Поэтому в таком приближении возможны лишь процессы рассеяния. Их вероятность, однако, уменьшается с понижением температуры — уже просто из-за уменьшения числа рассеивателей,—так что обменное затухание во всяком случае стремится к нулю при Т = 0. Мы увидим ниже (§ 72), что со­стояние с одним магноном в обменном приближении есть дейст­вительно строго стационарное состояние системы²).

^х) Соответствующую частоту со (0) = е (0)/~к называют частотой ферромаг­нитного резонанса.

²) Отметим также, что сечение рассеяния двух магнонов друг на друге в обменном приближении стремится к нулю при уменьшении их энергии (см. § 73). Это обстоятельство дополнительно уменьшает обменное затухание магнонов при низких температурах. При достаточно низких температурах релятивистские эффекты существенны и для процессов рассеяния.

При Т = 0 затухание магнонов обусловлено только процес­сами их распада. Такие процессы возможны лишь за счет реля­тивистских взаимодействий» и уже поэтому их вероятность мала. Кроме того, при малых к вероятность распада всегда уменьшается за счет малости статистических весов (фазовых объемов) конечных состояний процесса.

Затухание магнонов вызывается также и их взаимодействием с фононами (роль оператора возмущения играет здесь зависящая от деформации кристалла часть гамильтониана обменного вза­имодействия). При Т = 0 возможен процесс рождения фонона магноном; для этого, однако, квазиимпульс магнона должен быть достаточно велик—скорость магнона дг/fidk должна быть больше скорости звука (ср. примечание на стр. 321). Вероят­ность процесса мала также и за счет малости статистического веса конечного состояния.

Наконец, в ферромагнитном металле всегда возможно (за счет обменного взаимодействия с электронами проводимости) возбуждение магноном электрона из-под ферми-поверхности. И здесь вероятность процесса при малых к мала за счет малости статистического веса конечных состояний.

Задача

"Найти спектр магнонов в одноосном ферромагнетике типа «легкая пло­скость» (К < 0).

.Решение. Равновесная намагниченность М₀ лежит в плоскости, пер­пендикулярной оси симметрии кристалла (оси г); выберем направление М₀ в качестве оси х. Линеаризованное уравнение движения магнитного момента имеет в этом случае вид

— £em = 2f} {а/г² [п_хт] — \К \ т_гп_у— [n_xh]},

где п_х, п_у—единичные векторы вдоль координатных осей, а вектор m лежит в плоскости г/г, перпендикулярной М₀. Подставив сюда h из (70,7), расписав уравнение в компонентах и приравняв нулю определитель получающейся системы, получим спектр магнонов

8 (к) = 2рм [afe² (ok* + \К\) + 4к sin² 9 (afe² +1К | sin² cp)j^1/2,

где 9 и cp—полярный угол и азимут направления к относительно направле­ния М₀ (причем азимут отсчитывается от плоскости хг). При ak²^>l мы 'возвращаемся к тому же квадратичному спектру (70,4), а при k—»-0 энергия магнона стремится к величине

е (0) = 4 (я | К |)^1/2 р.М | sin 6 sin ср |,

^J) Напомним (см. VIII § 37), что разложение энергии анизотропии по степеням М есть в действительности разложение по релятивистскому отноше­нию vie (и не связано с малостью М, т. е. с близостью к точке Кюри).

обращающейся в нуль, когда вектор к лежит в плоскости хг, образованной осью симметрии и спонтанной намагниченностью кристалла. Это обращение в нуль является, однако, приближенным: учет в энергии анизотропии членов более высокого порядка приводит к появлению анизотропии и в плоскости ху и тем самым — к конечной энергетической щели во всех направлениях к¹).