^а) С целью упрощения записи формул мы будем широко пользоваться системой единиц, в которой квантовая постоянная Я—\ (так что импульс имеет размерность см^-1, а энергия сек^-1). Для перехода от этой системы к обычным единицам все импульсы р и энергии Е в формулах надо заменить на р/Я и Е/Я. Такие единицы используются, в частности, в этой главе.

2) Мы будем называть оператор н', как и н, гамильтонианом.

_{Ч>« (О Ю +П (г') (г) - барб (г-г')}

следует аналогичное правило

Va(t,t)4t(t, r')+V$(t, r')W_a(t, г) =

= ё^й'< (if« (г) Ц (г') + Ц (г') ф_а (г)) е-= б_аРб (г-г'). (7,3)

Таким же образом:

' %(t, r)%(t, r')+%(t, r')%(t, r) = 0,

f_a(r, t)f$(t, t')+V$(t, г')¥+(/, г) = 0. ⁽ '

Дифференцируя определение (7,2) по времени, найдем, что гейзенберговский ^-оператор удовлетворяет уравнению

-i^%(t,r) = H'W_a(t, t)-W_a(t, г)Я' (7,5)

(ср. III (13,7)).

Гейзенберговское и шредингеровское представления тожде­ственны для оператора всякой сохраняющейся величины (т. е. оператора, коммутативного с гамильтонианом). Это относится, в частности, к самому гамильтониану, а также к оператору числа частиц—тоже, разумеется, сохраняющейся величины. Вы­ражения этих операторов через шредингеровские или гейзенбер­говские ^-операторы одинаковы. Так, оператор числа частиц

N = \r_a;(r) ^ (г) d*x = J ¥_а (*, г) *_а (t, г) d*x. (7,6) Гамильтониан же системы взаимодействующих частиц имеет вид

H'=H'^W+V^a)+V™+... ^'⁽⁰⁾ = -iI^f«^ r)AW_a(t, r)d»*-ntf, V<i> = J Т+ (/, г) {/<" (г) W_a (t, г) d»x, (7,7)

V«> = у j г) (*, г') £/<» (г-г') tf_a (*, г') ¥_р (г, r)d»*d«*\

Здесь Я'⁽⁰⁾ — гамильтониан системы свободных частиц; V^a)—опе­ратор их взаимодействия с внешним полем U^{1)(r); У⁽²⁾—опера­тор парного взаимодействия частиц, причем U^{2) (г—г')—энергия взаимодействия двух частиц; опущенные члены—тройные и т. д. взаимодействия (ср. III (64,25)). Для простоты предполагаем все взаимодействия не зависящими от спинов частиц.

Коммутатор Н' и W_a в (7,5) вычисляется с помощью правил (7,3—4); возникающие при этом б-функции устраняются интег­рированием. В результате получим «уравнение Шредингера» для

4_a(t, г) в виде

+ r')(/^|jl(r-r')^(^ г')Л'.\(/,г) + ... (7,8)

Основную роль в излагаемом методе играет понятие функции Грина макроскопической системы. Она определяется следующим выражением^х):

G_ap(Xi, X_t) = - i <T% (X,) Щ (X₂)>. (7,9)

Здесь и ниже X обозначает, для краткости, совокупность мо­мента времени t и радиус-вектора точки г. Угловые скобки <.. .> означают усреднение по основному состоянию системы (вместо более громоздкого символа диагонального матричного элемента <0| ... |0>). Символ же Т есть знак хронологического произве­дения: следующие за ним операторы должны быть расположены справа налево в порядке возрастания времен t_lt t₂. При этом в случае фермионов перестановка пары гр-операторов (по срав­нению с их расположением в первоначальной записи произведе­ния) должна сопровождаться изменением знака произведения. В явном виде это значит, что

{ — i<% (X₁)Ti(X_J)>, t₁>t₁, G_eP(X_lf *₂) = { - - (7,10)

Отметим некоторые очевидные свойства функции Грина. Если система не ферромагнитна и не находится во внешнем поле, то спиновая зависимость функции Грина сводится к единичной матрице:

G*t(X_it X_t) = 8_apG(X_it X,) (7,11)

*) Это определение аналогично определению точных функций Грина (про-пагаторов) в квантовой электродинамике (ср. IV §§ 100, 102).

²) Это утверждение требует пояснения. Спиновые компоненты *р<х составля­ют контравариантный спинор первого ранга (и в этом смысле более правильным было бы обозначение ~у^а с индексом а сверху). Компоненты же Фр составляют ковариантный спинор. Поэтому G_ap есть смешанный спинор второго ранга. Единичным же смешанным спинором второго ранга является именно 6_вр.

(всякая другая форма зависимости выделяла бы избранное на­правление в пространстве — ось z квантования спина)²). В силу однородности времени моменты t_t и t₂ входят в функцию Грина лишь в виде разности t = t_t —1₂. Если, сверх того, система макро­скопически однородна в пространстве, то лишь в виде разности

г = г^—г₂ входят также и координаты двух точек. Другими словами, в этом случае

Ga»(X_it X₂) = 6_aPG(X), X = Xi-X_y (7,12)

Подчеркнем, что микроскопическая однородность означает, что тело предполагается однородным не только по своей средней (макроскопической) плотности, но и по плотности вероятности различных (микроскопических) положений ее частиц в простран­стве. Именно таковы жидкости и газы (но не твердые кристаллы). В силу их изотропии G(t, r) = G(t, —г). В этой связи подчерк­нем лишний раз, что в то же время функция G{t, г), по самому своему определению, отнюдь не четна по переменной t. В этом смысле порядок t_t и t₂ в разности t = t_t —1₂ существен.

Координатная матрица плотности частицы в системе опре­деляется как среднее значение

Рар(г,, r_t) = ±<4$(t, r₂)4_a(t, _Г1)>, (7,13)

Знание этой матрицы позволяет определить среднее значение любой величины, относящейся к отдельной частице. Действи­тельно, пусть Р_а$— некоторый «одночастичный» оператор, т. е. оператор вида

U4>=2/20. (7.14)

а

где ?ор—оператор, действующий на координаты и спин лишь одной (а-й) частицы, а суммирование производится по всем ча­стицам в системе. В аппарате вторичного квантования такой оператор записывается (в гейзенберговском представлении) как

(0 г)/(Л С r)d»x (7,15)

(ср. III (64,23)). Отсюда ясно, что среднее значение величины F может быть выражено в терминах матрицы плотности в виде

<F>=N<f> = N I [/$P0a(ri, r,)l_{t = tl}d>_xi, (7,16)

где /ар—оператор, действующий на координаты r_f (положить г_а = г₁ надо после воздействия оператора, но перед интегриро­ванием).

Согласно (7,10), матрица плотности может быть выражена через гриновскую функцию

Papfa, r₂) = — 4rG_ap(^, iy, ti + 0, г,). (7,17)

Здесь (как и везде ниже) обозначение аргумента функции в виде t_t-\-0 означает, что имеется в виду предел при стремлении аргумента к значению t_x сверху. Взятием этого предела обеспе­чивается правильная расстановка ip-операторов, совпадающая с их расстановкой в произведении (7,13).

Для микроскопически однородной системы матрица плотности зависит только от разности г = г₁—г₂, а при независимости от спинов р_ав=6_арр, причем

р(г) = —10(* = -О,г), (7,18)

где вместо G_ap (X_it Х₂) введена функция G(X_f—X₂) = G(X) согласно (7,12). При ri = r₂ и после взятия следа по спино­вым переменным произведение операторов в (7,13) превращается в Ч£¥_а—оператор плотности числа частиц в системе. Поэтому средняя плотность тела

■у — 2Np (0) = —2iG {t = —0, г = 0) (7,19)

(t стремится к нулю снизу). Это равенство связывает химический потенциал ц при Г = 0 (от которого G зависит как от параметра) с плотностью числа частиц N/V.

Фурье-разложение функции р(г_х, г₂) определяет распределе­ние частиц по импульсам¹)

N (Р) = N \ р (г_1; г₂) е-* с-'.) d* ta—x,) =

= -i\G(t, r)|_<=_₀e-p'd»Jc.

Это есть число частиц (в единице объема) с определенным значением проекции спина и с импульсами в интервале d³p/(2n)³. Подчеркнем, что речь идет здесь об истинных частицах, а не о квазичастицах (последние в излагаемом аппарате еще не появи­лись!). Обозначение N (р) введено в отличие от функции рас­пределения квазичастиц п(р).

^г) Напомним (см. III § 14), что одночастичная матрица плотности есть интеграл

P(ri, r₂) = jT*(r₂, q)V(r_lt q)dq,

где Ч (г, q)—волновая функция системы в целом, причем г обозначает радиус-вектор одной частицы, а q — совокупность координат всех остальных частиц: по последним производится интегрирование. Фурье-компоненты матрицы плот­ности совпадают с выражением

^ | ^ Ч (г, q) e^!prd*x\²dq, откуда и следует ее связь с распределением частиц по импульсам.

В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с функцией Грина в импульсном представлении, определенной как компонента фурье-разложения функции G(t, г) по / и г:

G(t, r) = jG(co, р) Ц£ _t (7,21)

G(co, p) = $G(f, г)е-'й"-»'»Л(7,22)

Распределение частиц по импульсам выражается через эту функцию формулой

во

Nb) = -i_{ Ига _о j G (со , р) е-** -g , (7,23)

получающейся подстановкой (7,21) в (7,20). Ее нормировка вы­ражается формулой

-21 ₍ Hm j*G (со, _Р) е- «|^ = £ , (7,24)

представляющей собой условие (7,19), выраженное в импульсном представлении. Таким образом, распределение N (р) автомати­чески правильно нормировано:

Отметим, что предел, в котором берутся интегралы (7,23—24), эквивалентен определенному правилу обхода в плоскости ком­плексной переменной со. Наличие множителя е~^ш с t < 0 поз­воляет замкнуть путь интегрирования (вещественная ось) беско­нечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости «а, так что интеграл определяется вычетами функции G(co, р) в ее полюсах, лежащих в этой полуплоскости.