- •Часть 2
- •Глава I
- •§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости
- •§ 2. Взаимодействие квазичастиц
- •1) В явной матричной форме: pFm'
- •§ 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости
- •§ 3] Магнитная восприимчивость ферми-жидкости 25
- •§ 4. Нулевой звук
- •1) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном ферми-газе, были впервые рассмотрены ю. Л. Климентовичем и в. П. Силиным (1952).
- •§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости
- •§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами
- •Глава II
- •§ 7. Функция Грина макроскопической системы
- •2) Мы будем называть оператор н', как и н, гамильтонианом.
- •§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина
- •2) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой Челлена—Лемана (ср. IV §§ 101, 108).
- •§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа
- •§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам
- •§11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина '
- •§12] Т-операторы в представлении взаимодействия
- •§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем
- •X) Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложиы на конец параграфа.
- •3 Е. М. Лифшнц, л. П. Питаевскнй
- •§ 14. Собственно-энергетическая функция
- •§ 15. Двухчастичная функция Грина
- •§16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц
- •§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса
- •§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц
- •§ 18] Функция взаимодействия квазйчасгиц 91
- •§ 19. Тождества для производных от функции Грина
- •1) Оно аналогично калибровочному преобразованию в квантовой электродинамике (ср. III (111,8—9)).
- •2) Ср. Более подробные рассуждения ниже, в § 23.
- •4 Е. М. Лнфшиц, л. П. Пнтаевский
- •§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью
- •§ 20] Связь между предельным импульсом и плотностью
- •2) Формула же (2,11) для эффективной массы может быть выведена с помощью соотношения (17,17) и тождеств (19,11) и (19,15).
- •§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа
- •Глава III
- •§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости
- •§ 23. Сверхтекучесть
- •2) Подробное изложение гидродинамики сверхтекучей жидкости дается в другом томе этого Курса (том VI).
- •I. Найти предельный закон температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля (к. R. Atkins, 1953).
- •2. Найти закон дисперсии епр (р) для примесных частиц в движущейся
- •§ 24] Фонолы в жидкости 119
- •§ 24. Фононы в жидкости
- •§ 24] Фононы в жидкости 121
- •§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ
- •2NPaN2 mV
- •§ 26. Волновая функция конденсата
- •2) Добавление или удаление частицы надо представлять себе как совер- шаемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы пере- менным полем.
- •5 Е. М. Лифшиц, л. П. Патаевсквй
- •§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата
- •§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи л-точки
- •§ 29. Квантованные вихревые нити
- •2) Эго утверждение не относится, однако, к близкой окрестности х-точки; здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного радиуса флуктуации.
- •1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.
- •2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити (w. Thomson, 1880).
- •§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе
- •§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости1)
- •§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости
- •2) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться множитель s, а выходящей — множитель е*; ввиду вещественности е эти множители фактически одинаковы.
- •§ 32] Диаграммная техника для бозе-жидкости 155
- •2) Поскольку f—четная функция своего аргумента, то выбор общего знака р здесь несуществен.
- •§ 33. Собственно-энергетические функции
- •§ 34. Распад квазичастиц
- •2Л2(р —рс)3 ЗпрЛ4
- •§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания
- •1) Содержание этого параграфа принадлежит л. П. Питаевскому (1959).
- •§ 36. Гриновские функции при конечных температурах1)
- •§ 36] Гриновские функции при конечных температурах 173
- •§ 37. Температурные функции Грина
- •§ 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина
- •Глава V
- •§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
- •§ 391 Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
- •§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства
- •1) При больших и первый член разложения / (и) по 1/и:
- •2) Для разложения интеграла / (и) при и —»• 0 прибавляем и вычитаем из него интеграл
- •§ 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
- •§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
- •1) Эту формулу можно получить, написав 1 1 г 1 , 1
- •§ 43. Сверхпроводимость металлов
- •§ 44. Сверхпроводящий ток
- •2) Феноменологическая электродинамика сверхпроводников изложена в другом томе этого курса—см. VIII глава VI.
- •2) Изложенный вывод уравнения (44,8) принадлежит л. Д. Ландау (1941).
- •§ 45. Уравнения Гинзбурга — Ландау
- •2) Этот выбор (в том числе отождествление m с истинной массой электрона) не имеет, конечно, глубокого смысла и условен в той же мере, как и определение ns в (44,2).
- •§ 46. Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз
- •8 Е. М. Лифшнц, л. П. Патаюаквй
- •§ 47. Два рода сверхпроводников
- •2) Не путать его с промежуточным состоянием сверхпроводников первого рода, возникающим при определенных конфигурациях образца и внешнего магнитного поля!
- •§ 47] Два рода сверхпроводников 229
- •§ 48. Структура смешанного состояния
- •1) В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую координату—расстояние от оси.
- •J) Второй член в (48,13), будучи выражен через ток j, принимает вид
- •2) Наиболее выгодна, по-видимому, решетка, образованная равносторонними треугольниками с вихревыми нитями в их вершинах.
- •§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода
- •§ 49] Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода 241
- •§ 50. Эффект Джозефсона
- •§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике
- •§ 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник
- •§ 53. Сверхпроводящие сплавы
- •§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары
- •2) Переход происходит при температуре —ю-3 к. Заметим, что малость Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной ферми-жидкости к жидкому Не3.
- •Глава VI
- •§ 55. Электрон в периодическом поле
- •2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом периодическом поле 0 (х).
- •§ 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке
- •§ 56J влияние внешнего поля на движение электрона
- •§ 57. Квазиклассические траектории
- •§ 58. Квазиклассические уровни энергии
- •§ 58] Квазиклассические уровни энергии 285
- •1) При движении в однородном магнитном поле адиабатическим инвариантом, не зависящим от выбора векторного потенциала, является интеграл
- •2) Для свободных электронов (см. Примечание на стр. 282) условие (58,7)
- •§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке
- •§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле
- •§ 61. Электронный спектр нормальных металлов
- •§ 62. Гриновская функция электронов в металле
- •§ 62] Гриновская функция электронов в металле 305
- •§ 63. Эффект де Гааза — ван Альфена
- •2) Ср. V § 60, где этот эффект рассматривался для идеального электронного газа.
- •2) Ср. VIII § 18, где аналогичное условие выведено для электрического случая.
- •§ 64. Электрон-фононное взаимодействие
- •§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный спектр в металле
- •2) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат а. Б. Мигдалу (1958).
- •11 В. М. Лифшнц, л. П. Питаевский
- •§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков
- •§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках
- •§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения
- •1). Такая ситуация имеет место для дна дырочной зоны в алмазе, кремнии и германии, которые все имеют решетку одинакового типа.
- •1) Примером является одна из модификаций олова—серое олово.
- •Глава VII
- •§ 69. Уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике
- •1) Экспериментальные данные о гиромагнитных отношениях g, дающие для ферромагнетиков значения, очень близкие к 2, свидетельствуют о спиновой природе ферромагнетизма.
- •§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр
- •§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины
- •§ 72. Спиновый гамильтониан
- •§ 72] Спиновый гамильтониан 357
- •2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между р§ и т.
- •§ 73. Взаимодействие магнонов
- •§ 74. Магноны в антиферромагнетике
- •Глава VIII
- •§ 75. Гриновская функция фотона в среде
- •§ 76. Флуктуации электромагнитного поля
- •§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде
- •2. То же для тела с магнитной поляризуемостью a,-j (to) *).
- •3. Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях задачи 1 считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела.
- •2 27 Eha/t_l г2 eftco/r_,
- •§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях
- •§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил
- •§ 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула
- •§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи
- •§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости
- •§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости
- •§ 85. Вырожденная плазма
- •§ 85] Вырожденная пллзма 417
- •2 YnVTe3
- •Глава IX
- •§ 86. Динамический формфактор жидкости
- •§ 87. Правила сумм для формфактора
- •§ 87] Правило сумм для формфактора 431
- •§ 88. Гидродинамические флуктуации
- •§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде
- •1. Найти корреляционную функцию флуктуации числа растворенных час- тиц в слабом растворе.
- •2. Найти корреляционную функцию флуктуации давления в жидкости, обладающей большой диспергирующей второй вязкостью £ (со) (связанной с медленной релаксацией некоторого параметра).
- •§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов
- •§91. Динамический формфактор ферми-жидкости
- •198, 207, 208, 213, 263 Восприимчивость парамагнетика 358, 359
- •216, 245, 276, 370 Квазиимпульс 267
- •118, 196, 208 Сила взаимного трения 142 Скелетная диаграмма 74, 84 Случайные потоки 434
- •384, 425, 435 Форм-фактор динамический 422
- •1) Этот указатель дополняет оглавле] включены термины и понятия, непосредствен
- •399, В формуле (81,6) в последнем выражении должно быть
11 В. М. Лифшнц, л. П. Питаевский
-uk
Поэтому для Re бе имеем (обычные единицы)
г — и—1iuk
Re6e=—^ U2ln
dk. (65,11)
При e — p^>$toD логарифм в подынтегральном выражении ~%uk/(e — р), и весь интеграл оценивается как ^w£3max/(e— р)~ ~%и/а3(г—р). Замечая также, что в силу наличия множителя р в знаменателе в (65,11) все это выражение cv>l/,/W, приходим к оценке
Re6e~(^ct>D)2/(e—р) <^е—р.
Таким образом, в этом случае поправка в спектре относительно мала,, так что спектр дается выражением
е — р (Р—Pf) ПРИ е —р^>Йсод (65,12)
с «невозмущенным» значением скорости на ферми-поверхности
В области же е—\x<^fkaD логарифм в (65,11) ~(е— \i)/fiuk, и интеграл оценивается как (в—\x)k2msjthu~{z— р)/&ыа2. Все выражение (65,11) оказывается в результате пропорциональным е — р с коэффициентом, не зависящим от массы иона М (так как произведение ры2 не зависит от М). Это значит, что спектр в этой области будет снова того же типа
е—\ittvF(p—pF) при е — Р<^^СОд, (65,13)
но со скоростью vF, отличающейся от vp на величину порядка ее самой 1).
Таким образом, спектр фермиевского типа для электронов в металле характеризуется двумя различными значениями скорости vF и vp—одним в непосредственной близости к ферми-поверхности (е—р<^Йсо0), а другим—при е—p^>AcoD. В термодинамических свойствах металла при низких температурах (T<^fiaD) фигурирует параметр vF из (65,13). Такие же явления, как оптические свойства металла для частот со^>со0, определяются скоростью vF\
Задача
Определить затухание длинноволновых (k<^.pF) фононов в металле за счет их поглощения электронами.
Разумеется, в этих условиях использование первого приближения теории возмущений становится, строго говоря, некорректным. Учет следующих приближений не может изменить, однако, самого характера полученного результата: когда первая поправка становится порядка единицы, того же порядка и остальные поправки.
Решение. Поправка к гриновской функции фононов дается, согласно (64,8), интегралом
1бо-цк)=-^§<&чр)&°чр-к)-щг, Я = (р0. Р), /С = (ш. к).
В G-функциях надо, однако, еще учесть поправки, связанные со взаимодействием электронов с коротковолновыми фононами. Согласно сказанному в тексте, эти поправки приводят просто к замене G(0) на функцию G, отличающуюся от (65,3) лишь заменой скорости о}?' на vp, и перенормировочной постоянной Z на некоторую другую Z'. При малых К для произведения GW(P)GW(P — К) можно воспользоваться формулой (17,10). Интегрирование по dp0dp сводится к устранению б-функций, после чего остается еще интегрирование по dcosO (9 —угол между р и к);
1
2я2р2
J
со—vpkcosQ
+
iO
Z'*w*pFk Г cos Qd cos 9
J о— ■ l
(полагаем со > 0). Полюс cos9 = co/fci/? находится внутри области интегрирования (поскольку vp > и), и мнимая часть интеграла
i Z'*w2ppa Ш — 2np2v2pk
Закон дисперсии фононов определяется как корень уравнения Z3(0>-1-f--j-6D-1 = 0, откуда находим (в обычных единицах)
г,<г 22
'puvp
и п ■ ч Z w рр
со = нй(1—юс), а—
4л. %ъ\
(поправкой к вещественной части со не интересуемся). Произведение puoo V М; поэтому в грубой оценке а ~ ут/М , т. е. затухание всегда мало.