§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный спектр в металле

2) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат а. Б. Мигдалу (1958).

Рассмотрим вопрос о влиянии, оказываемом электрон-фонон-ным взаимодействием на энергетический спектр электронов в ме­талле ²).

В § 14 было показано, что для спектра фермиевского типа поправка к закону дисперсии е(р) (по сравнению со спектром системы свободных фермионов) определяется разностью

бе(р) = 2(е-р, р)-2(0, р), (65,1)

где 2 = G^(0)-1— G^-1 —собственно-энергетическая функция. В дан­ном же случае речь идет о поправке, вызванной взаимодейст­вием с фононами, а роль «невозмущенного» играет спектр, учи­тывающий «прямое» взаимодействие частиц (электронов). Согласно (64,6), имеем¹)

2 (Р) = -8G"¹ = 6G/G<°>² = i |f- j G⁽⁰⁾ (P—K) £>⁽⁰⁾ (К) -щг, (65,2)

но под G⁽⁰⁾ надо понимать теперь гриновскую функцию взаимо­действующих друг с другом электронов. Вблизи своего полюса такая функция имеет вид

G«»(e-p, p) = Z[e-p-^°'(p-p^) + i0.sign(8-p)]-¹ (65,3)

(см. (10,2)); индекс (0) у v_F означает, что в этой величине еще не учтено влияние электрон-фононного взаимодействия.

Наша цель состоит теперь в оценке величины (65,1), т. е. ин­теграла

бе =

= ^ j{G<«'(e-p-co, p_k)-G«»(-co, p-k)}D«»(co, k)^.

(65,4)

Как видно из последующих вычислений, основной вклад в этот интеграл дает область, в которой импульс р—к и энергия е—со (как и сами р и г) лежат вблизи ферми-поверхности, т. е. k<^.p_F, со<<^р. По этой причине для функций G⁽⁰⁾ можно использовать (65,3).

В сферических координатах в к-пространстве с осью вдоль р имеем d^lK = 2nk² dk dco d cos 9, где 0—угол между к и p. Вместо cos9 введем переменную Pi = \p—к |; заметив, что pf = p² + fe²— — 2/?&cos9, имеем

d*K = 2nk² dk dcopi dpi/pk № 2nk dk da dp_x

(мы положили p-ytt p « p_F).

В подынтегральном выражении в (65,4) от р.^ зависит только множитель в фигурных скобках, равный

{•••} = — (е—p)Z[e — р—со—vf(pi—p_F) -4- Ю • sign(e — р — со)]^_1Х

¹) В промежуточных формулах полагаем А=1.

Х[— со—vf {pi—рр) — t'0-signсо]^-1.

Ввиду быстрой сходимости интеграла по d(pt—p_F), можно рас­пространить интегрирование до ±оо; введя переменную rj = = v$ (Р±—Pf)> получим интеграл

-\dpi =

(е—м-) Z J dr]_

vf* J [Ц—(e—(i — со) — j'0-sign(8—fi—со)] [n + co + iO-sign <o]

Если оба полюса подынтегрального выражения находятся по одну сторону от вещественной оси, то интеграл обращается в нуль (в чем убеждаемся, замкнув путь интегрирования в дру­гой полуплоскости). Поэтому интеграл отличен от нуля, лишь если е—р>со>0 или е—р < со < 0; в первом случае он ра­вен —2aiZ/v_F^t>, а во втором 2niZ/v_F^y>. Учтя также четность функции D⁽⁰⁾(co, к) по переменной со, находим, таким образом,

|8-щ

бе = . ^Zw\_m Г Г Г imr , ' .Ak*d«>dk. (65,5)

о

Вещественная и мнимая части этого выражения определяют соответственно поправку к спектру квазичастиц (электронов проводимости) и их затухание. Рассмотрим сначала затухание.

Отделяя в (65,5) мнимую часть по правилу (8,11), находим

■Imoe =

jVdft; (65,6)

интегрирование no k производится по области от 0 до |е—р|/«, в которой полюс со = и/г подынтегрального выражения в (65,5) лежит в интервале между 0 и |е—р,|. Таким образом (в обыч­ных единицах),

Для грубой оценки этой величины замечаем, что параметры vf* и w имеют электронное происхождение и выражаются, по порядку величины, лишь через межатомные расстояния а и массу электрона т: vf~p_Plm~%latn, w~s_P<~~''h²/maⁱ (см. при­мечание на стр. 318). Плотность же р и скорость звука и за­висят еще и от массы ионов М, причем рооуИ, ысоМ~^1/2, так что ры⁴оо1/М. Поэтому оценку затухания можно записать в виде

— Im8e~|e—р|³(^о)~². (65,8)

где дебаевская частота ш₀~ы/ас\зЛ1~^1/а.

§ 651

влияние на электронный спектр в металле

321

Строго говоря, оценка (65,8) относится к значениям | е—р | <^ <^.1m_D, при которых интегрирование в (65,6) производится по области &<|е—р\/uh<^.a>_D!u, где действительно применим ис­пользуемый нами закон дисперсии фононов to = feu. Но для грубой оценки по порядку величины можно применить (65,8) и на краю области при е — n~fm_D, где она дает

— Im 6е~лсо_д~е—р. (65,9)

Наконец, при е—\х^>Ьлл₀ область интегрирования в (65,6) не зависит от е — р, так как полюс со = и/г^со₀ всегда лежит

в интервале между 0 и е—р. В этом случае ^ k²dk~(a}_D/u)³, и

затухание

— 1т6е~/к0д<^:е—р. (65,10)

Выражения (65,8—10) определяют специфическое затухание, связанное с испусканием срононов электронами¹). Мы видим, что в непосредственной близости к ферми-поверхности при I^s—pI^^d, согласно (65,8), "затухание мало (|Im(e—р)|<^ <^|е—р |), так что понятие о квазичастицах—электронах про­водимости— имеет вполне четкий смысл. "В области же е—p~Au)_D затухание квазичастицы становится сравнимым с самой ее энергией, спектр размывается и в значительной степени теряет смысл. Однако на еще больших расстояниях над ферми-поверх-ностью при е—р^^сод(но, разумеется, по-прежнему е — р<^р), согласно (65,10), затухание, оставаясь тем же по абсолютной величине, снова становится малым по сравнению с энергией е—р, и квазичастицы снова приобретают определенный смысл. Разумеется, наряду с фононным затуханием электронов прово­димости всегда имеется также и затухание от электрон-электрон­ных столкновений. Это затухание, характерное для всякой нормальной ферми-жидкости (§ 1), пропорционально (е—р)² и по порядку величины ~(е — р)²/р, т. е. всегда мало в области применимости теории.

Оценим теперь поправку к вещественной части е, т. е. к са­мому спектру.

Вещественная часть интеграла по da в (65,5) дается его главным значением

|8—ц| . |е-ц

^х) Сохранение энергии при рождении квазичастицей фонона малой час­тоты выражается равенством (де/дк) 6k з= v 6к = м bk; оно может выполняться лишь при v > и. В металле это условие всегда выполняется, поскольку v_F^>«.