§ 62] Гриновская функция электронов в металле 305

индекс 6 и переменная г₂ не затрагиваются никакими опера­циями, т. е. играют в уравнении роль несущественных пара­метров. Для определения спектра можно писать поэтому урав­нение вида¹)

^{(а> + » + £) %}_а ^(r)-Js«_v^{(©; г, г') %}_у ^{(г') йЧ'_ (<о-£) % (г) - 0.}

(62,6)

Для электронной ферми-жидкости в металле оно заменяет со­бой обычное уравнение Шредингера. Его собственные значения определяют, как уже сказано, спектр согласно со = е(к)—р; соответствующими же собственными функциями являются функ­ции Xak(r) из (62,4) (как это очевидно из прямой подстановки (62,4) в (62,5)). Поскольку затухание возбуждений вблизи фер­ми-поверхности мало, оператор L при малых со эрмитов (с точ­ностью до членов порядка со).

Для перехода к случаю наличия слабого внешнего магнит­ного поля надо заметить, что при калибровочном преобразова­нии векторного потенциала ^-операторы преобразуются как волновые функции (ср. (44,3—4)), а потому гриновская функция Gap (w; г_±, г₂) преобразуется как произведение «^-функций •ф (r_t) 1J3* (г₂). Это значит, что и функция %(г) в (62,6) должна преобразовываться как обычная ^-функция. Но, проследив за произведенными в § 56 рассуждениями, легко обнаружить, что в них использованы только периодичность решетки крис­талла, общие свойства калибровочного преобразования и тот факт, что энергетический спектр определяется по собственным значениям некоторого гамильтониана; роль последнего играет в данном случае оператор L в (62,6)*). Поэтому ясно, что и ре­зультат—правило перехода от спектра в отсутствие поля к спектру при наличии слабого поля—будет тем же: новый спектр определяется по собственным значениям гамильтониана

^г) Для микроскопически однородной ферми-жидкости это уравнение в импульсном представлении сводится к уравнению (14,13)

ш + ц=е«» (р) + 2 <а>, р). ²) Может показаться существенным отличием в этой связи, что в (62,6) оператор L сам зависит от со. В действительности это означает лишь неявный способ записи гамильтониана. При малых и (вблизи ферми-поЬерхности) можно перейти и к явной записи, разложив L и L₀-\-g>Lx и умножив затем уравнение £₀% = со (1—Ц) % слева на оператор (1— Li)~ⁱ,

е(к-™А(г}), r = i±, (62,7) где е(к)—спектр в отсутствие поля. Разумеется, смысл самой функции е(к) теперь отличается от ее смысла в (56,7) — в ней учитывается коллективное взаимодействие всех электронов в системе.

Далее, поскольку проведенное в §§ 57, 58 рассмотрение ква­зиклассического случая целиком основывалось на существова­нии гамильтониана вида (62,7), то и эти результаты непосред­ственно переносятся на электронную жидкость. При этом, од­нако, возникает вопрос о том, что именно следует понимать под напряженностью поля, действующего на электрон прово­димости (а тем самым—и под векторным потенциалом А). Строго говоря, это должно быть точное микроскопическое значение поля, создаваемого в данной точке г всеми электронами (и внешним полем). Но в квазиклассическом случае характерные размеры гн области, в которой происходит взаимодействие («ларморов радиус орбит»), велики по сравнению с порядком величины межэлектронных расстояний (совпадающим с постоянной решет­ки а). Это обстоятельство приводит к автоматическому усред­нению микроскопического поля. Происхождение этого усредне­ния можно пояснить следующими рассуждениями.

Представим микроскопическую напряженность в виде суммы ее среднего значения (которое, по принятой в макроскопичес­кой электродинамике терминологии, есть магнитная индукция В) и быстро меняющейся части Н. Векторный потенциал, отве­чающий однородному полю В, возрастает на всем протяжении размеров орбиты, принимая характерные значения ~Вгн- По­тенциал же, отвечающий осциллирующему на расстояниях ~а полю Н, не возрастает систематически и набирает лишь значе­ния ~Ва, которыми можно пренебречь по сравнению с Вг_н-Между тем, как было объяснено в § 56, именно потенциал поля определяет квантование движения электронов. Таким об­разом, мы приходим к выводу, что достаточно учитывать лишь потенциал А однородной индукции В = rot А, которая и будет играть роль действующего на электрон поля (D. Shoenberg, 1962). Мы увидим ниже (конец § 63), что это обстоятельство может привести к некоторым новым явлениям в намагничении металлов.

Таким образом, правило квазиклассического квантования (58,7) для электронной жидкости, в металле записывается как

S(e,k_z) = ²-^-В + (62,8)

где теперь S(e, k_z) — площадь сечения истинных изоэнергетиче-ских поверхностей электронов проводимости металла (близких к его ферми-поверхности).

Как и в задаче об одном электроне в решетке с центром инверсии¹), учет спина электронов проводимости приводит к расщеплению уровней в магнитном поле на две компоненты:

*no(k_t) = e_a(k_t) + o№(k,)B, о = ±1. (62,9)

Величина £ (k_z) представляет собой результат усреднения не­которой функции £(к) по квазиклассической траектории. При этом, с достаточной точностью, все траектории можно счи­тать лежащими на самой ферми-поверхности, так что результат усреднения зависит только от k_z. Подчеркнем, что для элект­ронной ферми-жидкости отличие величины £ (k_z) от единицы (ее значения для свободных электронов) связано не только со спин-орбитальным взаимодейстием, но и с обменным взаимо­действием электронов друг с другом.