2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом периодическом поле 0 (х).

Решение. Рассматривая поле как малое возмущение, исходим из нуле­вого приближения, в котором частица совершает свободное движение, описы­ваемое плоской волной

ф<°> (x) = (Na)~^1/2 e't*

(нормировка на 1 частицу на длине Na; а—период поля); энергия частицы e<°> = &²/e²/2m. Представим периодическую функцию U (х) в виде ряда Фурье

U(x)= 2 Un**"*¹"-

п— — 00

Матричные элементы этого поля по отношению к плоским волнам отличны от нуля только для переходов между состояниями с волновыми векторами k и k' = £ + 2лл/а и в этих случаях равны U_k,_k=U„.

В первом приближении теории возмущений поправка к энергии дается диагональным матричным элементом e^w — U_kk —U_t, т. е. не зависящей от k постоянной, лишь смещающей начало отсчета энергий. Исключение составляют, однако, уровни энергии в окрестности значений k = iw/a (л=±1, ±2, ...). В этих точках к отличается лишь знаком от значения k'=k—2nnja, так что энергии в<°> (k) и е'⁰⁾ (k') совпадают. В окрестности этих значений, следова­тельно, отличны от нуля матричные элементы для переходов между состоя­ниями с близкими энергиями, и для определения поправки должен быть использован метод теории возмущений, относящийся к случаю близких соб­ственных значений (см. III § 79). Ответ дается формулой III (79,4), согласно которой в данном случае

е»№) = у [е^<0) №) + е») [k-K_n)\ ±

± [^б(0) (*)-е<°> (k-K_n)Y+\U_n \

где Кл = 2яя/а, ^а аддитивная постоянная U₀ опущена; выбор знака перед корнем определяется требованием, чтобы вдали от значения k = ± /С„/2 функ­ция 8 (k) переходила быве⁽⁰'(£): знаки + и—относятся соответственно к обла­стям |й| > \К_п/2\ и |й| < \Кп/2\. В самих точках k=± /С„/2 функция e(k)

испытывает скачок, равный 2\U_n\. На рис. 12, а энергия г(к) изображена как функция переменной k, пробегающей значения от —оо до оо. Если же привести значения k (квазиимпульса) к интервалу между ± л/а, то мы придем к рис. 12, б, где изображены две первые энергетические зоны.

двукратно вырожден (по знаку к), а большая кратность вырож­дения при одномерном движе­нии вообще невозможна. Отме­тим также, что в одномерном случае границы каждой зоны (минимальные и максимальные значения е (£)) соответствуют значениям k — О и k = n/a. Де­ло в том, что волновые функ­ции, соответствующие энерги­ям в запрещенном интервале, умножаются при смещении на период а на некоторый вещест­венный множитель (в силу чего и возрастают ности). Волновые же функции в разрешенных ком переносе умножаются на е'^ка шенным интервалами этот

Обратим внимание на то, что зоны на рис. 12 (как и на рис. 11) не перекрываются. Это общее свойство одномерного движения в периодическом поле. Каждый уровень энергии

_V

2Ж

а

Ж а

Ж ' а

' а

_|Л|

2L к

Рис. 12.

Щх)

неограниченно на бесконеч-интервалах энергии при та-На границе между запрещенным и разре-множитель, следовательно, должен быть одновре­менно вещественным и равным по моду­лю единице, откуда и следует равенст­во ka нулю или я.

'г

2 13.

Рис.

3. Найти закон дисперсии частицы в одномерном периодическом поле, представляющем собой последователь­ность симметричных потенциальных ям, удовлетворяющих условию квазиклас­сичности (ввиду чего вероятность про­никновения частицы через барьер меж­ду ямами мала).

Решение аналогично ходу ре­шения задачи о расщеплении уровней в двойной яме (III § 50, задача 3). Пусть гр₀ (х) — нормированная волновая функция, описывающая движение (с некоторой энергией е₀, рис. 13) в одной из ям, т. е. экспоненциально затухающая в обе стороны от границ этой ямы; эта функция вещественна и может быть четной или нечетной по переменной х. Правильная же волновая функция нулевого приближения для движения частицы в периодическом поле представляет собой сумму

(1)

где С—нормировочная постоянная (при сдвиге х—>х-\-а эта функция умно­жается, как и следовало, на e^ika). Пишем уравнения Шредингера

умножаем первое на гр₀, второе на гр£, вычитаем почленно и интегрируем по dx в пределах от —а/2 до а/2 (рис. 13). Замечаем, что поскольку произведения ф₀ (х) ф₀ (х—an) с пфЪ исчезающе малы везде, то

а/ 2

J гр* М Фо W « С.

-а/2

Находим

А»

При х = а/2 в сумме (1) должны быть сохранены лишь члены с и = 0 и я=1, причем ф₀ (— а/2) = ± ф₀ (а/2) в зависимости от четности или нечетности функции ф₀ (х):

ф_А(а/2) = Сф₀(а/2)(1 ±«»«), фй(а/2) = Сфо (а/2)(1 Те*);

аналогичным образом,, при х =—а/2 должны быть сохранены лишь члены с я = 0 и я=1. В результате получим

8 (Щ — е₀ = ± ^- ф₀ (д ^ фо f 4 1 cos te.

Сюда надо подставить значения

0/2 *0

ая

1ро

Фо

где ш—классическая частота колебаний частицы в яме; х_в—точка поворота, отвечающая энергии е₀. Окончательно:

e(k) — е₀= ± ^ y~D cos ka, D = exp

o/2

dx

Таким образом, каждый уровень энергии е₀, отвечающий движению частицы в изолированной яме, расширяется в узкую полосу (зону) с шириной 2яЧй0^1/,2/л, определяемой коэффициентом проницаемости D потенциального барьера, раз­деляющего две ямы.