Но это уравнение совпадает по форме с уравнением, определяю­щим точку перехода при спаривании с / = 0, отличаясь от него лишь заменой «константы связи» g на —а_{ (ср. (42,11)); пони­мая эту формулу как уравнение для определения Т_с, надо поло­жить в ней Д=0, после чего е(/?) совпадает с г\_р. Мы видим, следовательно, что вершинная функция имеет полюс, если хотя бы одна из величин а₁ отрицательна; при этом температура перехода

(54,10)

(ср. (40,4) и (39,19)). Если а, < 0 при ряде различных значений I, то переход происходит при температуре Т'^й, отвечающей мак­симальному 1а,!¹).

Можно показать, что во всяком ферми-газе (или жидкости), состоящем из электрически нейтральных атомов, величины a_t во всяком случае должны стать, отрицательными при достаточно больших значениях / (Л. П. Питаевский, 1959). Причина заклю­чается в том, что во взаимодействии нейтральных атомов всегда есть область расстояний (больших), на которых оно имеет ха­рактер притяжения—так называемое ван-дер-ваальсово притя­жение.

В реально существующей жидкости такого рода—жидком изотопе Не³ — возникновение сверхтекучести происходит, по-ви­димому, за счет спаривания с 1 — 1 ²). Мы не будем останавли­ваться на структуре сверхтекучей фазы и обсудим лишь кратко вопрос о выборе параметра порядка, отличающего эту фазу от нормальной. Величиной, равной нулю выше точки перехода и отличной от нуля ниже нее, является аномальная гриновская функция F_ap-(t, г,; t, rjEsFap (r_x—г₂); как было уже указано в § 41, она играет роль волновой функции связанных пар частиц. Ее фурье-компонента F_ap-(p), взятая на ферми-поверхности (т. е. при р = 2/?_Fn), является функцией направления п (а не констан­той, как при спаривании с / = 0). В силу антикоммутации гр-опе-раторов функция F_a$ (п) антисимметрична, как и следовало, по отношению к перестановке/частиц: F_ap-(n) = — F^_a (—n).

^х) Отметим, что если бы были все щ > 0, то переход отсутствовал бы и формула (54,6) для ^ была бы справедлива при всех температурах вплоть до Т = 0. При этом все^1 стремились бы при Т —>-0 к нулю по закону ^ <» 1/| In Т |. Это является проявлением упомянутого в примечании на стр. 41 факта обра­щения при Т = 0 в нуль функции £Г (а с нею и функции взаимодействия квазичастиц f) для частиц с противоположными импульсами.

2) Переход происходит при температуре —ю-3 к. Заметим, что малость Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной ферми-жидкости к жидкому Не3.

При спаривании с I = 1 (как и с любым нечетным моментом) F_ap- — нечетная функция п, так что ^„р — симметричный спинор. Это значит, что спин пары равен единице, как и должно быть для состояния двух одинаковых фермионов с нечетным /. Сим­метричный спинор второго ранга эквивалентен вектору, который обозначим через d. В случае 1-Х зависимость d от п должна отвечать полиному Лежандра Pj^cosB), т. е. быть линейной: di = ty_ikn_k. Комплексный тензор второго ранга ty_lk (не обязательно симметричный!) и описывает сверхтекучую фазу. Реально су­ществуют две различные сверхтекучие фазы жидкого Не³, раз­личающиеся видом тензора

Глава VI

ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

§ 55. Электрон в периодическом поле

Электронные оболочки атомов в кристалле сильно взаимо­действуют друг с другом, в результате чего уже нельзя гово­рить об уровнях энергии отдельных атомов, а лишь об уровнях для совокупности электронных оболочек всех атомов тела в це­лом. Характер электронного энергетического спектра различен для разных типов твердых тел. В качестве предварительного шага для изучения этих спектров необходимо, однако, рассмот­реть более формальную задачу о поведении отдельного электрона во внешнем пространственно-периодическом электрическом поле, которое служит моделью кристаллической решетки. Этому по­священы §§ 55—60.

Периодичность поля означает, что оно не меняется при парал­лельном переносе на любой вектор вида а = + я₂а₂ -+- п₃а₃ (где а_1? а₂, а₃—основные периоды решетки; п_ь п_а, п_а—целые числа):

U(r + _a) = U(r). (55,1)

Поэтому и уравнение Шредингера, описывающее движение элек­трона в таком поле, инвариантно относительно любого преобра­зования г—-*г + а. Отсюда следует, что если гр (г) есть волновая функция некоторого стационарного состояния, то гр(г + а)тоже есть решение уравнения Шредингера, описывающее то же самое состояние электрона. Это означает, что обе функции должны совпадать с точностью до постоянного множителя: гр(г + а) = = const-гр (г). Очевидно, что const должна быть равна по модулю единице; в противном случае при неограниченном повторении смещения на а (или на —а) волновая функция стремилась бы к бесконечности. Общий вид функции, обладающей таким свой­ством, следующий:

ipsk (r) = e'^krM_sk(r), (55,2)

где к—произвольный (вещественный) постоянный вектор, а и_$к — периодическая функция

Usk (r-f-a) = Msk (г). (55,3)

Этот результат был впервые получен Ф. Блохой (F. Block, 1929); волновые функции вида (55,2) называют функциями Блоха, и в этой связи об электроне в периодическом поле часто говорят как о блоховском электроне.

При заданном значении к уравнение Шредингера имеет, вообще говоря, бесконечный ряд различных решений, отвечаю­щих бесконечному ряду различных дискретных значений энергии электрона е(к); индекс s в гр₅к нумерует эти решения. Такой же индекс (номер энергетической зоны) надо приписать и различным ветвям функции е = е₅(к) — закону дисперсии электрона в перио­дическом поле. В каждой зоне энергия пробегает значения в не­котором конечном интервале.

Для различных зон эти интервалы разделены «энергетиче­скими щелями» или же частично перекрываются; в последнем случае в области перекрытия каждому значению энергии отве­чают различные (в каждой зоне) значения к. Геометрически это означает, что изоэнергетические поверхности, отвечающие двум перекрывающимся зонам s и s', находятся в различных областях k-пространства. Формально перекрытие зон означает вырожде­ние— различные состояния обладают одинаковой энергией, но поскольку этим состояниям отвечают различные значения к, то это не приводит к каким-либо особенностям в спектре. От общего случая перекрытия надо отличать пересечение зон, когда значе­ния г₅(к) и e_s, (к) совпадают в одних и тех же точках к (изо­энергетические поверхности пересекаются). Обычно под вырож­дением понимают только такой случай; пересечение приводит к появлению определенных особенностей в спектре.

Все функции tpsk с различными s или к, разумеется, взаимно ортогональны. В частности, из ортогональности гр₃к с различными s и одинаковыми к следует ортогональность функций u_su- При этом ввиду их периодичности достаточно производить интегри­рование по объему v одной элементарной ячейки решетки; при соответствующей нормировке

M*'k«_Sk dv = 8_ss-. (55,4)

Смысл вектора к состоит в том, что определяет поведение волновой функции при трансляциях: преобразование г—>-г + а умножает ее на е'^ка,

ipsk(r + a)=e^lkaip(r). (55,5)

Отсюда сразу следует, что величина к по самому своему опре­делению неоднозначна: значения, отличающиеся на любой вектор b обратной решетки, приводят к одинаковому поведению волно­вой функции (множитель ехр {i (k + Ь) а} = ехр (tka)). Другими словами, такие значения к физически эквивалентны; они соот­ветствуют одному и тому же состоянию электрона, т. е. одной и той же волновой функции. Можно сказать, что функции \p_sic периодичны (в обратной решетке) относительно индекса к:

tys. k + b(r) = ip_sk (г). (55,6)

Периодична также и энергия:

е,(к + Ь) = е,(к). (55,7)

Функции (55,2) обнаруживают определенное сходство с вол­новыми функциями свободного электрона — плоскими волнами ■ф = const-ехр (ipr/h); при этом роль сохраняющегося импульса играет постоянный вектор fik. Мы снова (как и для фонона — см. V § 71) приходим к понятию о квазиимпульсе электрона в периодическом поле. Подчеркнем, что истинного сохраняю­щегося импульса в этом случае вообще нет, так как во внешнем поле закон сохранения импульса не имеет места. Замечательно, однако, что в периодическом поле электрон тем не менее харак­теризуется некоторым постоянным вектором.

В стационарном состоянии с заданным квазиимпульсом hk истинный импульс может иметь, с различными вероятностями, бесконечное число значений вида ^(k-f-b). Это следует из того, что разложение периодической в пространстве функции в ряд Фурье содержит члены вида e^ibr:

u_sk (r) = 2«s, к + ье'^Ьг, ь

и потому разложение волновой функции (55,2) на плоские волны

tfsk (r)=2>_s,k_+he''^{(k + b}>^r. (55,8)

ь

Тот факт, что коэффициенты разложения зависят только от сумм k-f-b, выражает собой свойство периодичности в обратной ре­шетке (55,6). Подчеркнем, что этот факт, как и свойство (55,6), не есть дополнительное условие, налагаемое на волновую функ­цию, а является автоматическим следствием периодичности поля U (г).

Все физически различные значения вектора к лежат в одной элементарной ячейке обратной решетки. «Объем» этой ячейки равен (2я)³/и, где v—объем элементарной ячейки самой решетки кристалла. С другой стороны, объем к/2я-пространства опреде­ляет число соответствующих ему состояний (приходящихся на единичный объем тела). Таким образом, число таких состояний, заключенных в каждой энергетической зоне, равно l/v, т. е. числу элементарных ячеек в единице объема кристалла.

Помимо своей периодичности в k-пространстве функции (к) обладают также и симметрией по отношению к поворотам и отражениям, отвечающим симметрии направлений (кристалличе­скому классу) решетки. При этом* независимо от наличия или отсутствия центра симметрии в данном кристаллическом классе, всегда

e,(-k) = 8,(k). (55,9)

Это свойство—следствие симметрии относительно обращения времени. Действительно, в силу этой симметрии, если if_Sk — вол­новая функция стационарного состояния электрона, то и комп­лексно-сопряженная функция ip_sk описывает некоторое состояние с той же энергией. Но if*_k умножается при трансляциях на _e-ika_{> Т-е e}g отвечает квазиимпульс —к¹).

Рассмотрим, далее, два электрона в периодическом поле. Рассматривая их вместе как одну систему с волновой функцией (^ги ^гг). ^мы найдем, что при параллельном переносе эта функ­ция должна умножиться на множитель вида е'^ка, где к можно назвать квазиимпульсом системы. С другой стороны, на больших расстояниях между электронами if (г^, г₂) сводится к произве­дению волновых функций отдельных электронов и при трансля­ции умножится на е'Ме'М. Из требования совпадения обоих видов записи этого множителя находим, что

k = k₁ + k₂ + b. (55,10)

В частности, отсюда следует, что при столкновении двух элек­тронов, движущихся в периодическом поле, сумма их квази­импульсов сохраняется с точностью до вектора обратной ре­шетки:

к; + к₂ = к; + к₂-т-Ь. (55,11)

Дальнейшая аналогия между импульсом и истинным импуль­сом выясняется при определении средней скорости электрона.

Вычисление ее требует знания оператора скорости v = r в к-пред-ставлении. Операторы в этом представлении действуют на коэф­фициенты c_Sk разложения произвольной волновой функции по собственным функциям ipsk:

^ = 2$Csk*M³fe. (55,12)

S

Найдем сначала оператор г. Имеем тождественно г* = £ 1 ^Cskr*^skd*^k = L1^Csk (~i^+«^ikr%)

s s '

^J) При наличии перекрытия зон из этих рассуждений следует, строго говоря, лишь что e_s(— k) = e_s, (к), где s и s'— номера каких-либо зон. Равен­ства (55,9) можно, однако, всегда добиться путем надлежащего определения номеров различных ветвей функции е(к).

В первом члене производим интегрирование по чвстям, а во втором разложим периодическую (как и сама «_sk) функцию du_Sk/dk по системе взаимно ортогональных функций m_sk с тем же к:

^ = -iX<sk|Q|s'k>«_s._{k) (55)13)}

где <sk|Q|s'k> — постоянные коэффициенты. Тогда получим пр = X j" "kk -f-2 J c_sk <sk IQI s'k> i|v_k d'ft =

s ss'

_{'= E 1 {* + L <}^S_'^k _I ^Й _I ^Sk_> ^C_{»'k} W}³_*-

s s'

С другой стороны, по определению оператора г, должно быть

s ^J

Сравнив с полученным выражением, находим

f = t| + Q, (55,14)

где оператор (эрмитов) Q задается своей матрицей <s'k | Q | sky. Существенно, что эта матрица диагональна по индексу к, и поэтому оператор Q коммутативен с оператором k = k.

Оператор скорости получается, по общим правилам, путем коммутирования оператора г с гамильтонианом электрона. В k-представлении гамильтониан Н является диагональной по к и номерам зон s матрицей с элементами еДк)¹). Оператор же д/дк, действующий только на переменную к, диагоналей по номерам s. Поэтому в выражении

у=1(Гг-гЯ) = -1(я|-|я) + й

первый член является диагональной матрицей с элементами _±f_e (к)^-^-е (к))--

Матричные же элементы fl связаны с матричными элементами Q соотношением

*) Точнее, надо говорить о ks-представлении. Напомним, что волновые функции в этом представлении, c_sk, не вполне произвольны—они должны быть периодичны по к,

<sk | Q |s'k> = 1 [е, (к)- в, (к)] <sk | Q |s'k>;

это выражение обращается в нуль при s = s', т. е. Q не имеет элементов, диагональных по номеру зоны. Таким образом, окон­чательно находим для матричных элементов скорости электрона

<sk|v|sk>=%^, <sk|v|s'k> = <sk|fl|s'k> (s=^s'). (55,15)

Диагональные' элементы этой матрицы представляют собой средние значения скорости в соответствующих состояниях. Эти значения, следовательно, как функции квазиимпульса даются выражением

v,=ff>, (55,16)

полностью аналогичным обычному классическому соотношению.

До сих пор мы вели изложение, отвлекаясь от наличия у электронов спина. В пренебрежении релятивистскими эффектами (спин-орбитальным взаимодействием) учет спина приводит просто к двукратному вырождению каждого уровня энергии с заданным значением квазиимпульса к — по двум значениям проекции спина на какое-либо фиксированное направление в пространстве. С учетом же спин-орбитального взаимодействия ситуация раз­лична в зависимости от того, имеет ли или нет кристаллическая решетка центр инверсии.

Спин-орбитальное взаимодействие для электрона в периоди­ческом поле описывается оператором

Я_г1 = Ш?[^У]^ (⁵⁵.¹⁷)

где а—матрица Паули (см. IV § 33). Волновые функции, на которые действует этот оператор,— спиноры первого ранга ip_Ska, где а—спинорный индекс. Согласно теореме Крамерса (см. III § 60), относящейся к любому (в том числе периодиче­скому) электрическому полю, комплексно-сопряженные спиноры tyska и ipska всегда описывают два различных состояния с одной и той же энергией. Поскольку в то же время функция if_ska от­вечает квазиимпульсу —к, то мы снова (теперь уже и с учетом спин-орбитального взаимодействия) приходим к соотношению типа (55,9):

e_Sa(-k) = e_s(J. (к), (55,18)

¹) С учетом спин-орбитального взаимодействия оператор проекции спина уже не коммутативен с гамильтонианом, так что эта проекция не сохраняется и спиновые состояния не могут, строго говоря, характеризоваться этим числом.

где индексы аист' отличают два различных (обращенных по времени) спиновых состояния *).

и(х)

Ж

I

О а

Рис. 10.

Равенство (55,18) не означает, конечно, вырождения в том смысле, о котором говорилось выше, поскольку энергии в обеих сторонах равенства относятся к различным значениям к. Но если решетка обладает центром инвер­сии, то состояния с к и —к имеют оди­наковую энергию. Тогда мы приходим к равенству e_s<j(k) = e_SO' (к), снова означаю­щему двукратное вырождение каждого уровня с заданным квазиимпульсом.

а + Ь

Наряду с вырождением, связанным с симметрией относительно обращения вре­мени, для электрона в периодическом

поле может существовать также и вырождение, обязанное про­странственной симметрии решетки. Этим вопросам посвящен ниже § 68.

Задачи

1. Найти закон дисперсии для одномерного движения электрона в перио­дическом поле, изображенном на рис. 10 (R. Kronig, W. G. Penney, 1930). Решение. Волновая функция в области ямы I (0 < х < а) имеет вид

ap = c₁e'*'^JC + c_se-''^Cl*, щ=У2те!%, а в области барьера II (—b < х < 0):

(1)

ар = с,/"** + c₄e-^fx'*, щ = V2т (е— U₀)/%.

(2)

В области следующего барьера III волновая функция должна отличаться от (2) лишь фазовым множителем е'*<^а+&> (a+b— период поля):

y _{= e}ik w + ь) (_Сзе*, (х-а-Ь) _{+ Cl}g-t*, {х-а-Ь)^ ₍₃₎

Условия непрерывности ар и ар' в точках * = 0 и х = а дают четыре уравнения для Ci, ..., с₄; условие совместности этих уравнений приводит к дисперсион­ному уравнению

cos k (a+6) = cos Xia-cosx₂b—\? (—-\-—\ sinXia-sinx^, (4)

J, \ X₂ Hi J

sin xia-sh I к₂Ь I

(5)

определяющему в неявном виде искомую зависимость е (k). При е < £/₀ вели­чина х₂ мнима, и тогда уравнение надо записать в виде

1 Н х₂ |

cos k (a+6)=cos Xjta-ch | x₂u |-f-

X_X I Xj

fa xia в период

U (x) = aP^8(x—an).

Если в (5) перейти к пределу £/₀—>-оо, Ь—► 0 при U₀b — const = Pa получим дисперсионное уравнение

, . Рта² sin к,а cos £a = cos x_xaH——_п • (6)

Оно решает задачу об уровнях энергии в периодическом поле, составленном из 6-функционных пиков:

На рис. 11 дано графическое построение, иллюстрирующее распределение корней уравнения (6). Здесь изображена правая сторона уравнения как функ­ция от Ххв; когда она пробегает значения между ±1, корни уравнения про­бегают значения в интервалах, указанных жирными отрезками на оси абсцисс.