§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами

Вопрос о термодинамических свойствах «почти идеального» вырожденного газа не имеет непосредственного физического смысла, так как реально существующие в природе газы при

температуре вблизи абсолютного нуля конденсируются. Тем не менее, ввиду существенного методического интереса этого воп­роса, имеет смысл рассмотреть его для воображаемой модели газа, частицы которого взаимодействуют таким образом, что конденсация газа исключена.

Условие слабой неидеальности газа заключается в малости -радиуса действия молекулярных сил г₀ по сравнению со сред­ним расстоянием между частицами / ~ (V/N)¹¹³. Вместе с усло­вием г₀<^.1 будет справедливо также и неравенство

ргЛ<1 (6,1)

для импульсов р частиц. Действительно, для вырожденного ферми-газа предельный импульс р_Р оценивается по формуле (1,1), согласно которой p_Fj% ~ (/V'/V)^1/3 <^1/г₀.

Мы будем рассматривать здесь лишь парное взаимодействие между частицами, причем для простоты будем считать это взаимодействие U (г) не зависящим от спинов частиц. Наша цель состоит в вычислении первых членов разложения термо­динамических величин по степеням отношения rjl путем при­менения квантовомеханической теории возмущений. Затруднение заключается в том, что, ввиду быстрого возрастания энергии взаимодействия на малых расстояниях между частицами, теория возмущений (так называемое борновское приближение) к столк­новениям частиц в действительности неприменима. Это затруд­нение можно, однако, обойти следующим образом.

В предельном случае «медленных» (какими они являются при условии (6,1)) столкновений, амплитуда взаимного рассея­ния частиц с массой т стремится к постоянному пределу—а, который в борновском приближении дается выражением (см. III (126,13))

причем этот предел отвечает s-состоянию пары частиц (со спи­ном 1/2); постоянную величину а называют длиной рассеяния¹). Поскольку эта величина полностью определяет свойства столк­новений, то она же должна определять и термодинамические свойства газа.

¹) Выражение (6,2) не учитывает квантовомеханической тождественности частиц. В предельном случае медленных столкновений тождественных частиц со спинами 1/2 рассеяние происходит только при антипараллельных спинах, причем дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол do (в системе центра инерции) есть do--4а²do; полное сечение получается интегрирова­нием da по полусфере: а = 8яа² (см. Ill § 137).

Отсюда вытекает возможность применения следующего при­ема (его называют перенормировкой), Формально заменяем истинную энергию U (г) другой функцией, с тем же самым значением а, но допускающей применение теории возмущений. До тех пор (т. е. до такого приближения) пока окончательный результат вычислений содержит U только в виде амплитуды рассеяния, этот результат будет совпадать с тем, к которому привело бы истинное взаимодействие.

Радиус действия истинного взаимодействия, вообще говоря, совпадает по порядку величины с длиной рассеяния а. Для фиктивного же поля U (г), введенного в качестве вспомогатель­ного понятия, условие применимости борновского приближения означает, что а<^г₀. Истинным малым параметром разложения теорий является, конечно, величина ap_F/ft.

Ниже нам понадобится связь между £/„ и а не только в первом (формула (6,2)), но и во втором борновском прибли­жении. Для ее нахождения вспомним, что если вероятность некоторого перехода системы под влиянием постоянного возму­щения V определяется в первом приближении матричным эле­ментом V₀₀, то во втором приближении V_Q0 заменяется на

где суммирование производится по состояниям (пфО) невоз­мущенной системы (см. III § 43). В данном случае речь идет о системе двух сталкивающихся частиц, а возмущением является их взаимодействие U (г). Матричные элементы возмущения для переходов с изменением импульсов частиц p_it р₂—>-$[, р'₂ (при­чем Pi + p₂ = p; + p₂') равны

где р = р₂—р₂ = — (Pi—Pi); ввиду независимости взаимодействия от спинов проекции спинов частиц (указываемые индексами a_it а₂) при столкновении не меняются. Роль V₀₀ играет матрич­ный элемент при нулевых импульсах: UjV. Таким образом, для перехода от первого ко второму приближению надо заме­нить U₀ на

'2

1У Pl + PZ — Pl —Р2

Pi

_ги

(суммирование производится при заданных р_1; р₂ по pi^pi, р₃). Поскольку в нашем случае импульсы частиц предполагаются малыми, то во всех существенных членах в сумме можно заме­нить матричные элементы их значениями при р = 0. Сделав

это, получим следующее выражение для длины рассеяния¹):

L

С той же точностью имеем отсюда

^U9=~ar\¹—^f~2^„2, 2 .-₂ . (6,5)

Расходимость суммы в (6,4) (при больших р[, р_а') связана с про­изведенной заменой всех матричных элементов постоянными значениями и несущественна, так как при дальнейшем исполь­зовании этого выражения для вычисления энергии системы все равно получится сходящееся выражение, в котором большие импульсы не играют роли. Мы понимаем под а длину рассеяния медленных частиц, не зависящую от их энергии. Формула же (6,4) содержит, на первый взгляд, зависимость от импульсов р₁₍ р₂. В действительности эта зависимость заключена лишь в мнимой части амплитуды рассеяния (возникающей при надле­жащем определении способа суммирования — ср. III (130,9)), на которую можно не обращать внимания, поскольку нам за­ранее известно, что окончательный результат будет все равно вещественным; к этому вопросу мы еще вернемся в § 21.

В этом параграфе мы рассмотрим модель ферми-газа с оттал-кивательным характером взаимодействия между частицами; для такого взаимодействия а > 0. Именно в этом случае газ имеет энергетический спектр описанного в §§ 1, 2 фермиевского типа.

Гамильтониан системы частиц (со спином 1/2) с парным взаимодействием между ними записывается в методе вторичного квантования в виде

ра

(см. III § 64). Здесь ар_а и а_ра—операторы рождения и уничто­жения свободной частицы с импульсом р и проекцией спина а (а = ±1/2). Первый член в (6,6) отвечает кинетической, а вто­рой—потенциальной энергии частиц; в последнем суммирование

^г) Во всех промежуточных формулах мы пишем суммы по дискретным значениям импульсов частиц, заключенных в конечном объеме V; при окон­чательном вычислении суммирование заменяется, по общему правилу, интех рированием по V d³p/(2n%)^a,

производится по всем значениям импульсов и проекций спинов с соблюдением закона сохранения импульса при столкновениях.

В соответствии с предположением о малости импульсов частиц снова заменяем матричные элементы в (6,6) их значением при нулевых импульсах: <0a_f, 0a₂1 U | 0a₁₍ 0а₂> = UJV. Далее, замечаем, что в силу антикоммутативности операторов a_Piai, а_РгК2 в статистике Ферми, их произведение антисимметрично по отно­шению к перестановке индексов; то же самое относится к про­изведениям яр'^яр^- В результате взаимно сокращаются все

члены во второй сумме в (6,6), содержащие пары одинаковых индексов a_lt a₂ (физически это связано с упомянутым уже обстоятельством, что в пределе медленных столкновений взаимно рассеиваться могут лишь частицы с противоположными спи­нами) .

Таким образом, гамильтониан системы принимает вид

Й = Ц-|^р⁺а^ара + .ТГ Z/i"+&ifl2-af+. (⁶>⁷)

где a_i+ = a_Pl+, а'₁₊ = а_р^₊ и т. п., а индексы + и — здесь и

ниже стоят вместо +1/2 и —1/2.

Собственные значения этого гамильтониана вычисляются с помощью обычной теории возмущений, причем второй член в (6,6) рассматривается как малая поправка к первому члену. Последний уже имеет диагональный вид и его собственные значения равны

£⁽⁰⁾=Е-£"р«> (6,8)

pa

где Пра—числа заполнения состояний pa¹).

Поправка первого порядка дается диагональными матрич­ными элементами энергии взаимодействия:

£i¹» = -^£n₁₊n₈_, (6,9)

pipz

где n_i+ =n_Pl+ и т. п.

Для нахождения поправки второго порядка пользуемся из­вестной формулой теории возмущений

еч2) \"'' I Vr.m I³

¹¹ 2L.i F F ' т

^г) Предполагая, что частицы обладают определенными значениями про­екции спина, мы тем самым предполагаем приведенной к диагональному виду также и статистическую матрицу «_ap(p); функции же «_a(p) с а=±1/2 яв­ляются при этом ее диагональными компонентами.

где индексы п, т нумеруют состояния невозмущенной системы. Простое вычисление (с использованием известных матричных элементов операторов а_ра, йр_а) приводит к результату

ul у» Я_{1 +} Я_д_ (1— п[+) (1— П₂_)

^У2 „оо' {Р\+Р\-Р?-Р?)12т

(6,10)

Структура этого выражения вполне понятна: квадрат матрич­ного элемента перехода р₁₍ р₂—>-pi, pi пропорционален числам заполнения состояний р^, р₂ и числам свободных мест в состоя­ниях Pi, рг.

Входящий в (6,9—10) интеграл U₀ должен быть выражен через реальную физическую величину—амплитуду рассеяния —а. В членах второго порядка это может быть сделано по (6,2), а в членах первого порядка требуется более точная формула (6,5). Произведя эти подстановки, получим для поправки первого порядка по а;

£^tt)-f5>₊n,- (6,11)

PiP»

и для поправки второго порядка:

_£(2)_2mg» _v «₁₊n₂4(l-ni + )(l-tt2-)-l]

V² 2* Т—1 s Тг :

то Pl + Pi-Pi -pi

(для краткости вводим в промежуточных формулах «константу связи» частиц газа¹) g = 4nfi²a/m). Раскрывая выражение в чис­лителе, замечаем, что члены с произведениями четырех п взаимно сокращаются, поскольку их числители симметричны, а знаме­натели антисимметричны по отношению к перестановке р₁₍ р₂ и pi, pi; суммирование же по этим переменным производится симметричным образом. Таким образом, окончательно имеем

2?<«>-,_^ у ^П1;\^{п[++^п;;1. (6,12)

-7*' pi + pa—pi — Pi

Эта сумма (в которой все я_ра —>-0 при р—►оо) уже сходится.

С помощью полученных формул можно прежде всего вычис­лить энергию основного состояния. Для этого надо положить все при равными единице внутри ферми-сферы (p<p_f = = %(3n²N/Vy!*) и равными нулю вне ее. Заметим в этой связи, что хотя в исходном гамильтониане собственные значения

^х) После перенормировки амплитуды рассеяния эта величина уже отнюдь не совпадает с постоянной фигурирующей в (6,2)1

операторных произведений а_рар._ра дают числа заполнения состоя­ний самих частиц газа_л но после диагонализации гамильтониана с помощью теории возмущений мы уже имеем дело с функцией распределения квазичастиц (обозначенной нами, как и в пре­дыдущих параграфах, через п_ра)-

Замечая, что 2"р+=2^пр-⁼⁼^/2, получим из (6,11) поправку первого порядка

В формуле (6,12) заменяем суммирование по трем импульсам с учетом условия Pi + p₂ = pl + p₂ интегрированием по

б (Рх + Р„-Р1-РЭ d*_Pl d*p₂ d°pi d³pL

так что

= -f ⁶^-Р^;-^р?^ d*p₂ ffipld°_P;,

причем интегрирование происходит по области р_и р₂, p[^.p_F. Вычисление интеграла¹) приводит к следующему окончательному результату для энергии основного состояния:

Зр² г

^£° ^N Юот

^ , 10 p_Fa 4(11— 2 In 2) / p_Fa у 9я £ 21л² V А / .

(6,13)

где величина, стоящая перед скобками,—энергия идеального ферми-газа (К- Huang, С. N. Yang, 1957).

Химический потенциал газа при абсолютном нуле опреде­ляется как производная \i = (dEjdN)_v; выраженный через пре­дельный импульс р_р, он имеет вид

„_pf Г,, 4 р_Ра , 4(11-2 In 2) /pfoV

(6,14)

Согласно общим положениям теории Ландау, спектр элемен­тарных возбуждений е(р) и функция взаимодействия квазича­стиц /w(P>P') определяются первой и второй вариациями полной энергии по функции распределения квазичастиц²). Если пи­сать Е в виде дискретной суммы по р и а, то имеем, по опре­делению,

*) Фактически проще производить вычисления в другом порядке, начав с вычисления функции f (см. ниже).

²) Матрица /_аа' (р, р') в этом параграфе—совокупность диагональных по двум парам индексов (а, р и у, б) компонент матрицы f pe(P> Р')-

6£ = ]Г 8_а(р)бЯра+-щ7- X /«*'(Р» р')6Лра6Яр'а' (6,15) ра ра, р'а'

(причем после дифференцирования энергии надо заменить п_ра единицей внутри и нулем вне ферми-сферы). В вычислении таким путем эффективной массы квазичастиц т*, однако, нет необ­ходимости, поскольку она может быть найдена и более простым способом (см. ниже).

Для вычисления же функции /_аа< (р, р') (на ферми-поверх-ности), дифференцируем дважды сумму выражений (6,11—12), после чего надо положить р = р' = р_Р. Произведя это простое вычисление и перейдя от суммирования к интегрированию, по­лучим

/₊-(р. P')=g--^H⁵1^р+^р'-?'-Г²⁾+

⁺ 2 (pi-pi) )^aP^P«

/₊₊(P. P') = /-(P, P') =

_ 2mg² f 6(p + p_t — p'~p₂) + & (p' + pi—p—p₈) ,₃

(2я£)³ J pi—pa

Интегрирование в этих формулах сравнительно просто ввиду меньшей кратности интегралов.

Окончательный результат должен быть представлен в виде (2,4), не зависящем от выбора оси квантования спинов.

В таком виде он дается формулой

, 2ла%² 1.

Ыу, Р6 = —

1

2аР/

cos &

2sm_T

In

1 —sin

1 + sin —\

_7J

бсф<%б

1 + sin ■

nfi²

l__Tsin_Tln

1 —sin

2 / J

(6,16)

где ft—угол между векторами p_F и p'_F (А. А. Абрикосов, И. M. Халатников, 1957) *).

Эффективная масса квазичастиц получается отсюда интегри­рованием по формуле (2,12) и равна

т ~ 15я²

₍₇ ln2-l)^V

(6,17)

*) Функция (6,16) обращается логарифмически в, бесконечность прид = я. Это сбстоятельство связано со сделанными пренебрежениями. Более точное исследование показысает, что хотя значение 0 = я действительно является особой точкой функции, но последняя обращается в ней не в бесконечность, а в нуль (см. примечание на стр. 263). Неприменимость формулы (3,16) вблизи 0 = я несущественна для дальнейших приложений, в которых фигурируют интегралы, сходящиеся в этой точке.

Формула же (2,17) позволяет найти скорость звука в газе:

14

2_ ар_Р . 8(11 —2In 2) / арр\а 1

«Т⁺ 15я» \% )У

(6,18)

Интегрируя затем величину u*m/N (выраженную через N/V вместо р_Р) по dN, мы найдем, согласно (2,13), химический потен­циал газа, а еще одно интегрирование по dN приведет к выра­жению (6,13) для энергии основного состояния.

Формула (6,13) представляет собой первые члены разложения энергии газа по степеням «параметра газовости» т) = ppaj% ~ ~a{NjV)¹'ⁱ. Аналогичными, хотя и значительно более громозд­кими вычислениями можно было бы получить еще и несколько следующих членов разложения. Дело в том, что в случае ферми-газа тройные столкновения вносят вклад в энергию лишь в срав­нительно далеком приближении. Из трех сталкивающихся частиц по крайней мере две имеют одинаковую проекцию спина; при этом координатная волновая функция системы должна быть анти­симметричной по отношению к этим двум частицам. Это значит, что орбитальный момент относительного движения этих частиц равен по крайней мере 1 (/^-состояние). Соответствующая вол­новая функция содержит лишнюю (по сравнению с волновой функцией s-состояния) степень р/А (см. III § 33), и, следова­тельно, вероятность такого столкновения содержит лишнее р², т. е. ослабляется в ~ (pa/A)³ ~ т)^а раз по сравнению с вероят­ностью «лобового» столкновения частиц, неподчиняющихся прин­ципу Паули. В результате тройные столкновения дадут вклад в энергию лишь в членах, содержащих объем как V"^-2V—²^³-Другими словами, через характеристики одних только парных столкновений выражаются все члены разложения энергии вплоть до членов порядка

включительно (т. е. еще три члена, следующих за выписанными в (6,13)). Однако в числе характеристик парных столкновений будет фигурировать не только амплитуда s-рассеяния для мед­ленных столкновений (как в (6,13)), но и ее производные по энер­гии, а также амплитуда р-рассеяния.