§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары

^х) Изложение теории бесщелевой сверхпроводимости см. в оригинальной статье: А. А. Абрикосов, Л. П. Горькое, ЖЭТФ 39, 1781 (1960).

Уже неоднократно говорилось о том, что в основе возник­новения сверхтекучести в ферми-системе лежит эффект Купера — образование связанных состояний (спаривание) притягивающи­мися частицами на ферми-поверхности. Для ферми-газа условие

притяжения формулируется как требование отрицательности дли­ны рассеяния а = ^ U d³x, т. е. положительность амплитуды рас­сеяния двух частиц в состоянии с нулевым орбитальным моментом относительного движения, / = 0 (именно это состояние дает главный вклад в рассеяние при малых энергиях).

Справедливо, однако, и гораздо более сильное утверждение: спаривание (и, как следствие, возникновение сверхтекучести) происходит, если взаимодействие имеет характер притяжения хотя бы при одном каком-либо значении момента / (Л. Д. Лан­дау, 1959). Подчеркнем, что речь идет об изотропной системе (жидкость или газ), где можно классифицировать состояния по значениям /.

Докажем это утверждение для ферми-газа с помощью метода, позволяющего, в принципе, определить температуру Т_с пере­хода в сверхтекучее состояние исходя только из свойств систе­мы (нормального ферми-газа) при температурах Т > Т_с.

В § 18 было упомянуто, что в математическом аппарате гринов­ских функций нормальной ферми-системы энергия связанного состояния пары частиц проявляется как полюс вершинной функ­ции Г; то же самое относится (при Т Ф 0) и к температурной вершинной функции, которую обозначим через $~. После появ­ления такого полюса весь этот аппарат становится в действи­тельности неприменимым, но он еще применим в первый момент, когда, при понижении температуры, при Т = Т_С впервые появ-. ляется полюс, причем энергия связи пары в этот момент должна" равняться нулю; состояния сверхтекучей и нормальной фаз при этом совпадают.

На скелетной диаграмме

димо, чтобы в ряде теории возмущений для вершинной функции имелись бы члены, содержащие интегралы, расходящиеся при условии (54,1) и при Т_с—>0(Т_С мало при слабом притяжении); в противном случае все поправки к (конечному) члену первого приближения были бы заведомо малы по сравнению с последним при всех температурах, и полюс не мог бы появиться.

Этому требованию удовлетворяет ряд «лестничных» диаграмм

£ ⁷

V-s/ 3* к 7 ?«--!«■-«—7 J«—f-*—f~1 .

= : + ; j + i ! i +.»

^{y^-\ ц*—U 2 4« ' ' '«■ »2Ч*-Ь-м...ч -2}

Как будет видно из последующего, во всех этих диаграммах (начиная со второй) малость по взаимодействию (от прибавле­ния пунктирных линий) компенсируется, в указанном смысле, расходимостью интегралов¹).

Применив к этому ряду прием, который был уже использован при переходе от (17,3) к (17,4), найдем, что равенство (54,2) эквивалентно диаграммному уравнению

^рг_ ^ _{Pi рг Pj}

% ~р,

_{-р;— -р/—}

Свободным концам и внутренним линиям диаграмм отвечают аргу­менты, которые указаны в (54,3) уже с учетом условий (54,1):

Pt = {0, Pi). Р, = (0, р,), Q = (»■£,. Я).

Спиновая зависимость гриновских функций идеального газа отделяется в виде £а⁰р = 8_авЗ⁽⁰\ а спиновая зависимость вершин­ной функции (без антисимметризации!) — в виде

fy6.<#(P» Р*> ^Р1. Л) = Мр6^з. Р*\ Pi, P_t).

Раскрыв диаграммы (54,3) по указанным в § 38 правилам и со­кратив спиновые множители, получим для функции е»Г интег­ральное уравнение

со

^l) К диаграммам (54,2) надо было бы добавить еще такой же ряд диаграмм с переставленными концами 3 и 4, что приводит к антисимметризации вершин­ной функции по ее спиновым и орбитальным аргументам. Однако для постав­ленной здесь цели определения Т_с этого можно не делать, так как в обеих этих частях вершинной функции полюс появляется одновременно.

«^(Рз.-Рз; Pi,-Pi) + Г Е f ^(P3-q)^^c,(^.q)S^(0,(-^,-q)X xJ^r(q,-q; Pt,—Pi)-^ = t/(Pi—P,). (5*4,4)

В стоящих здесь сумме и интегралах существенны малые значения дискретной переменной t,_s и значения q вблизи ферми-поверхности (см. ниже). Поэтому в множителях (/и/ под знаком интеграла можно положить ^ = 0 и q = p_F- На ферми-поверх­ности лежат также и векторы p_t и р_а. Таким образом, все функ­ции <$~ и U в уравнении (54,4) будут зависеть каждая лишь от одной независимой переменной — угла между какими-либо дву­мя из трех векторов р_1т р₃, qHa ферми-поверхности.

Уравнение (54,4) можно теперь решить, разложив U и «Г в ряды по полиномам Лежандра:

= £(2/ + 1)а₍Р_г(со5$),

1 = 0 со

_{= Е(2* + 1)«0"А (cosft),}

(54,5)

1=0

где •& — какой-либо из указанных углов. Подставив эти разло­жения в (54,4) и произведя интегрирование по направлениям с помощью теоремы сложения сферических функций, получим

P_l(l+a_lIl) = a_l, (54,6)

где

П = Г fj|8««tt.. q)[^ = ^ Jj-^; (54,7)

функция $⁽⁰> взята из (37,13), a t]_q = q*/2m—ix&v_F(q—p_F). Сог­ласно формуле суммирования (42,10), имеем

Расходимость интеграла по dq = dr\/v_F на верхнем пределе фиктивна (ср. примечание на стр. 189) и интеграл должен быть обрезан при некотором г] да е_г ^х). Но при Т—>0 интеграл рас­ходится логарифмически также и на нижнем пределе, т. е. ведет себя как In (1/7").

Из (54,6) видно, что 3~_t обращается в бесконечность (т. е. $~ имеет полюс) при условии

*) В виду быстрой сходимости суммы по s в (54,7) в ней действительно существенны лишь малые t_s, а, логарифмический характер интеграла по dq оправдывает предположение о близости q к p_F.

1+аД1 = 0. (54,9)