§ 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник

Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к задаче о проникновении внешнего магнитного поля в сверх­проводник (в лондоновском приближении эта задача была рас­смотрена в § 44).

Пусть сверхпроводник ограничен плоской поверхностью и занимает полупространство х > 0, а внешнее поле & (а с ним и индукция В внутри сверхпроводника) направлено параллельно поверхности, вдоль оси г. Тогда все величины зависят только от координаты х, причем ток j и векторный потенциал А (в ка­либровке с divA = 0) направлены вдоль оси у. Уравнение Мак­свелла rot В = — АА = 4nj/c сводится к

A'(x) = ~i(x), х>0, (52,1)

*) Формула такого вида была предложена Пиппардом (А. В. Pippard, 1953) на основании качественных соображений еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости.

где ' означает дифференцирование по х.

Граничные условия к этому уравнению зависят, однако, от физических свойств поверхности металла по отношению к падаю­щим на нее электронам. Наиболее прост случай зеркального отражения электронов от поверхности. Очевидно, что при таком законе отражения задача о полупространстве эквивалентна за­даче о неограниченной среде, в которой поле А (х) распределено симметрично по обе стороны плоскости х = 0 (А рс) = А (— х)). При этом производная А' (х), как нечетная функция х, будет испытывать при х = 0 разрыв, меняя знак при прохождении х через нуль. Другими словами, условию В = А' =<%> на поверхно­сти полупространства в задаче с неограниченной средой отве­чает условие

Л'(+0)-Л'(-0) = 2,§. (52,2)

Умножим уравнение (52,1) на е~'^кх и проинтегрируем его по dx в пределах от — со до со. В левой стороне уравнения пишем

оо 0 оо оо

J A"e~^ikxdx= J (A'e-^ik*)'dx + J (A'e-^tk*)'dx + ik $ Л'<?-''** dx.

— 00 — CO 0 — 00

Первые два интеграла дают в сумме —2§, а в последнем можно интегрировать уже просто по частям, поскольку сама функция Л (х) непрерывна при х = 0. В результате мы приходим к равен­ству

Щ+k'A (*) = ±1/(й),

где Л (k) и j(k)—фурье-компоненты функций Л (х) и /(л:), опре­деленных во всем пространстве. Они связаны, следовательно, соотношением |/(/г) = — Q(k)A(k), где Q (k) дается- формулами, полученными в предыдущем параграфе. Таким образом, для фурье-компонент поля находим

A (k) = — _k2 ₊ 4n_Q{k)/c- (52,3)

Глубина проникновения б определяется как¹)

со

8 = ±§B(x)dx=-±^. (52,4)

о

Выразив А(х = 0) через фурье-компоненты Л (k) и подставив последние из (52,3), имеем

1 °° 1 ⁰⁰

^J) При экспоненциальном законе затухания поля это определение совпа­дает с определением в (44,13).

^{6 = — fc" J А№ш = ~п 1 *« + 4nQ(|ft|)/c • (52>5)}

Основную роль в этом интеграле играет область значений k, в которой k² ~ 4л.«2/с. В лондоновской случае (когда б_£^>|₀) эти значения малы в том смысле, что/г|„<^1. При этом Q (k) дается не зависящим от k выражением (51,8), и интегрирование в (52,5) приводит, естественно, к значению б = б_£.

В обратном, пиппардовском случае (когда б_£ <^ |₀) существен­ные в интеграле значения /г^>1/£₀. Здесь Q (k) дается выражением (51,21), и интеграл (52,5) дает

б = 6^ = 4/33/2 pi/³.

(52,6)

С учетом (51,22) находим, таким образом, что пиппардовская глубина проникновения

бр~(б!У^.

(52,7)

Изложенные вычисления относились к случаю зеркального отражения электронов от поверхности металла. В лондоновской случае, однако, глубина проникновения вообще не зависит от закона отражения, как это ясно из вывода значения б_£ в § 44; при б^>£„ детали структуры" поверхности не существенны.

Но и в пиппардовском случае зависимость глубины проник­новения от закона отражения фактически оказывается весьма незначительной. Так, в обратном, по отношению к зеркальному, случае диффузного отражения (когда направления скоростей отраженных электронов распределены изотропно при любом направлении падения) значение 8_Р оказывается всего в 9/8 раз больше, чем при зеркальном отражении.