§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике

В § 44 были получены формулы, определяющие связь между током и магнитным полем в сверхпроводнике в предельном (лон-доновском) случае медленного изменения всех величин вдоль объема тела; при этом поле предполагалось слабым—малым по сравнению с его критическим значением. Теперь мы рассмотрим этот вопрос в общем случае произвольно меняющегося в прост­ранстве статического поля, по-прежнему предполагая его слабым. Слова «произвольно меняющееся» означают здесь, что поле может существенно меняться на расстояниях ~£₀ (но, конечно, по-прежнему мало меняется на расстояниях порядка величины постоянной решетки; поэтому неоднородность среды—металла — на атомных расстояниях несущественна):

В общем случае связь между током и магнитным полем в пространственно-неограниченной среде изображается интег­ральной формулой вида

/,. (г) = - $ Q_tt (г-г') А_к (г') йЧ', (51,1)

где ядро Q_ik зависит только от свойств самой среды¹). Линей­ность зависимости (51,1) отвечает предположению о слабости поля.

Как известно, плотность тока может рассматриваться как вариационная производная от энергии системы по векторному потенциалу: изменение функции Гамильтона системы при варьи­ровании А есть

8Н=— -i-Jj6Ad^

(см. III (115,1)). Поэтому ядро Q_ik в (51,1) является второй вариационной производной, а симметрия относительно порядка двукратного дифференцирования (по Л,.(г) и А_к{г')) означает, что

<?/*(>•-«•') = <?*,• (г'-г). (51,2)

Разложив А (г) и j (г) в интегралы Фурье, запишем связь (51,1) для фурье-компонент:

l_t(k) = -Q_ik(k)A_k(k), (51,3)

причем в силу (51,2) Q_iK(k) = Q_}t!(— k).

¹) Задача о неограниченной среде имеет в данной связи лишь формаль­ный смысл. Ее реальное значение состоит в дальнейшем применении ее резуль­татов к задаче об ограниченной среде — см. следующий параграф.

Некоторые важные свойства функции Q,_ft(k) следуют уже из требований калибровочной инвариантности. Ток j не должен

меняться при калибровочном преобразовании А (г)—s-A(r)-f-Vx(^r) или, для фурье-компонент:

A(k) —А(к) + Лх(к).

Это значит, что тензор <2_(й(к) должен быть ортогонален волно­вому вектору

Q_ik(k)k_k = 0. (51.4)

В частности, в кристалле кубической симметрии тензорная зави­симость Q_ik сводится к членам вида 6_ik и k₍k_k; из (51,4) сле­дует тогда, что

Q,-*=(8₍-_ft-^-*)Q(k), (51,5)

где Q (к)—скалярная функция.

Для дальнейшего выберем калибровку потенциала, в кото­рой div А (г) = 0. Для фурье-компонент это значит, что кА (к)=0. Поэтому связь (51,3) между током и потенциалом сведется к равенству

j(k) = -Q(k)A(k), (51,6)

т. е. будет определяться лишь скалярной функцией Q (к).

Лондоновскому случаю отвечает предельное выражение Q (к) при к—*0. Это выражение легко найти, применив к обоим сто­ронам уравнения (44,8)

rot j = — ^е— rot А

^J тс

оперицию rot и учтя равенство divA = 0. Заметив, что в силу уравнения непрерывности также и div j = 0, получим

Aj = —f!^AA. ^J тс

В неограниченном пространстве для везде конечных функций j (г) и А (г) отсюда следует, что и

И^г) = -^А.(г), (51,7)

*) В этом и следующих параграфах лондоновская глубина проникновения обозначается как 6^.

т. е. значение тока' в каждой точке определяется лишь значе­нием потенциала в той же точке. Такое же равенство имеет место между фурье-компонентами j (к) и А (к), и сравнение с (51,6) показывает, что Q (к) дается не зависящим от к выражением¹)

Дальнейшее содержание этого параграфа состоит в вычисле­нии Q (к) для модели БК.Ш, под которой подразумевается, как уже говорилось, изотропный вырожденный ферми-газ со слабым притяжением между частицами (электронами). В то же время предполагается, что эти частицы взаимодействуют с магнитным полем своим зарядом е.

В § 42 были написаны уравнения (42,5) для температурных гриновских функций- ферми-газа в отсутствие внешнего поля. Введение магнитного поля осуществляется заменой оператора V—>-V—ieA/c в гамильтониане Я^С0) (7,7)^х). Такое же изменение возникает, следовательно, в уравнении (7,8) для Ф и соответ­ственно замена V—>-^ +ieA/c в аналогичном уравнении для Ф⁺; то же самое относится, очевидно, и к уравнениям для W^M и

УР^М. Спиновый же член (~<гН), отвечающий прямому взаимо­действию магнитного момента электрона с полем, мал и им можно пренебречь в гамильтониане и уравнениях. При воздей­ствии оператора V на функции $ (т, г; т', г') и <F (т, г; т', г') дифференцированию подвергаются соответственно операторы

Ф^ж(т, г) и ^уР^м(г, г). Поэтому и в уравнениях (42,5) введение

магнитного поля осуществляется теми же заменами V —»■ V Т ieA/c.

Наличие внешнего поля нарушает пространственную одно­родность системы, в результате чего зависимость гриновских функций от аргументов гиг' уже не сводится к зависимости от г—г'; от аргументов же т и т' функции по-прежнему зави­сят только через разность т—т'. Мы запишем уравнения сразу для фурье-компонент по т—т':

_K+i[^v_~7^A₍^r_)]⁸ _{+ ^^}^; _{r,r') + gBF(C; r,r') = 6(r),}

• - ' (51,9)

^{{- ^ + L [v+-сA (г) Г + «*}¥ «*; г. О (С; г, г')=о.}

В случае слабого поля, который мы только и будем здесь рассматривать, эти уравнения могут быть линеаризованы; пола­гаем

S = S«»-f

_ _ _ (51,10)

F = <F^(0>-fF⁽ⁱ>

*) Ниже в этом параграфе (в уравнениях (51,9—19)) полагаем Й = 1.

(где первые члены—значения функций в отсутствие поля, а вторые—малые поправки, линейные по полю) и сохраняем в уравнениях лишь члены первого порядка малости по А.

При этом надо иметь в виду, что наличие поля меняет также и конденсатную волновую функцию S, не сводящуюся в этом случае к постоянной. Это усложнение, однако, отсутст­вует при выбранной нами калибровке векторного потенциала, в которой

divA = 0. (51,11)

Действительно, поправка первого порядка (к постоянному зна­чению Е⁽⁰⁾) в скалярной функции S (г) могла бы быть лишь пропорциональной divA и при условии (51,11) обращается в нуль. Поэтому с требуемой точностью можно положить в ли­неаризованных уравнениях gB=gS⁽⁰⁾ = A, где А—щель в энер­гетическом спектре газа в отсутствие поля (вещественная вели­чина).

В результате линеаризованные уравнения (51,9) принимают

вид

+ ы+г) ^^{Ш г}>^г')+^А^⁽¹⁾ & ; г. О =

= £_cA(r)vs⁽⁰⁾(£,; г-г'),

(51,12)

+ f*) ^F(1) &s-> г, О -Д»⁽¹> (£,; г, г') =

= -£_А (г) г-г').

В виду линейности этих уравнений по А достаточно решить их для одной из фурье-компонент поля, т. е.

A(r) = A(k)e'^kr, kA(k) = 0. (51,13)

При таком А (г) зависимость функций и <F^(l) от суммы г + г' можно сразу отделить, положив

S^(1,(£,;r,r') = g(£,; r-rVMr™

(51,14)

ff"^(1,(£,;r,r') = /(£,; r-r')e'k(r ₊ r-)/2.

Так, первое из уравнений (51,12) принимает после этого вид

*£, + i ( V +4 kV + pig (£,; г-г') + А/ (g,; г-г') =

= ^A(k)_e'Mr-r')/2_Vr(o,_{(L; r}__r0

и аналогично для второго уравнения. Произведем теперь фурье-преобразование функций g и / по г—г'. Окончательно прихо-

дим к следующей системе двух алгебраических уравнений: (р + Т)² +1*] 8 (Б„ Р) + А/ (£„ Р) =

=-£рА<к)»«>(е..рЧ).

(51,15)

_{[- & -ш (}^р _{+ ТУ+»*]} ^{/ р) _ А§ р)} ₌

= ^рА(к)Г«>(ь.Р-}).

После простых преобразований с использованием выражений (42,7—8) для функций #¹⁰⁾ и аГ⁽⁰⁾ решение этих уравнений при­водится к виду

_{* (С Р) = - -PA (k)} ⁽_4t^^?d?-jJ-^A_{' '} ⁽⁵¹_'¹⁶⁾

тс (&s + e+) (£_s+ е_)

где е± = е(р±к/2), r)_± = tj (р ± к/2) (функция же /(£,, р) нам ниже не понадобится).

Перейдем к вычислению тока. Для этого исходим из извест­ного выражения оператора плотности тока в представлении вторичного квантования *)

j=^[(^a)*«-*a(VTa)]~ АТ£Ф_а.

Для перехода к мацубаровскому представлению этого оператора достаточно заменить гейзенберговские Ф, W⁺ на мацубаровские

W^M, Ч?^м. Вспомнив определение гриновской функции (37,2), найдем, что плотность тока (диагональный матричный элемент

оператора j, усредненный по распределению Гиббса) может быть записана в виде

j(r) = 2^[(V'-V)S(t, г; т', г')]г;=г_+о~А(г)п, (51,17) где п—плотность числа частиц (множитель 2 возникает от

»a«=2S).

*) См. III § 115. Здесь опущен член, представляющий вклад в ток от спина частиц. Для неферромагнитной системы (когда гриновская функция £aB = 6aB!§) этот член при усреднении обращается в нуль.

При подстановке в (51,17) g = 3^l0)-f-!§⁽¹⁾ член с 3^<0) выпадает: для однородной и изотропной системы функция $⁽⁰⁾(г—г') четна, и ее производная при г—г'=0 обращается в нуль. Перейдя также к разложению Фурье по т—т', получим

Нг)=4г £ [(V'-V)S'»(C; г, г')]г'«г-^А(г),

s— — »

а после подстановки А (г) и из (51,13) и (51,14) —

j*«..p>#-£A(k).

S= -05 «

При подстановке сюда g{t,_s, р) из (51,16) удобно сразу учесть поперечность векторов j (к) и А(к) и произвести усреднение по направлениям рх в плоскости, перпендикулярной направлению к, по формуле

pxtpxk =-^sin^{2 0} (^б«—^k-p)

где 9 —угол между к и р. В результате находим следующее выражение для функции Q (к), определяющей связь между j(k) и А (к):

0(v\-£L v Гр^ш'9⁽^^+Т1+)(^^+Т1-^{)+л2 d3p} I^пе2

^{* W - тЧ 2^ J Р 5Ш 0 (а + е*}₊^{) (Й+ е2-) <2")3 тс}

(51,18)

Написанные в таком виде стоящие здесь интегралы и сумма формально расходятся. Хотя эти расходимости в действитель­ности фиктивны, но при вычислении требуется осторожность: до устранения расходимости результат может зависеть даже от порядка, в котором производятся интегрирование и суммиро­вание.

Эту трудность можно обойти, если учесть заранее очевидное обстоятельство, что при Л = 0 должно быть Q = 0—в нормаль­ном металле сверхпроводящий ток вообще отсутствует. Поэтому мы не изменим ответа, если вычтем из (51,18) такое же выра­жение с Д = 0:

s= — со ^

* A#L (51,19)

Это выражение уже хорошо сходится й интегрирование и сум­мирование в нем можно производить в любом порядке.

Отметим прежде всего, что интересующие нас значения к малы в том смысле, что k<^.p_F; это неравенство выражает собой просто тот факт, что характерные расстояния, на которых в сверхпро­воднике меняются поле и ток, велики по сравнению с межчас­тичными расстояниями (т. е. по сравнению с ~l/p_f).

Произведем в (51,19) сначала интегрирование по dp. Этот интеграл сосредоточен в основном в узкой области импульсов вблизи ферми-поверхности — в области \р—p_P\~k. В этой области

т]_± да г| ±у v_Fkcos9 да v_P(p—p_F) ± у y^&cosO,

множительр² в подынтегральном выражении можно заменить на рр, а интегрирование по d³p — интегрированием по 2ntnp_Pdy\dcosB. После этого интеграл по dr\ от второго члена в фигурных скоб­ках в (51,19) обращается в нуль: путь интегрирования в нем может быть теперь замкнут бесконечно удаленной полуокруж­ностью в плоскости комплексного tj, и обращение интеграла в нуль есть следствие того, что оба полюса подынтегрального выражения находятся в одной и той же полуплоскости (верх­ней или нижней в зависимости от знака t,_s). Интегрирование по dt] в первом члене в (51,19) производится элементарно, после чего остается лишь интеграл по переменной х = cos 6. Введя также плотность п согласно равенству рр = Зя² п, полу­чим окончательный результат в виде (в обычных единицах)

со 1

V( — 4mc J [С| + Д²+(^/2)²]](Й+Д²)¹/² '

(51,20)

С = (25 + 1)яГ

{J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, 1957)

В предельном случае малых значений k (Щ,_а <^ 1, где |₀ ~ fiv_F/A₀~fw_P/T_c—длина когерентности) можно показать, что выражение (51,20) сводится к не зависящему от k лондоновскому выражению (51,8); мы не будем останавливаться здесь на этом.

В обратном предельном случае, когда &|₀^>1, в интеграле (51,20) существенна область х^Т_cl%kv_F<^\. Поэтому можно пренебречь х^г по сравнению с 1 в числителе подынтегрального выражения, после чего (ввиду быстрой сходимости) распростра­нить интегрирование от —оо до со. В результате найдем

Q(k)= ^WT ^ ^Л2

2mc%vpk_s~_x Й+Д²

ных (1958)

^{*) Изложенный метод получения этого результата с помощью температур-гриновских функций принадлежит А. А. Абрикосову и Л. 77. Горькову}

Произведя суммирование с помощью (42,10), представим эту формулу в виде¹)

При Т<^Т_С имеем п_$ я; п, Д«Д„ и тогда В~1/8²£₀. При Т_С—Т<^Т_С щель А мала, так что th (А/27)« A/27Y, с учетом формул (40,4—5), (40,16) находим снова |3 ~ 1/6££₀. Таким обра­зом, во всей области температур от 0 до Т_с

6~1/81?₀. (51,22)

Итак, функция Q (к) остается примерно постоянной в обла­сти fe^l/£₀ (причем вблизи точки к = 0 разлагается регулярно по степеням /г²); вне этой области функция Q (к) убывает, при &^>1/£о —^п0 закону \jk. Такому поведению функции Q (к) отве­чает координатная функция Q (г), убывающая медленно (как 1/г²) в области г^£о и быстро (по экспоненциальному закону) вне этой области. Таким образом, корреляция между полем и током простирается всегда на расстояния ~ £₀. Подчеркнем, что это утверждение справедливо во всей области температур от нуля до Т_с. Тем самым мы пришли к обоснованию сделанного уже в § 44 утверждения об универсальности %_а как характерного для сверхпроводимости параметра длины.