§ 49] Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода 241

Подставив сюда (49,5) и учтя, что каждая из функций \р₇ удов­летворяет уравнению (49,3) с Е = E_q и что собственные функции с различными q взаимно ортогональны, получим

AFm^\c_q\²(E_q+a). (49,6)

я

Функциональное интегрирование в (49,2) означает интегри­рование по всем dc'qdc'q. После подстановки (49,6) интегриро­вания по всем этим переменным разделяются и дают

/ AF \ ТТ яТ

или

я

В терминах квантовых чисел п и p_z это выражение записывается как

00

^{AF=—V2]elT® У С b-F7 ПТц х , dp,. (49,8)}

^П -00

Эта сумма расходится при больших Е, но расходимость в действительности фиктивна и связана лишь с тем, что исход­ная формула (49,1) применима только при медленно меняющихся функциях гр (г): изменение яр должно быть мало на расстояниях ~|₀. В терминах собственных значений E_q это значит, что до­пустимы лишь Е_д <^ %²/гпЦ. Обрезав сумму по п при некотором большом N, удовлетворяющем поставленному условию, восполь­зуемся формулой Пуассона

N N

£ f(n+j)ttlf(x)dx-±f'(x)

N

(см. V (59,10)). В применении к (49,8) первый, интегральный, член этой формулы дает, как легко понять, не зависящий от ф вклад в свободную энергию; этот член не нужен для вычисле­ния магнитной восприимчивости, и мы его опустим. Во втором же члене можно положить теперь N—юо (так что параметр обрезания выпадает из ответа)¹):

AF = V

е²Г_с§² г dp

^г) В коэффициенте положено Т и Т_с. При Т вблизи Т_с существенные

в этом интеграле значения р_г~ У та — (Г) <^ &/|₀, т. е. удовлетворяют поставленному требованию.

Окончательно, после взятия интеграла,

AF _ V ^е*^тс§^г (49 9)

24я&с² У'ma v > /

Отсюда магнитная восприимчивость

1 д² &F е²Т

% ⁼ ~~Y~W~^ — \2п%с²(та)^\т-Т_с)^^{2 (49,Ю)}

(Я. Schmidt, 1968; A. Schmid, 1969). Мы видим, что вблизи точки перехода восприимчивость возрастает как (Т — Т,,)-¹'². В этой области (49,10) представляет собой основной вклад в маг­нитную восприимчивость нормального металла.

Задачи

1. Определить магнитный момент тонкой (толщина d<^.l(T)) пленки в пер­пендикулярном ее плоскости слабом магнитном поле при температурах Т > Т_с,

т~т_с<^т_с.

Решение. Конечность толщины пленки приводит к дискретности кван­тового числа p_z в (49,4), причем для тонкой пленки надо ограничиться в (49,7) лишь значением p_z = 0 (уже первое отличное от нуля значение p_z~~h/d, так что с — h²lmd²$>n²lm%²~a). Ч исло собственных функций с заданными п и р_г (и всеми возможными р_х) есть 2 | е \$QS/2n%c, где S —площадь пленки; поэтому суммирование по q в (49,7) надо понимать как (^Sjnhc) Применив

п

к сумме формулу Пуассона, получим в результате

е²Т fc² AF = S ₀V ₂ •

Магнитный момент пленки

М= ^9Af^ S ^е*^Тс§

д§ 12лтс²а{Т — Т_с) '

Обратим внимание на то, что он возрастает при Т—>Т_С быстрее, чем в слу­чае неограниченного металла.

2. То же для шарика радиуса R<^.£,(T) (5. В. Шмидт, 1966).

Решение. В этом случае из всех собственных значений уравнения (49,3) существенно лишь одно, наименьшее, отвечающее собственной функции л[) = const и равное E₉ = e²R²^²/l0mc² (см. все сказанное по этому поводу в задаче к §47). Сумма (49,7) сводится к одному члену, и магнитный момент

Т_с дЕ₀ e²T_cR²§

а а§ 5тс²а(Т — Т_с)