J) Второй член в (48,13), будучи выражен через ток j, принимает вид

2яс²6² Jj2di/=JP^idK;

во втором выражении подставлено также б² = mc²/4ne²n_s и введена плотность и скорость сверхтекучей компоненты согласно ) = ep_sv_s/m (см. примечание на стр. 208). Мы видим, что этот член можно рассматривать как кинетическую энергию* сверхпроводящих электронов.

Это выражение имеет логарифмическую точность, т. е. предпо­лагается не только 6/|^>1, но и 1п(8/£)^>1; именно с этой точностью можно пренебречь вкладом в е от сердцевины нити.

Результат (48,14) дает, в частности, возможность обосновать сделанное выше утверждение о том, что термодинамически вы­годно возникновение вихревых нитей с наименьшим по величине магнитным потоком. Действительно, поскольку свободная энер­гия нити пропорциональна квадрату связанного с нитью маг­нитного потока, то для нити с потоком пф₀ в энергии появился бы множитель я²; распадение же такой нити на п нитей с по­токами ф_а приведет к выигрышу в энергии в п раз.

Подставив (48,14) в (48,2), найдем для нижнего критиче­ского поля

Я_с1 = ^1п{. (48,15)

При Т—+Т_с это выражение можно переписать с учетом (45,19) также и в виде^г)

H_cl = H_c-pf^. (48,16)

По мере увеличения внешнего поля растет число вихревых нитей и тем самым увеличивается проникновение магнитного поля в сверхпроводник. При учете взаимодействия между ни­тями термодинамическому равновесию отвечает определенное упорядоченное расположение нитей, образующее двумерную решетку (в плоскости сечения цилиндра)²). При любой плотно­сти числа нитей ось каждой из них остается линией, обход вокруг которой меняет фазу волновой функции гр на 2я. Сред­нее же (по сечению цилиндра) значение индукции-

S = v0_o, (48,17)

^J) Поскольку эта функция выведена в предположении 1пх^> 1, ею нельзя пользоваться.при В частности, при и=1/)Л2 поле H_ci (как и Н_сг)

должно просто совпадать с Н_с.

2) Наиболее выгодна, по-видимому, решетка, образованная равносторон­ними треугольниками с вихревыми нитями в их вершинах.

где v—число нитей на единицу площади сечения. Действительно, если проинтегрировать соотношение (48,4) по контуру всего сечения образца, то мы придем к уравнению (48,5) с Svф_a в правой стороне (5 — площадь сечения); в левой же стороне первый интеграл есть полный поток индукции SB, а второй представляет собой краевой эффект, малый по сравнению с пер- вым в отношении и потому пренебрежимый (R — линейные размеры сечения); здесь существенно, конечно, что поле вокруг нитей затухает на расстояниях ~б.

До тех пор пока расстояния d между нитями остаются боль­шими по сравнению с корреляционным радиусом £, можно утверждать, что магнитные поля вихревых нитей просто скла­дываются. Действительно, при d^>| все еще можно провести контур, охватывающий собой любое число вихревых нитей та­ким образом, чтобы он везде проходил далеко (на расстояниях ^>£) от их сердцевин. На таком контуре выполняется условие лондоновского приближения (постоянство б), и потому мы снова придем к уравнению, отличающемуся от (48,7) лишь тем, что в его правой части б-функция заменяется суммой б-функций от расстояний до каждой из нитей; ввиду линейности этого уравнения отсюда следует сделанное утверждение.

Когда внешнее поле приближается к Я_с2, расстояния между вихревыми нитями становятся сравнимыми с |. Это ясно видно и из самого выражения критического поля (47,2), если его написать (с помощью (45,9), (45,16—18)) в виде

Я_с2 = 0_о/2я.£²;

(48,18)

оно отвечает потоку ф₀, сосредоточенному на площади ~|².

Исчезновение сверхпроводимости при $ = Н_С2 происходит как фазовый переход второго рода. В духе общей теории таких переходов можно утверждать, что параметр порядка tp как функция внешнего поля обращается в нуль по закону | яр \²соН_еа — — Сдругой стороны, намагниченность вещества М = (В—Я)/4л (как величина, не зависящая от выбора фазы яр) в этой об­ласти сама пропорциональна | яр |². Учитывая, что при ф = Я_с2 должно быть и В = Я_С2, мы приходим, таким образом, к ли­нейному закону зависимости индукции В в сверхпроводнике от внешнего поля вблизи точки перехода

В-Н_сг*о%-Н_с2.

(48,19)

Задачи

1. Вычислить энергию взаимодействия двух вихревых нитей, расположен­ных на расстоянии d^>| друг от друга.

Решение. Преобразуем выражение свободной энергии (48,13) для сис­темы двух вихревых нитей к виду, в котором интегрирования производятся лишь вблизи каждой отдельной нити. Для этого пишем, используя урав­нение (48,7): взятый по цилиндрическим поверхностям fi и f₂ (малого радиуса г₀; £<^г₀^8), охватывающим сердцевины нитей. При d^>\ поля нитей аддитивны, т. е. В = В] + В₂. Энергия взаимодействия нитей дается той частью интеграла (1), которая зависит одновременно от Bj и В₂:

^{L*i* = jlz { J №• rot Bil dii+ J lBi rot B*l df*\}

(интегралы же вида ^ [B₂rotBj]df₂ стремятся к нулю при г₀—>-0). С по­мощью (48,8) и (48,10) находим отсюда

В частности, на расстояниях d^>6:

г., ^ф1 (⁸Y^/2c-^d* (2)

2. Определить зависимость средней (по сечению цилиндрического образца) магнитной индукции В от внешнего поля § в смешанном состоянии, в ко­тором вихревые нити расположены на расстояниях d^>6 друг от друга, об­разуя (в сечении образца) решетку из равносторонних треугольников.

Решение. Площадь равностороннего треугольника равна d²/4 (d — длина стороны), а число нитей равно половине числа треугольников в ре­шетке (N треугольнике»- имеют 3N вершин, но в решетке каждая вершина принадлежит шести соприкасающимся треугольникам), поэтому v = 2/ У~3 d².

Термодинамический потенциал f единицы объема тела в смешанном сос­тоянии

7=/;-|^(-я_с1+§)Ц£

el*.

i, k

где второй член отвечает выражению (48,1) (с H_ci из (48,2)); в третьем члене — энергия взаимодействия двух нитей, а суммирование производится по всем нитям, пересекающим единицу площади. Ввиду экспоненциального убывания в]₂ при d^>6, в сумме достаточно учесть лишь пары соседних ни­тей. В треугольной решетке каждая нить имеет 6 ближайших соседей, поэтому

т£^е,'*⁼т1>^1=3те1'²

i, k i

30о е-^а] ^г2п б² а^6/2 J

7— Г | Фо ^/-/'⁺ 2 Vint

Подставив Bi₂ из формулы (2) предыдущей задачи, находим

) — H_cj | 30Q

a² 2

где a — d/б. Зависимость а от § определяется условием минимальности функ­ции / (а); это дает

(опущен член более высокого порядка по 1/а<^1). Это уравнение вместе с равенством 5 = v0_o, т. е.

а=(20_о/]^Зб²В)^1/2,

определяет искомую зависимость B($Q). Отметим, что при §—>-H_ci произ­водная dB/dSi стремится к бесконечности по закону

dB 1 . „ 1 ■ оо-с г,— ln~^s -