1) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном ферми-газе, были впервые рассмотрены ю. Л. Климентовичем и в. П. Си­линым (1952).

В общем случае произвольной зависимости F (Ь) решение уравнения (4,12) неоднозначно. Оно, в принципе, допускает существование различных типов нулевого звука, отличающихся друг от друга угловой зависимостью их амплитуды v(G, ср) и распространяющихся с различными скоростями. При этом на­ряду с аксиально-симметричными решениями v(0) могут суще­ствовать и "асимметричные решения, в которых v содержит азимутальные множители е±'^тч>₍ где т—целые числа (см. за­дачу). Отметим, что для всех таких решений интеграл ^ vdo = 0, т. е. объем, заключенный внутри ферми-поверхности, остается неизменным; это- значит, что колебания происходят без измене­ния плотности жидкости.

Возможность распространения волн в ферми-жидкости при абсолютном нуле означает, что ее энергетический спектр может содержать ветвь, отвечающую элементарным возбуждениям с импульсом р = Ш и энергией е = А<о = ы₀р—«кванты нулевого звука». Тот факт, что нулевой звук (с любым заданным к) может иметь произвольную (малую) интенсивность, в терминах элементарных возбуждений означает, что последние могут запол­нять свои квантовые состояния в любом числе; другими словами, они подчиняются статистике Бозе и образуют, как говорят, бозевскую ветвь спектра ферми-жидкости. Подчеркнем, однако, что в рамках теории Ландау было бы неправильным вводить соответствующие этой ветви поправки в термодинамические величины ферми-жидкости, поскольку они содержат более высокие степени температуры (Т³ в теплоемкости), чем уже первые поп­равки к изложенной приближенной теории.

Вопрос о поглощении нулевого звука требует рассмотрения столкновений квазичастиц и не относится к содержанию этого тома.

Задача

Найти скорость распространения асимметричных волн нулевого звука лри F = /⁼'₀ + F₁cosd. Решение. При

F — Fg + Fi (cos в cos 0'-f sin 9 sin 9' cos (<p—<p'))

могут существовать решения с v «« е^{± !ф}. Действительно, положив V = / (9) е"⁹, подставив в (4,12) и произведя интегрирование по аЧр', получим

я

(s—cos 9) / = ^ cos 9 sin 9 J sin² 9'/ (9') dQ\

о

Отсюда

, sin 9 cos 9 ,-_ro

v = const • гг e ^ф.

s—cos 9

Подставив это выражение обратно в уравнение, получим соотношение

л

₁

sin* 9 cos 9 _JQ 4 do

s—cos 9 F_x '

о

*) Для жидкого Не³ можно вычислить F₀ и Р_г по известным значениям т* и и² с помощью формул (2,12) и (2,17): ^0=10,8, Fi = &,3 (при нулевом давлении).

определяющее зависимость скорости распространения от Fi. Интеграл в ле­вой стороне равенства является монотонно убывающей функцией s. Поэтому его наибольшее значение достигается при s=l. Вычислив интеграл при s = l, найдем, что распространение асимметричной волны рассмотренного вида воз­можно при Fi > 6^х).

§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости

Наряду с рассмотренными в предыдущем параграфе реше­ниями v(n), не зависящими от спина, уравнение (4,10) имеет также и решения вида

■у = оц.(п), (5,1)

е которых изменение функции распределения квазичастиц за­висит от проекции их спина. Такие волны можно назвать спиновыми.

Подставив (5,1) в (4,10), снова взяв функцию J в виде (2,4) и заметив, что Sp' о' (оо') = 2а, получим (после сокращения на а)

(s-cos 0)^(9, _Ф) = cos 9^(^)^1(9', _Ф')*£. (5,2)

Таким образом, для каждой из компонент вектора ц получается уравнение, отличающееся от (4,12) лишь заменой F на G. Поэтому все дальнейшие вычисления, произведенные в § 4, могут быть применены и к спиновым волнам¹).

Спиновые волны другого типа могут распространяться в фер­ми-жидкости в присутствии магнитного поля (В. П. Силин, 1958). Мы ограничимся здесь рассмотрением колебаний с к = 0, в ко­торых 8п не зависит от координат.

При наличии магнитного поля Н уже «невозмущенные» коле­баниями энергия квазичастиц и функция их распределения зависят от спина. Эти зависимости связаны друг с другом и выражаются формулами (см. § 3)

е₀ = е₀(р)-р\оН, Px-P/O + G), (5,3)

п₀ = пЛр)-^£-коН = п_а{р) + 8(г-е_Р)$₁оН, . (5,4)

где е₀(р)—энергия в отсутствие поля; индекс 0 снова напоми­нает о том, что эти выражения относятся к равновесной жид­кости.

Снова ищем малую переменную часть функции распределения в волне в виде

6/г = 6 (е—s_F) a\i (п) е~^ш.

Соответствующее изменение энергии квазичастицы:

*) В жидком Не⁸ величина G„ = G {&) < 0 (см. примечание на стр. 25). Поэтому распространение таких волн в этой жидкости невозможно.

2 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

^{6е = о j|*(n')G(*) g-.e-'"'.}

В кинетическом уравнении должен быть учтен теперь член (4,4) с коммутатором {е, я}; для не зависящих от координат распределений оно принимает вид

^ + ^{_е,я} = 0. (5,5)

С точностью до линейных по бя членов имеем

{в, Я} = —р! {оН, бя}+р₁б(е — ъ_Р){6е, о-Н}.

Стоящие здесь коммутаторы определяются формулой

{оа, ab} = 2ш[аЬ],

где a, b — произвольные векторы (см. III (55,10)); в результате кинетическое уравнение приводится к виду

ш^(п) = ^-[Нр(п)], (5,6)

где обозначено

^{p(n) = Mn) + P(n')G(fl)4£-. (5>7)}

В общем случае решение уравнения (5,6) может быть раз­ложено в ряд по шаровым функциям Y_lm (9, ф) (с полярной осью вдоль Н). Каждый член разложения представляет определенный тип колебаний со своей частотой а_1т.

Первой из них, со₀₀, . отвечают колебания с ц = const; при этом р = jx(l+G) и уравнение (5,7) сводится к

колебания поперечны к полю (ц._|_Н). Расписав уравнение в компонентах (в плоскости, перпендикулярной Н) и составив определитель этой системы, найдем частоту

со₀₀ = 2рЯ/1 (5,8)

Напомним, что Р—магнитный момент частицы (истинной) жид­кости. Таким образом, частота со₀₀ оказывается вовсе не зави­сящей от специфических свойств жидкости. Значения же всех остальных частот а>_1т зависят от конкретного вида функции G ($).