§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа

В §. 41 был определен энергетический спектр сверхтекучего ферми-газа путем использования обычных, «временных», гри­новских функций. Однако для решения более сложных задач (и прежде всего для исследования свойств системы во внешних полях) более удобен математический аппарат температурных гриновских функций (А. А. Абрикосов, Л. П. Горькое, 1958).

^Температурная функция $_а8 определяется той же форму­лой (37,3), что и для нормального ферми-газа. Температурные же функции JF_ap и, f"_ap (соответствующие временным функциям ^ав и F+p) определим аналогичными формулами

*"ap(Ti, г,; т₂, r₂) = 2<m, N\wT_xf^^]tn, N + 2>,

~ ^т ^ ^ (42 1)

^ae (T_lt r_i; т₂, r₂) = 2 <т, N + 21 шТДЭД f m, N>.

m

Спиновая зависимость этих функций отделяется (аналогично

(41,5)) в виде множителей g^e¹):

(42,2)

Как и функции IF и ¥ зависят только от разности т = = т₁—т₂ и удовлетворяют соотношениям (37,6) (с верхним зна­ком):

(42,3)

Ряды Фурье по т для этих функций содержат, следовательно, только нечетные «частоты» (37,8а): = (2s + 1) пТ.

Мацубаровские яр-операторы при т = 0 совпадают с гейзен­берговскими при г = 0:

¥^m(t = 0, г) = ¥(* = 0, г).

Сравнив определения функций ¥, ¥ с определениями F, F⁺, найдем поэтому, что

¥ (0, г; 0, г) = S (г), ¥ (0, г; 0, г) = S* (г),

(42,4)

где под Н надо понимать конденсатную волновую функцию, усредненную по Гиббсу, т. е. выраженную через температуру системы.

Покажем, каким образом с помощью температурных функ­ций Грина можно снова получить энергетический спектр сверх­текучего ферми-газа при отличных от нуля температурах.

Уравнения для температурных функций ¥, ¥ выводятся в точно'сти аналогично выводу уравнений (41,12—13), причем вместо дифференцирования по t производится дифференциро­вание по т, а вместо уравнений (41,8—9) используются урав­нения, отличающиеся от (41,8—9) заменой it—*%. Как и в (41,11), из среднего значения произведения четырех мацубаровских •ф-операторов выделяются члены, содержащие матричные элементы для переходов с изменением числа частиц на 2. В результате получим уравнения

[-Я+Ш + р)**?' ^{г; т}'' г') + §ЗГ(т,г;т',г')=б(т-т')б(г-г'),

(42,5)

*) Разные знаки в определениях ¥ ^и ¥ (^в противоположность одинако­вым знакам в (41,5)) целесообразны в связи с отсутствием в определениях (42,1) множителя i, который был в (41,3).

^{(l + Si + l1) W <т' г' r')-gS*S (т, г; т\ г') = 0.}

После перехода к фурье-компонентам эти уравнения при­нимают вид

p)+*s?tt,,P) = i. _{(42 6)} -(»Е,+т|,)^ (E,,p)-gS*»(5„p) = o.

Решение этих уравнений:

fes + e²

_{^ (£„ P) =t6V}^=/7+ _{<^> P). (}⁴_2,8)

£s + e^a

где снова е² = А²4-'Пр> A=gE (причем это решение определено однозначно и никаких б-функций—как это было для функций G и F⁺ — вообще не содержит).

Условие, определяющее энергетическую щель в спектре, получается теперь из равенства

В* = Г(г = 0,г~0)=7 JSJF(C, Р)^.

или, после подстановки (42,8):

.«МЛат^Г¹- ^<42'⁹⁾

Суммирование по $ осуществляется формулой¹)

со

E[(2s+l)»n»+a»]-«=^th|- (42,10)

S= - to