§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства

Изучение термодинамических свойств сверхтекучего ферми-газа начнем с вычисления температурной зависимости величинь энергетической щели. Переписав уравнение (39,15) в следующем виде

d³p ,С я_р d³p

2 J 8 (2nfi)³ J e (2я1)³'

замечаем, что интеграл в его левой стороне отличается от инте­грала при Т — 0 лишь заменой А₀на А. Поэтому учитывая (39,17),

мы видим, что левая сторона равна In . В правой стороне

подставляем п_р из (39,14) и переходим к интегрированию по dp = dr\/v_F:

In

где

*~ (40,1)

_{/(ц)Л-——} ^dX_r

i К*² + к² (ехр Vx*+u²

■0

(ввиду быстрой сходимости интеграла пределы интегрирования могут быть распространены до ± со).

В области низких температур (Г^А) интеграл вычисляется просто¹) и получается

(40,2)

В области же вблизи точки перехода А мало, и первые члены разложения интеграла / (А/Г) дают²)

"^-•«З+З?*- («л

Отсюда, прежде всего, видно, что А обращается в нуль при температуре

Г, = уА₀/я. = 0,57Д₀, (40,4)

1) При больших и первый член разложения / (и) по 1/и:

_{'<«Ч1Ч-«('+ё)Н£Г«-"-}

о

2) Для разложения интеграла / (и) при и —»• 0 прибавляем и вычитаем из него интеграл

/, =-=- \ i —===== t\i—\dx.

малой по сравнению с температурой вырождения- T₀~[i,. После этого в первом порядке по Т_с—Т получим

^А=т_{< [mi}¹ _-£)Г⁼³_'^06r_{< Y"^- ^}

Нам осталось вычислить термодинамические величины газа. Рассмотрим сначала область низких температур.

Для вычисления теплоемкости в этой области проще всего исходить из формулы

8Е = 2 е (8л_р+ + бп_р_) = 22 ебпр р р

для изменения полной энергии при варьировании чисел запол­нения квазичастиц. Разделив на 6Т и перейдя от суммирования к интегрированию, получим теплоемкость:

п²Р J дТ '

При Т<^Д функция распределения квазичастиц лдае^_е/^г, а их энергия е да Д₀ 4- Т1²/2Д₀; простое интегрирование приводит

Тогда / = /i + /₂, где

/ ' С (l_th th _dx.

В If первый член в подынтегральном выражении интегрируется элемен­тарно, а второй интегрируем по частям и находим

00

or 1 ^н I I Г In* .

Стоящий здесь интеграл равен 2 In (к/2у) (где In y = C = 0,577— постоянная Эйлера), так что 2/i.= ln (я/уи).

Интеграл /₂ обращается в нуль при и = 0. Первый член его разложе­ния по и²:

, и* С dx ( 1

Подставляя сюда разложение

CP

th-|-=4*]£ [я²(2л+ l)²+*²]-i (его вывод см. в примечании на стр. 205) получим

п=0 0 п=0

к результату:

C-V^kT^. (40,6)

Таким образом, при Т—+0 теплоемкость убывает по экспонен­циальному закону — прямое следствие наличия щели в энерге­тическом спектре.

Для дальнейших вычислений удобно исходить из термоди­намического потенциала Q, поскольку все рассмотрение ведется нами при заданном химическом потенциале системы (а не числа частиц в ней)^г). Воспользуемся формулой

1),„=<ж). w>

где % — какой-либо параметр, характеризующий систему (ср. V (11,4), (15,11)); в данном случае в качестве такого параметра выберем константу связи g, фигурирующую во втором члене гамильтониана (39,8). Среднее значение этого члена дается по­следним слагаемым в формуле (39,10), равном, согласно (39,12), —- VA*/g су g. Поэтому имеем

3Q _ УД² dg ~ g²

При g—i-O энергетическая щель А стремится к нулю. Поэтому, интегрируя это равенство по dg в пределах от 0 до g, найдем разность между термодинамическим потенциалом Q в сверхте­кучем состоянии и значением, которое он имел бы в нормаль­ном состоянии (А = 0) при той же температуре ²):

Q-Q_n=r-V fydg. (40,8)

о

!) Не смешивать химический потенциал газа как такового с (равным нулю) химическим потенциалом газа квазичастиц!

²) Здесь необходимо сделать замечание, связанное со сделанными нами с самого начала пренебрежениями. При g=0 в гамильтониане (39,8) вообще не остается взаимодействия между частицами, и можно было бы подумать, что мы приходим к идеальному ферми-газу, а не «нормальному» неидеальному газу. В действительности, однако, в гамильтониане (39,8) уже были сделаны пренебрежения, после которых не может идти речи о вычислении абсолютной величины энергии. Были опущены члены взаимодействия (несущественные для нахождения формы спектра и разности — Q_n), которые дают вклад в энер­гию, большой по сравнению с экспоненциально малой величиной (40,8) (это как раз тот вклад, пропорциональный Ng, который дается формулой (6,13)).

Согласно общей теореме о малых добавках (см. V (24,16)), по­правка (40,8), будучи выражена в соответствующих переменных, одинакова для всех термодинамических потенциалов.

При абсолютном нуле А = А„, и, согласно (39,18), имеем

<£А₀ _ 2яФд₀ dg ~ mp_Fg² '

Переходя в (40,8) от интегрирования по dg к интегрированию по dA₀, найдем следующее выражение для разности энергий основных уровней сверхтекучей и нормальной систем:

E_s-E_n = -V^M. (40,9)

Отрицательный знак этой разности и означает упомянутую в на­чале параграфа неустойчивость «нормального» основного состоя­ния в случае притяжения между частицами газа. Отнесенная к одной частице, разность (40,9) составляет величину ~ А²/р.

Перейдем к обратному случаю, Т—+Т_с. Дифференцируя равенство (40,3) по g, находим

4(3) _д^_д_ал₀₌2яФ<^

4л² Г² Д₀ mpp g^a'

Подставим отсюда dg/g² в формулу (40,8) понимая ее как раз­ность свободных энергий:

* " 8яФг² J

о

и окончательно, с учетом (40,5),

_Fs^F_n^-V²-^4(l-I-)\ (40,10)

Отсюда разность энтропии:

^b'~^s"-~^vJlV)PV~T_e)\

Разность же теплоемкостей стремится при Т—>Т_С к конечному значению

C_s-C_n^V ^AmprT,^c , (40,11)

т. е. в точке перехода испытывает скачок, причем C_s >С„. Теп­лоемкость нормального состояния дается (в первом приближе­нии) формулой идеального газа (см. V (58,6)); выраженная через р_Р, она имеет вид C_n = Vmp_FT/3k³. Поэтому отношение теплоемкостей в точке перехода

В отношении своей сверхтекучести газ характеризуется раз­делением его плотности р на нормальную и сверхтекучую части. Согласно (23,6) нормальная часть плотности

8л С . dn , pf с dn

3(2я£)^Е

_{[p*!ldp* f ^d4}

J ^H de ^и 3n*Pv_P J ^de

Полная же плотность газа связана с р_Р посредством

mN 8пр%т

V 3 (2я£)³' Поэтому

_-²_{j§*1. <}⁴⁰_'¹³_>

о

Этот интеграл не требует особого вычисления, так как может быть сведен к известной уже функции А (Т). Продифференциро­вав уравнение (40,1) по Г и сравнив получающийся при этом интеграл с (40,13), можно убедиться в том, что

£=¹-7Е>- (⁴⁰'¹⁴>

Подставив сюда предельные формулы (40,2), (40,5), получим Т —0: Ь=(2ру²е-ь./т_г (₄₀₎15)

r-.7V^ = 2(l—£). (40,16)

Наконец, необходимо сделать еще два замечания относительно области справедливости полученных формул по температуре.

При приближении к точке перехода Т_с становятся сущест­венными процессы взаимодействия квазичастиц (не учитываемые в изложенной теории); именно эти процессы ответственны в дан­ном случае за возникновение особенностей термодинамических величин, характерных для точки фазового перехода второго рода. В достаточной близости к этой точке полученные выше формулы должны в конце концов стать неприменимыми. Но в силу наличия малого параметра (константы связи g) в рас­смотренной модели это наступает лишь при чрезвычайно малых значениях Т_с—Т; мы вернемся еще к более подробному обсуж­дению этого вопроса в § 45.

Как и в сверхтекучей бозе-жидкости, в рассматриваемом ферми-газе (в противоположность ферми-газу с отталкиванием — ср. § 4) может распространяться звук (со скоростью и~р_р/пг, определяющейся обычным образом сжимаемостью среды). Это

значит, что наряду с рассмотренным здесь спектром возбужде­ний фермиевского типа в спектре такого газа существует также и фононная, бозевская, ветвь возбуждений. Обусловленная фо-нонами теплоемкость пропорциональна Т³ с малым коэффициен­том, но при Т—>-0 в конце концов она должна стать преобла­дающей над экспоненциально убывающей теплоемкостью (40,6).