Глава V

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр

Вся изложенная в главе I теория Ландау относится только к одной категории ферми-жидкостей—к жидкостям, обладающим энергетическим спектром, не приводящим к .явлению сверхтеку­чести. Этот тип спектров не является единственной возможностью для квантовой ферми-жидкости, и мы переходим теперь к изу­чению ферми-систем со спектром другого типа. Происхождение этого типа энергетических спектров и его основные свойства можно наиболее наглядным образом выяснить на простой мо­дели, допускающей полное теоретическое исследование—вырож­денном почти идеальном ферми-газе с притяжением между частицами*).

Слабо неидеальный ферми-газ с отталкиванием между части­цами был рассмотрен в § 6. На первый взгляд, произведенные там вычисления в равной степени справедливы как для случая отталкивания, так и для притяжения между частицами, т. е. как при положительной, так и при отрицательной длине рас­сеяния а. В действительности, однако, в случае притяжения (а < 0) найденное таким образом основное состояние системы оказывается неустойчивым по отношению к определенной пере­стройке, меняющей его характер и понижающей энергию.

Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремле­нии частиц к «спариванию»: образованию связанных состояний парами частиц, находящихся (в р-пространстве) вблизи ферми-поверхности и обладающих равными по величине и противопо­ложными по направлению импульсами и антипараллельными спинами—так называемый эсрсрект Купера (L. N. Cooper, 1957). Замечательно, что этот эффект возникает в ферми-газе уже при сколь угодно слабом притяжении между частицами.

Именно в силу этого эффекта использованная в задаче о ферми-газе с отталкиванием система операторов а_ра, а_ра, соответствую­щих свободным состояниям отдельных частиц газа, не может

^г) Эта задача лежит в основе теории сверхпроводимости, построенной Бардином, Купером и Ulpudvpepom. (/. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, (1957). Излагаемый ниже метод решения принадлежит Н. Н. Боголюбову (1958).

служить теперь правильным исходным приближением теории возмущений¹). Вместо них надо уже сразу ввести новые опе­раторы, которые будем искать в виде линейных комбинаций

Ь_р_ = и_ра_р-~\-v_pa-_{Pj +}, (39 1)

В_р+ = и_ра_р+ — v_pal_p, _,

объединяющих операторы частиц с противоположными импуль­сами и спинами (индексы + и _ относятся к двум значениям проекции спина); в силу изотропии газа коэффициенты и_р, v_p могут зависеть только от абсолютной величины импульса р. Для того чтобы эти новые операторы отвечали рождению и унич­тожению квазичастиц, они должны удовлетворять таким же правилам коммутации Ферми, как и старые операторы:

b_PobU + bpAa=\, (39,2)

а все другие пары операторов антикоммутативны (индекс а ну­мерует два значения проекции спина). Для этого коэффициенты преобразования должны удовлетворять условию

u²_p + vl=l (39,3)

(и_р, v_p могут быть сделаны вещественными надлежащим выбором фазового множителя). При этом обратное (по отношению к (39,1)) преобразование имеет вид

a_p+=u_pb_p++Vpbt_p, _, Gp_ =u_pb_p-—v_pb!_{Pt +}.

(39,4)

По тем же причинам (основной роли взаимодействия между парами частиц с противоположными импульсами и спинами) мы сохраним в гамильтониане (6,7) во второй сумме лишь члены, в которых р_х = —р₂ = р, Р1 = —Рг^Р':

# ⁼ X^^p⁺_aa_pa—y-£o_P⁺'₊a-p'.-fl-p,-ap+, (39,5)

ра рр'

где снова введена «константа связи» g = 4nfl²\a\/m (длина рас­сеяния а < 0).

В дальнейших вычислениях будет удобно снова воспользо­ваться обычным приемом, позволяющим избавиться от необходи-

^J) Указание на неприменимость теории возмущений (в использованной в § 6 форме) к парам частиц с проекциями спинов ±1/2 и с импульсами р₂ w—pi дает уже наличие особенности при # = я, которой обладает полу­ченное с помощью этой теории выражение функции взаимодействия квазичастиц (6,16); эта особенность существует только при антипараллельных спинах, ко­торым отвечает равное —1 собственное значение оператора ffjov мости явным образом учитывать постоянство числа частиц в системе: в качестве нового гамильтониана вводится разность Й' = Й—цй, где

N = 2 OpaGpa pa

— оператор числа частиц; химический потенциал определяется затем, в принципе, условием равенства среднего значения N заданному числу частиц в системе. Введем также обозначение

4p = 4c~V" (39,6)

Поскольку li да pf/2/п, то вблизи поверхности Ферми

i\_p = Vf(P—Pf), (39,7)

где v_F=p_F\m. Вычитая рЛА из выражения (39,5), напишем, таким образом, исходный гамильтониан в виде

Н' = ^г]_ра_раа_ра—ap,₊aV,_a_p,_u_p+. (39,8)

pa рр'

Произведем в этом гамильтониане преобразование (39,4). Используя соотношения (39,2—3) и возможность замены индекса суммирования р на —р, получим

й' =² Ц K-vi) (ь;₊Ъ_р+ + ь_Р⁺Л_) +

р р

+ 2£л^(6р⁺₊Ь1_Р. - + 6-р,- V)~f £Sp'£p, (39,9) р рр'

B_p = u_pb-_p,-b_p+—v\p_p+bt_p, -+v_pu_p(b-p,-b%, _—Ьр₊Ь_р+).

Выбор коэффициентов и_р, v_p осуществим теперь из условия минимальности энергии Е системы при заданной энтропии. По­следняя определяется комбинаторным выражением

5 = — 2 ["pa 1П Яра +(1 — Ира) In (1 — П_ра)]. ра

Поэтому указанное условие эквивалентно минимизации энергии при заданных числах заполнения квазичастиц п_ра.

В гамильтониане (39,9) диагональные матричные элементы имеют лишь члены, содержащие произведения

ЬраЬра, — П_ра, b_pa6p_a =1 fl_pa.

Поэтому находим

Е = 2 £ _v* + £ г,, (и«- ф (_Пр+ + п_р_)- р р

-f- [^ал(1-«р4-йр-)?. (39,10)

LP J

Варьируя это выражение по параметрам и_р (учитывая при этом связь (39,3)), получим в качестве условия минимума

_. ₌ __₍1_„_р+_„_р_) 24_pu_pv_p-

—f Op) £w 0 —Яр-₊ — np--) j = 0.

Отсюда находим уравнение

2_¥Л = ДК-^), (39,11)

где А обозначает сумму:

^A = f£"A(¹-«p+-»p-)- (39,12) р

Из (39,11) и (39,3) выражаем и_р, v_p через г)^ и Д:

_>в1Л±-J'Y (39,13)

О, / 2 V /А^а+г)²_р

Подставив же эти значения в (39,12), получим уравнение, оп­ределяющее Д:

g V ¹~-^яр+~^вр-_=!1.

2V р 1/Д^а + т)²_р

В равновесии числа заполнения квазичастиц не зависят от на­правления спина и даются формулой распределения Ферми (с равным нулю химическим потенциалом—ср. примечание на стр. 18):

n_p+=rt_p_^rtp=[e^e/^r+l]-¹. (39,14)

Перейдя также от суммирования к интегрированию по р-про-странству, запишем это уравнение в виде

1—2л_ (Рр

⁵ 1. (39,15)

V Д²4- Лр (2я£)³

Обратимся к исследованию полученных соотношений. Мы увидим, что величина Д играет основную роль в теории спе-