2Л2(р —рс)3 ЗпрЛ4

§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания

В этом параграфе мы рассмотрим свойства спектра бозе-жидкости вблизи порогов распада элементарных возбуждений на две квазичастицы, из которых ни одна не является фононом (случаи а) и б) из § 34)^J). В противоположность распадам с рождением фонона, к этим случаям теория возмущения не­применима, и их исследование требует выяснения характера особенностей, которые имеют в пороговых точках гриновские функции жидкости. С другой стороны, тот факт, что нас будут интересовать только эти особенности, позволяет существенно схематизировать и тем самым упростить вычисления. В частно­сти, можно не делать различия между функциями G и F (по­скольку их аналитические свойства одинаковы) и поступать так, как если бы существовал только один тип гриновских функций; учет различия между G и F привел бы лишь к появлению в уравнениях нескольких аналогичных (по своим аналитическим свойствам) членов, что не отразилось бы на результатах.

Тот факт, что интересующая нас особенность гриновской функции связана с распадом квазичастицы на две другие, в терминах диаграммной техники означает, что она происходит от диаграмм вида

а

(35,1)

1) Содержание этого параграфа принадлежит л. П. Питаевскому (1959).

которые могут быть рассечены по двум сплошным линиям, т. е. которые содержат в себе двухчастичные промежуточные состоя­ния. В этих диаграммах по промежуточному 4-импульсу Q = (g_a,q) производится интегрирование, причем определяющую (в смысле возникновения особенности) роль играет область значений Q и Р — Q, с которыми распадные квазичастицы (продукты рас­пада) рождаются вблизи порога. Основным для излагаемой ниже теории является утверждение, что эта область значений 4-им­пульса не является особой для функции Грина G(Q): в ней она имеет обычный полюсной вид

G (Q) ееэ G (д₀, q) cv [с7₀-е (д) + Ю]~\ (35,2)

где функция е(<7)—энергия распадных квазичастиц—не имеет особенностей. Физическая выделенность этой области состоит лишь в том, что в ней квазичастица могла бы «слипнуться» с другой квазичастицей; но этот процесс невозможен при нуле температуры ввиду отсутствия реальных возбуждений. Особой областью для функции Грина являются лишь значения Р (внеш­ние линии диаграмм (35,1)) вблизи порога распада исходной квазичастицы.

Двум соединительным линиям на диаграмме (35,1) отвечают множители G(Q)G(P—Q), а по Q производится интегрирова­ние. При этом, ввиду существенности лишь малой области зна­чений Q, остальные множители в диаграмме можно считать при интегрировании постоянными, равными их значению при пороговом значении Q = Q_C¹). Таким образом, в диаграмме возникает множитель, выражающийся интегралом

rnP)=-J-C ю

\^г> (2зх)⁴ J [,₀_efo) + iOn<D-fr-e(|p-q|) + iO] '

где Р = (со, р). Интегрирование по dg₀ выполняется путем за­мыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокруж­ностью в одной из полуплоскостей комплексного д₀ и дает

ⁿ(^P)⁼W Ja-e(₉)-8(|p-q|)+i0- ⁽³⁵'³⁾

^х) Это утверждение следует уточнить. Дело в том, что множители G(Q)G(P — Q) не зависят от угла <р, определяющего положение плоскости (р, q). Поэтому интегрирование по d<p сводится к усреднению остальной части подынтегрального выражения по ср, после чего d⁴Q можно понимать как 2nq² dq₀ dq d cos в. Именно в таком интегрировании по d⁴Q существенна малая область. Это замечание относится и к другим аналогичным моментам вычислений ниже.

^{К исследованию этого интеграла мы вернемся ниже, а теперь надо выразить через него искомую точную функцию G(P), просуммировав для этого все диаграммы вида (35,1).}

Для функции G (Р) можно написать диаграммное уравнение Дайсона

С

_{+ *7-<3>7- (35,4)}

е-ц

Здесь жирные линии изображают точную функцию iG, а свет­лые— «неособую» часть этой функции, определяемую совокуп­ностью диаграмм, «неделимых по двум линиям». Второй же член в правой части (35,4) изображает совокупность диаграмм вида (35,1). При этом светлый кружок представляет точную «трехконцевую» вершинную функцию (обозначим ее Г(Q, Р—Q,P)), а заштрихованный—ее нёособую часть, из которой исключены диаграммы, могущие быть рассечены по двум сплошным линиям¹). Как было объяснено выше, интегрирование по d^lQ приводит к появлению множителя П(Р), причем остальные множители в диаграмме заменяются их значением при Q=Q_C. Таким обра­зом, равенство (35,4) означает, что

G{P) = a(P) + b(P)G(P)T_e(P)H{P), (35,5)

где ГДР) = Г(<3_С, P—Qc, Р), а а(Р), Ь(Р) —некоторые регу­лярные (вблизи порога Р = Р_С) функции.

В (35,5) фигурируют две особые функции—G и Т_с, и для выражения их через П необходимо поэтому еще одно уравне­ние. Мы получим его, заметив, что точная вершинная функция Г представляется рядом «лестничного» вида

=^&— —+^С^О^*—⁺"'

аналогичным ряду (17,3) для четырехконцевой вершинной функ­ции. Его суммирование приводит к уравнению

р-а p**g ^{е ц}1. р-ц

(ср. (17,4)); в аналитическом виде, при Q да Q_c, оно дает

T_e(P) = c(P) + d(P)U(P)T_e(P).

^J) Ситуация здесь аналогична уравнению Дайсона в квантовой электро­динамике (см. IV § 104): как и там, вся требуемая совокупность диаграмм получается путем введения поправок лишь к одной из вершинных функций.

где с(Р), d(P) — регулярные функции. Исключив теперь Т_с из двух полученных уравнений, найдем искомое выражение

функции Грина через П:

где А, В, С—снова регулярные (вблизи Р = Р_С) функции.

Дальнейшие вычисления различны для разных типов распа­дов квазичастиц.

а) Порог распада на два ротона

В этом случае энергия е (q) распадных частиц вблизи порога дается формулой (22,6), и интеграл (35,3) принимает вид

^{П (со, су) = J {со - 2Д-^ [(q-PoY + (I p-q |-р}₀^{У] -Цг •}

(35,7)

Для интегрирования вводим новые переменные q'_z, q'_p, согласно определению,

q_x = (p_Q sin 6 + q'_p) cos ф, q_y = (р₀ sin 9 + q'_p) sin ф, c7₂ = p₀cos9 + <7;,

причем ось z направлена вдоль р, а угол 8 определен равен­ством 2/?₀cos9 = /?. Вблизи порога q'_z, q'_p малы, и с нужной точностью имеем

<7«/?₀ + c7pSin9 + c7_zcos9, |р—q i » /?₀ + <7р sin в—^соэв, d³q та р₀ sin 9 dq'_p dq'_z dy.

Зыражение в фигурных скобках в (35,7) принимает вид

|со-2Д—jl. (сур² sin² 9 + q'i cos² 9) j.

и после повторной замены переменных

c7pSin0 = l/^m*p cosij), q'_zcosQ = Vm* р sin т|> находим, интегрируя по

_П(со, _{p) =} _^VoC Pdp ^v ' ^v' 2ncos8 J — С0+2Д + Р²

Расходимость этого интеграла при больших р связана лишь со сделанными пренебрежениями и несущественна; обрезание интеграла при некотором значении р²^>|2Д—е| даст вклад лишь в регулярную часть П. Интересующая же нас особая часть этой функции возникает от области вблизи нижнего пре­дела интегрирования, и для нее нахОдим

П~1П2Д^. (35,8)

При малых значениях 2А—со этот логарифм велик; подста­вив (35,8) в (35,6) и разложив по его обратным степеням, по­лучим

G-Чсо, />) = & + с1п-»2д^,

где а, Ь, с—новые регулярные функции от со и р. В пороговой точке (р = р_с) энергия распадающейся квазичастицы равна 2А. Поскольку энергия квазичастиц определяется нулями функции G~^l, то это значит, что G^_1(2A, р_с) = 0, а для этого должно быть и Ь(2А, р_с) = 0. Но регулярная функция Ь (со, р) разла­гается по целым степеням разностей р—р_с и и — 2Д; заменив также регулярные функции а (со, р) и с (и, р) их значениями в пороге, получим в результате следующее выражение функции Грина в околопороговой области:

G-Чю, p) = p[p-p_e + aln-»-_§^_r] , (35,9)

где а, а, р— постоянные.

Приравняв это выражение нулю, мы получим вид спектра г(р) вблизи порога. Если область невозможности распада лежит при р < р_с< е < 2А, то постоянные ana должны быть поло­жительными и уравнение G~^l = 0 имеет здесь незатухающее решение

_в = 2Д-аехр(-д-^_). (35,10)

Мы видим, что кривая спектра подходит к пороговой точке с горизонтальной касательной бесконечного порядка. В области же р> р_с уравнение G^_1 = 0 не имеет ни вещественных, ни комплексных решений с е да 2А при р да р_с. В этом смысле кривая спектра вообще не продолжается за пороговую точку, оканчиваясь в ней^х).

б) Порог распада на две квазичастицы с параллельными импульсами

Поскольку в пороговой точке, при р = р_с, выражение e{q)— е (| р—q|), как функция от q, должно иметь минимум, то вблизи порога оно имеет вид

е (<?) — е (1 р — q |) = г_с + v_С(Р—р_е) + a (q—q₀)² + Р (q — q„. РJ².

^х) Как уже было указано в примечании на стр. 163, в жидком гелии спектр заканчивается именно в точке такого типа (кривая на рис. 2 прибли­жается к прямой е=2Д с горизонтальной касательной).

(35,11)

где а, 6—постоянные; v_c есть скорость каждой из рождающихся в пороговой точке распадных квазичастиц, a q₀ — импульс одной из них. Подставив (35,11) в (35,3) и введя новые переменные интегрирования согласно

P = q —Яо. РР_С = PP_e cos ip,

получим

р² dp d cos ф

-v_c (р— р_с)—ар²—p>²p²cos²i|)

Этот интеграл имеет в пороговой точке корневую особенность: ПЛ[_УДр-р_с)-(е-е,)]'/2. (35,12)

Подставив это выражение в (35,6), находим гриновскую функцию в околопороговой области

G-Чсо, р) = Л(со, р) + Я(со, p)[vAp-Pc)-(«>-ec)Y<².

Так как G~¹(e_c, р_с) = 0, а А я В— регулярные функции, то, разлагая последние по степеням р—р_с и со — е_с, окончательно находим

С"¹ ечэ [v_e (p-p,)-(co-8j]'/2 + [a (р-р_с) + b (со-е,)], (35,13)

где a, b—постоянные.

Вид спектра определяется уравнением G^-l(e, р) = 0. Ищем его решение в виде е—s_c=v_c(p—p)+const(p—р_с)²; для того чтобы оно существовало при р < р_с, должно быть а-f-tWcX) и тогда

е = е_с + v_c (р -р_е) - (а + Ъю_с¥ (р - р_с)². (35,14)

При том же условии в области р>р_с уравнение G^-1 = 0 не имеет решений с еже, при рхр_с. Таким образом, и в этом случае спектр обрывается в пороговой точке.

ГЛАВА TV

ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ