§ 34. Распад квазичастиц

Конечная продолжительность жизни (затухание) квазича­стицы в квантовой жидкости может быть связана как с ее столкновениями с другими квазичастицами, так и с ее само­произвольным распадом на две (или более) новые квазичастицы. При температуре Т—>-0 первый источник затухания исчезает (так как вероятность столкновений стремится к нулю вместе с плотностью числа квазичастиц), и тогда затухание возникает лишь от распада квазичастиц.

Рассмотрим распад квазичастицы (с импульсом р) на две. Если q—импульс одной из возникающих квазичастиц, то им­пульс другой есть р—q, и закон сохранения энергии дает условие

e(p) = efo) + e(|p-q|). (34,1)

Может оказаться, что в некоторой области значений р это равенство не выполняется ни при каких q; тогда квазичастицы в этой области будут вообще не затухающими (если, конечно, невозможен также и распад на большее число квазичастиц). По мере изменения р затухание возникает при значении р = р_с (порог распада), при котором впервые появляются корни уравнения (34,1).

Отметим прежде всего, что в точке р = р_с правая сторона равенства (34,1), как функция от q, имеет экстремум. Действи­тельно, пусть экстремальное значение суммы е(с7) + е(|р — q |) при заданном р есть Е (р) (для определенности будем считать, что это-—минимум). Тогда в уравнении

e(p)-£(p) = e(<7) + e(|p-q|)-£ (р)

правая сторона неотрицательна. Поэтому уравнение заведомо не имеет корней при значениях р, для которых г(р) — Е(р)<_0; корень появляется только в точке р = р_с, в которой е (р_с) = Е (р_с). Представив уравнение (34,1) в симметричном виде

e(p) = e{q₁) + s(q_a), q! + q₂ = P,

найдем, что условие экстремума его правой части можно запи­сать как де/дц₁ = дг/дц₂ или

v^v,, (34,2)

т. е. в пороговой точке две распадные квазичастицы имеют оди­наковые скорости. Здесь можно различать несколько случаев (Л. П. Питаевский, 1959).

а) Скорость квазичастицы в бозе-жидкости равна нулю при импульсе р — р₀, отвечающем ротонному минимуму на кривой рис. 2. Поэтому если v_t = v₂ = 0, то это значит, что в точке порога квазичастица распадается на два ротона с импульсами р₀ и энергиями Д. Соответственно энергия распадающейся квази- частицы г (р_с) = 2А, а ее импульс р_с связан с р₀ условием Pc = Poi + Po2> ^т- ^е- 2р₀ cos0 — р_с, где 29 —угол разлета двух ротонов. Отсюда следует, что во всяком случае должо быть

р_с<2р₀. (34,3)

б) Если скорости v₁ = v₂=7^=0, причем соответствующие им импульсы q_x и q₂ конечны, то это значит, что распад в поро- говой точке происходит на две квазичастицы с коллинеарными (параллельными или антипараллельными) импульсами¹).

в) Если же скорости V! и v₂ отличны от нуля, ,но один из импульсов (скажем, q_t) стремится к нулю вблизи пороговой точки, то соответствующая ему квазичастица является фононом и скорость v_t = u. В этом случае мы имеем дело с порогом, за которым становится возможным рождение квазичастицей фонона. В самой пороговой точке энергия фонона равна нулю, а скорость квазичастицы как раз достигает скорости звука (совпадая со скоростями v_t = v₂ = u).

^J) В силу изотропии жидкости направления импульса квазичастицы р и ее скорости \ = де/др коллинеарны, но могут быть направлены как в одина­ковую, так и в противоположные стороны.

г) Наконец, еще один, особый случай представляет распад фонона на два фонона, причем порогом является сама начальная точка спектра р = 0. Такой распад, однако, возможен лишь при определенном знаке кривизны начального (фононного) уча­стка спектра: должно быть (Рг (p)/dp² > 0, т. е. кривая е(р) должна загибаться вверх от начальной касательной г = ир. В этом легко убедиться, представив этот участок спектра в виде

е(р)«цр + ар», (34,4)

учитывающем наряду с линейным также и следующий член раз­ложения по степеням малого импульса¹). Уравнение сохранения энергии (34,1) дает тогда

"(Р — ° — |р — q|) = —а(р³—— I Р—Ч i³)-

Вблизи порога фонон испускается под малым углом 0 к направ­лению начального импульса квазичастицы р; в левой стороне уравнения имеем

p-<7-|p-q|«--^-(l-cos8), (34,5)

а в правой достаточно положить |р—q|«p — q. Тогда находим 1— cos9 = За (р — q)². (84,6)

Отсюда видно, что должно быть а > 0.

Мы увидим ниже (§ 35), что в сучаях а) и б) функция е(р) вообще не может-быть продолжена за пороговую точку, оказы­вающуюся, таким образом, точкой окончания спектра. В случаях же в) и г) распад квазичастицы с испусканием длинноволнового фонона приводит к появлению слабого затухания, которое может быть определено с помощью теории возмущений ²).

*) Дисперсионное уравнение звуковых колебаний определяет квадрат частоты со² как функцию волнового вектора. Соответственно этому, регулярно разлагается по степеням импульса р квадрат энергии фонона е² (р); разло­жение начинается с члена ~р² и ввиду изотропии жидкости происходит по степеням р². Разложение же самой функции е (р) содержит, следовательно, нечетные степени р.

²) Какие именно из перечисленных случаев могут фактически осущест­вляться— зависит от конкретного хода кривой спектра квазичастиц е(р). Эмпирические данные для жидкого гелия (Не⁴) свидетельствуют о наличии (при давлениях < 15 атм) небольшого начального участка фононного спектра, в котором имеется неустойчивость типа случая г). Окончание же спектра в жидком гелии имеет место в точке типа случая а).

Вычислим затухание фонона, связанное с его распадом на два фонона (случай г)). Матричные элементы этого процесса имеются в членах третьего порядка в гамильтониане, дающихся выражением (24,12). Для перехода из начального (i) состояния с одним фононом р в конечное (/) состояние с фононами q_t и q₃ матричный элемент оператора возмущения равен

^-бСр-Я.-Я^^^-^-р^] \1 + -ЬТрТ\ ^(34,7)

(индекс 0 у невозмущенной плотности р₀ опускаем). Обратим внимание на наличие множителя (pqtfs)¹*²; его малость (речь идет о распаде длинноволнового фонона) и обеспечивает при­менимость теории -возмущений ¹).

Дифференциальная вероятность распада (в 1 сек) дается формулой

(см. III (43,1))- При подстановке сюда (34,7) возникает квадрат б-функции; его надо понимать как³)

_[6(p_q₁_q₂)p ₌ _^_₆(p-q₁-q₂). (34,8)

Остающаяся б-функция устраняется интегрированием по d^sq₂; положив также E_t = up, Ej = u(q_i-\-q₂), получим

1 (, , p^s d и²\* 9я f . ... , .. d³qi

W ■

(при независимом интегрировании no d³q₁ и d³q₂ ответ должен быть поделен на 2 для учета тождественности двух фононов). Наконец, выразив аргумент б-функции в виде (34,5) и произведя интегрирование по d³c7₁ = 2n<7_idc7₁dcos8 (по области fo^p), найдем полную вероятность распада

Ър^ь-

320яр£⁴

*) При вычислении матричного- элемента (34,7) следует учесть, что каждый из фононных операторов с_р и Ср может браться из любого из трех множи­телей р' или v; отсюда множитель 3!. Дельта-функция в (34,7) возникает от интегрирования множителя exp[t'(p—qi—(\i)r/n]. Наконец, учтено, что направ­ления р, qi и q₂ почти совпадают.

²) Действительно, б-функция б (к) возникает от интеграла ^ e^lkr d³k/(2n)³.

Если же вычислить другой такой же интеграл при к = 0 (в силу наличия уже одной б-функции), причем распространить интегрирование по конечному объему V, то получится 1//(2я)³; это и выражено формулой (34,8).

^{Коэффициент затухания фонона у = — Ime = ifca>/2. В частно­сти, для почти идеального газа, согласно (25,11), величина ы2/р да 4я&2а/т3 не зависит от плотности. В этом случае}

у= ^Зр! (34,10)

(С. Т. Беляев, 1958).

Для процесса испускания фонона квазичастицей вблизи по­рога типа в) вид оператора возмущения устанавливается путем рассмотрения изменения энергии квазичастицы в звуковой вол­не. Это изменение складывается из двух частей:

oe(p) = fpV + vp.

Первый член связан с изменением плотности жидкости, от ко­торой энергия квазичастицы зависит как от параметра. Второй член (в котором v—скорость жидкости в звуковой волне) есть изменение энергии квазичастицы благодаря макроскопическому движению жидкости; поскольку длина волны испускаемого (вблизи порога) фонона велика по сравнению с длиной волны квазичастицы, можно считать, что последняя находится в од­нородном потоке жидкости, и тогда изменение ее энергии опре­деляется, как было объяснено в начале § 23. Оператор возму­щения получается из бе заменой v = v<p и р' вторично-кванто­ванными операторами (24,10), а р—оператором импульса квази­частицы р =—ih V:

^ = |p' + -g-(vp + pv) (34,11)

(во втором члене произведена симметризация роизведения для приведения его к эрмитову виду). Вычисле ие вероятности испускания фонона производится далее аналогично тому, как это было сделано выше для распада фонона (см. задачу).

Задача

Определить вероятность испускания фонона квазичастицей с импульсом р, близким к пороговому значению р_с, при котором скорость квазичастицы до­стигает скорости звука.

^г) Для определенности рассматриваем случай, когда фонон испускается именно в таком (а не в обратном) направлении. Для этого функция г (р) вблизи порога должна иметь вид

е (Р) к е (р_с) + (р—р_с) и + а {р—Рс)²

(с положительным знаком в линейном члене). Из закона сохранения энергии легко убедиться, что испускание фонона возможно при этом, если а > 0, и

происходит при р > р_с; импульс испускаемого фонона пробегает значения в интервале <Х<?<; 2 (/j—р_с).

Решение. Матричный элемент оператора (34,11) берется для рождения одного фонона (с импульсом q) с одновременным переходом квазичастицы между состояниями (плоскими волнами) с импульсами р и р'. Вблизи порога импульс фонона д<^р_с, а направление q почти совпадаете направлениемр¹).

С учетом этого находим

^V_tt ^{= - i(2A)4 (p-qi-q}₂^{) фу}_г ^(g)1/2,

где

А--

i Р <5^е

р=р_г

Отсюда дифференциальная вероятность испускания фонона

_dw = ^A4 [e(p)-e(|p-q|)-«₉]

Ър (2пЩ³

(6-функция импульсов уже устранена интегрированием по d³p'). Написав аргумент б-функции в приближенном виде —щ (1—cos 0) и произведя интег­рирование по d³q, получим