*) Напомним, что в пространственно-временном представлении диаграмм пунктирной линии между точками 1 и 2 сопоставляется множитель Ш (Х_Х — Х₂), содержащий 6-функцию 6(fj —1₂).

2) Поскольку f—четная функция своего аргумента, то выбор общего знака р здесь несуществен.

Вычисленные по диаграммной технике функции Грина со­держат два параметра — химический потенциал \i и плотность конденсата п₀; эти параметры надо еще связать с плотностью жидкости n = N/V. Одно соотношение между этими тремя вели­чинами дает формула (31,6), следующая непосредственно из определения функции Грина. В качестве второго соотношения можно пользоваться полученным ниже уравнением (33,11), явно выражающим р в терминах понятий диаграммной техники.

§ 33. Собственно-энергетические функции

Изучим более подробно структуру диаграмм для функций Грина, введя в рассмотрение понятие о собственно-энергетической функции подобно тому, как это было сделано в § 14 для ферми-систем: путем рассмотрения совокупности всех диаграмм (с двумя внешними сплошными линиями), которые не могут быть рассе­чены на две части пересечением лишь одной сплошной линии. В отличие от § 14, однако, теперь возникают различные воз­можности в смысле направления внешних линий диаграмм: наряду с диаграммами с одной входящей и одной выходящей линией существуют диаграммы с двумя выходящими или двумя входящими линиями. Соответственно этому, возникают собст­венно-энергетические части трех родов:

гО^_Р . <зз,1)

(в этих обозначениях первый индекс у 2 указывает число входящих, а второй —число выходящих внешних сплошных линий). Наряду со сплошными внешними линиями собственно-энергетические диаграммы имеют, вообще говоря, также и вол­нистые (конденсатные) свободные концы. Эти концы включаются в определение собственно-энергетической функции, изображен­ной здесь кружком. Мы увидим ниже, что функции 2₀₂ (Р) и 2₂₀ (Р) фактически совпадают

2₀₂ (/>) = 2₂₀ (/>)- (33,2)

Сразу же отметим также, что поскольку Р и —Р входят в оп­ределение этих функций симметричным образом, они четны по своему аргументу:

2₀₂ (/>) = 2₀₂ (-/>). (33,3)

Приведем для иллюстрации все отличные от нуля диаграммы функций 2_fi и 2₀₂ в двух первых порядках теории возмущений

—г*—

Y (33,4) (33,5)

Составим теперь уравнения, выражающие точные функции G и F через собственно-энергетические функции.

В терминах теории возмущений разность G{P) — G^<0> (Р) вы­ражается суммой бесконечного числа диаграмм—цепочек вида

_{^-о о^Ъ-^}

состоящих из различных чисел кружков, соединенных всеми возможными способами стрелками прямого и обратного (по срав­нению с двумя крайними) направлений. Аналогичным образом, точная функция F (функция F⁽⁰⁾ = 0) изобразится суммой цепо­чек, в которых две крайние стрелки имеют противоположные-направления:

*^гСЬрЮ От*

Если отсечь во всех этих цепочках крайнее звено (кружок вместе со стрелкой) как показано вертикальным пунктиром, то совокупность оставшихся диаграмм с одинаковыми направле­ниями крайних стрелок снова будет совпадать с точной функций G, а совокупность диаграмм с противоположными направлениями крайних стрелок—с точной функцией F.

Введем графическое обозначение этих функций жирными одно- и двусторонними стрелками

№ _i tFfpJ _{f |} iF*(p) _| ^₃₃

Тогда сделанные утверждения запишутся в виде графических равенств, составленных из скелетных диаграмм:

(33,7)

-р "p ^s " ⁽~^"*"⁺ * ^ "'*

(ср. аналогичное уравнение (14,4)). В аналитическом виде эти равенства дают¹)

G (Р) = [1 +Б_П (Р) G (Р) +2₂₀ (Р) F (Р)] G<°> (Р), _fi

(Р) = _G<°> (- Р) [2_n (- Р) F (Р) + 2₀₂ (Р) G (Р)]. ^^,0;

Решив эти уравнения относительно G и F и подставив выра­жение (31,22) для G⁽⁰⁾, получим искомые формулы

G(P) = ^[a) + g-u. + 2_u(-P)], Р(Р) = -^2₀₂(Р), (33,9)

где

D = [2₀₂(P)?-

-[s_il(P)-(o-iO + g-_ti][2_li(-P) + co + ;0 + ^-_fx]. (33,10)

Подчеркнем, что эти соотношения не зависят от внутренней структуры собственно-энергетических функций, а потому не связаны и с предположением о парности взаимодействий между частицами, так что они верны для любой бозе-жидкости.

Энергия элементарных возбуждений в жидкости в зависи­мости от импульса р определяется полюсами функций G и F по отношению к переменной со. При малых р эти возбуждения являются фононами и их энергия стремится к нулю вместе с р. Поэтому функция (33,10) должна обращаться в нуль при р = 0, ш = 0. Отсюда находим равенство

Как уравнение по отношению к р, оно имеет два корня, из которых должен быть выбран

_|г = 2₁₁(0)-2_м(0). (33,11)

Действительно, в длинноволновом пределе яр-оператор дается выражением (27,2) и его надконденсатная часть ¹F' = ¹F—|/"я₀да яи'Кя₀Ф, так что ¹#'⁺ = — W' и затем F да— G; последнее ра­венство выполняется именно при выборе (33,11), когда числи­тели в (33,9) (в пределе Р —>■ 0) отличаются только знаком. Равенство (33,11) и есть то второе соотношение (см. конец § 32), которое вместе с соотношением (31,6) дает возможность выразить параметры р и п₀ через плотность жидкости п.

Дальнейшее разложение выражения (33,10) в ряд по <о и р определяет вид функции Грина в области малых значений их аргументов. При этом надо учесть, что скалярные функции 2_П

^х) Аналогичную систему уравнений можно было бы написать для G и F+, причем она отличалась бы от (33,8) лишь заменой 2₀₂ и 2₂₀ друг на друга. Поскольку F = F⁺, то отсюда следует равенство (33,2).

и 2₀₂ разлагаются по степеням р², а разложение четной по всем своим аргументам функции 2₀₂ содержит лишь четные степени также и переменной со. Представив (33,10) в виде

D ₌ {«> ₊ i0 + ± [2_Х1 (Я) - 2_Х1 (- Р)]}² -

^{-{й~*+тЕ2" <р)+2" (~ р)]}2+2»2}

G = —F

^{сразу заключаем, что первые неисчезающие члены разложения имеют вид D = const (со2—и2р2-\-Ю), где и — постоянная, пред­ставляющая собой, очевидно, скорость звука в жидкости. Заме­тив также, что в силу (33,11) числители в (33,9) при со, р—<-0 отличаются только знаком, найдем, что}

const

со² — и²р² + г0 *

Значение постоянной в числителе можно определить, вычис­лив по этой гриновской функции импульсное распределение частиц N (р) (при малых р) и сравнив его с известным уже нам распределением (27,7). Интеграл

00

^{tf(p) = M_im J G(o), р)е-™^}

— 00

(ср. (7,23)) вычисляется путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полупло­скости (ср. замечание в конце § 7) и соответственно, опреде­ляется вычетом в полюсе со = — up + iO. В результате получим л/(р) ₌ const/2«p и сравнение с (27,7) дает const = п₀ти²/п. Таким образом, окончательно находим следующее выражение функций Грина при малых со и р:

G = —F = . ₂ⁿ°TLm- (33,12)

n(co² — M²p²-f-f0) ^ > '

Отметим, что эта функция совпадает (с точностью до норми­ровочного коэффициента) с функцией Грина фононного поля (см. задачу в § 31)—вполне естественный результат, поскольку в области малых со, р все элементарные возбуждения в бозе-жид­кости являются фононами.

Наконец, проиллюстрируем полученные формулы в приме­нении к рассмотренной в § 25 модели почти идеального бозе-газа с парным взаимодействием между частицами. В первом прибли­жении теории возмущений 2_И и 2₀₂ определяются первыми двумя диаграммами (33,4) и первой диаграммой (33,5). Раскрыв их в аналитическом виде, получим

S« = n,[f/_e + f/(p)]. 2,₂ = п₀с7(р).

С той же точностью плотность конденсата п₀ в этих формулах можно заменить полной плотностью газа п. Как было указано в § 25, в этой модели импульсы частиц газа можно считать малыми, соответственно чему фурье-компоненты U (р) можно заменить их значением U₀ при р = 0. Тогда

2_и = 2л(/„ 2₀₂ = п(/₀. (33,13)

Подстановка этих выражений в (33,11) дает p = nt/₀ — в согласии с (25,6). Подстановка же в (33,9—10) приводит к следующим формулам для функций Грина:

^{GK Р)-} _ш^.__е^._{(р) +} ^,₀ ^{• з}

^F&> Р)°_Ю'-в»(р) + Ю'

где

г(р)-.

Из вида знаменателей этих функций ясно, что е (р) есть энергия элементарных возбуждений — в согласии с полученным ранее другим способом результатом (25,10 —11).