§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе

Как уже упоминалось, толщина самой вихревой нити в жид­кости измеряется атомными расстояниями. Исключение в этом отношении представляет, однако, случай почти идеального бозе-газа. Здесь «сердцевина» вихревой нити, в которой свойства среды существенно изменены, имеет (как мы увидим ниже) макроскопическую толщину, и ее структура может быть описана макроскопическим образом (В. Л. Гинзбург, Л. П. Питаевский, 1958; Л. П. Питаевский, 1961; Е. P. Gross, 1961).

Рассмотрим слабо неидеальный газ при абсолютном нуле температуры. В таком газе почти все его частицы находятся в конденсатной состоянии. В терминах г|>операторов это зна­чит, что «надконденсатная» часть оператора (Ф') мала по срав-. нению с его средним значением, т. е. по сравнению с конден­сатной волновой функцией S. Если пренебречь этой малой частью вовсе, то функция S будет удовлетворять тому же «уравнению Шредингера» (7,8), которое имеет место для пол­ного оператора W. С учетом лишь парных взаимодействий оно имеет вид (для бесспиновых частиц)

^|н(^г) = -(^д+р)а₍^,г) +

^{+ S (t, г) J |Е (t, г') |2 U (г-г')йч'. (30,1)}

Считая функцию Е (t, г') мало меняющейся, на атомных расстояни­ях, мы можем вынести ее (заменив на Е (t, г)) из-под знака интегра-.

^{ла, который сводится тогда к J U (г) d3x = (7}₀^{. Подставив также}

значение \i = nU₀ (см. (25,6); п—невозмущенное значение плот­ности числа частиц в газе), получим уравнение

^й Ж = ~ Ш ^А3 + ^U° <^S I^S I²"^nS< • (³⁰-2)

В стационарном состоянии Е не зависит от времени¹). Пря-

^J) Напомним, что уравнение (30,1) уже отвечает гамильтониану Н' =

молинейной вихревой нити соответствует решение вида

В =1^,(1-), r. _{= y}j=, (30,3)

где т и ф—расстояние до оси вихря и полярный угол вокруг нее. Фаза этой функции отвечает значению циркуляции (29,7).

№ j

0,5

Квадрат 131² есть плотность числа частиц в конденсате; в рассматриваемом приближении она совпадает с полной плот­ностью газа. При г—*оо последняя должна стремиться к за­данному значению п, а функция /—соответственно к 1.

Введя безразмерную переменную Е = г/г₀, получим для функ­ции /(£) уравнение

^{tI(^|)-f+^3=°- <30'4)}

На рис. 4 показано решение, полученное из (30,4) численным интегрированием. При £—>-0 оно обращается в нуль пропорцио­нально а при £—>-со стремится к 1 по закону f=l —1/2|².

Параметр г₀ определяет порядок величины радиуса «сердце­вины» вихря. Введя вместо U₀ длину рассеяния, согласно U_Q = 4n%²a/m (6,2), найдем, что

r₀~n-¹/³ri-¹/²>n-¹/3₎

где г\ = ап^1/3—газовый параметр. Этот радиус, таким образом, действительно велик по сравнению с межатомными расстоя­ниями, если газовый параметр достаточно мал.

Задача

Найти спектр элементарных возбуждений в почти идеальном бозе-газе, рассматривая его как закон дисперсии малых колебаний конденсатной вол­новой функции.

Решение. Рассматриваем малые колебания В вокруг постоянного сред­него значения Уп:

Е = УК-f Ai (^kr-°>'> -f В*е~¹ <^кг-^ш(>

где А, В*—малые комплексные амплитуды. Подставив это выражение в урав­нение (30,2), линеаризовав его и отделив члены с различными экспоненциаль­ными множителями, получим систему двух уравнений

Пч>А=^₁А + пи₀(А + В),

—%тВ = ^B + nU₀(A + B) (p=%k). Отсюда, приравняв нулю определитель системы, найдем

что совпадает с (25,10).