1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.

Решение. Каждый элемент кольца движется со скоростью v_s в дан- ной точке, а ввиду симметрии кругового кольца эта скорость во всех его точках одинакова. Поэтому достаточно определить скорость \_s, создаваемую в какой-либо одной точке Р

кольца Р всеми остальными его частями. Элементы dl кольца и радиус-векторы R от d\ к точке Р лежат в плоскости кольца; поэтому определяемая формулой (29,4) скорость в точке Р перпендикуляр­на плоскости кольца (в результате чего кольцо пере­мещается без изменения своей формы и размера).

Определим положение элемента dl углом ■& (рис. 3). Тогда

dt = R₀d$, R = 2R₀sm%, \[dl-R]\ = Rsm%dl

^{г 1} Рис. 3.

(где #о — радиус кольца), и из (29,4) находим для скорости кольца v выра­жение

к_ Р d&

^V~8R₀ J sin (0/2)' о

Этот интеграл, однако, логарифмически расходится на нижнем пределе и должен быть обрезан на значении ■& — a/R_a, отвечающем атомным расстояниям (—а) элемента dl до точки Р. С логарифмической точностью интеграл опре­деляется областью значений a/R_a <^0<^я и равен так что

"^'""ж^т- ⁽¹⁾

С той же логарифмической точностью энергия вихревого кольца

в = 2яЧгоР,^1п§ (2)

(формула (29,8) с заменой #—> Ro> —*-2я:/?о). Энергия 8 связана со ско­ростью v соотношением de/dp — v, где р — импульс кольца. Отсюда

. de , „ % _ dp^-^in^-RodRo

(с логарифмической точностью, при дифференцировании следует считать боль­шой логарифм постоянным), и затем

р = 2я»р,А/Й. (3)

Формулы (2), (3) определяют в параметрическом виде (параметр R_B) зависи­мость е (р) для вихревых колец.

Отметим, что ввиду логарифмического характера интегрирования, приво­дящего к формуле (1), эта формула (с некоторым изменением обозначений в ней) остается справедливой и для скорости v перемещения каждого данного элемента искривленной вихревой нити любой формы:

% , , X

^V = 2^^blnT- <⁴>

Здесь b—единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в дан­ной точке нити (вектор бинормали);¹ R₀—радиус кривизны нити в этой же точке; X— характерное расстояние, на котором меняется кривизна нити.

2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити (w. Thomson, 1880).

Решение. Выбираем линию нити в качестве оси г, и пусть вектор т=(х, у) дает отклонение точек нити при ее колебаниях; он является функ­цией г и времени ^ вида ехр [i(kz — Скорость точек нити дается форму­лой (4), в которой под X надо в данном случае понимать длину волны колеба­ний (X— l/k)

dr х, I b

V= —= — «0Г =-тг- In —т tt-.

dt 2 ak R₀

Таким образом, находим уравнение движения нити

_{Вектор бинормали b=[tn], где t и n—единичные векторы касательной и главной нормали к кривой. Согласно известной формуле дифференциальной геометрии, dh/dl}² _{= n/R0, где /—длина, отсчитываемая вдоль кривой. При малых колебаниях нить слабо изогнута, так что можно положить I х z и t = nz (единичный вектор вдоль оси г); тогда}

В раскрытом виде оно дает систему двух линейных однородных уравнений для х и у; приравняв нулю определитель этой системы, получим искомую связь между со и k: