§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи л-точки

Как уже упоминалось в § 23, с повышением температуры доля сверхтекучей плотности p_s/p бозе-жидкости убывает, обра­щаясь в нуль в точке фазового перехода второго рода—так на­зываемой Х-точки жидкости. Температура 7\ этой точки является функцией давления Р; уравнение Т = Т\(Р) определяет линию /i-точек на фазовой диаграмме в плоскости Р, Т.

^J) Эти утверждения относятся и к двумерному идеальному бозе-газу. ²) Подробнее см. У. W. Капе, L. Kadanoff, Phys. Rev. 155, 80 (1967)

В общей теории фазовых переходов второго рода изменение состояния тела описывается поведением параметра порядка,

характеризующего его свойства симметрии. Для ^.-перехода бозе-жидкости роль такого параметра играет волновая функция конденсата S, описывающая, как было объяснено в § 26, «даль­ний порядок» в жидкости. Комплексность Е означает, что па­раметр порядка имеет две компоненты, причем эффективный гамильтониан системы (см. V § 147) зависит только от | Е |², т.е. инвариантен относительно преобразования S—>e^iaE с лю­бым вещественным а.

Эмпирические данные о ^.-переходе в жидком гелии сви­детельствуют, по-видимому, о том, что для него отсутствует область применимости теории фазовых переходов Ландау: кри­терий V (146,15) не выполняется нигде в окрестности Х-точки (т.е. нигде в области \Т — 7\|<^7\)- Поэтому для описания свойств этого перехода надо пользоваться флуктуационной тео­рией фазовых переходов второго рода, дающей возможность связать друг с другом температурные зависимости различных величин.

Температурная зависимость параметра порядка (э тем самым и плотности конденсата п₀) при Т—+Т% дается лригчческим индексом р¹ (см. V § 148):

\Z\ = Vn~oo{T_K-Tf. (28,1)

Более интересен, однако, вопрос о поведении сверхтекучей плотности р,.. Для его вычисления рассмотрим жидкость, в ко­торой фаза Ф конденсатной волновой функции медленно ме­няется в пространстве. Это значит, что в жидкости имеет место макроскопическое сверхтекучее движение со скоростью (26,12) и соответственно с кинетической энергией (на единицу объема жидкости)

■^-Р.ЦгМ»'. (28,2)

Это выражение можно применить и к длинноволновым флук-туациям параметра порядка. Согласно гипотезе масштабной инвариантности, единственным параметром длины, определяю­щим флуктуационную картину в окрестности точки перехода, является корреляционный радиус флуктуации г_е. Им же опре­деляется, следовательно, порядок величины расстояний, на которых флуктуационное изменение фазы Ф порядка единицы; поэтому среднее значение квадрата флуктуационной скорости меняется с температурой по закону

где v — критический индекс корреляционного радиуса. С дру­гой стороны, поскольку ■ именно с длинноволновыми флуктуа-циями связана особенность термодинамических величин в точке перехода, естественно считать, что в окрестности этой точки флуктуационная кинетическая энергия (28,2) меняется с темпе­ратурой по тому же закону, что и сингулярная часть термо­динамического потенциала жидкости, т. е. как (Т%—Т)²~^а (где а—критический индекс теплоемкости С_р). Таким образом, на­ходим, что

рЛ~Р, (Ть-Т)"со(П-Т)*-*,

откуда p_scv>(7\—Т) ²-«-^2v. Наконец, учтя соотношение 3v = 2 — ос (следующее из гипотезы масштабной инвариантности—см. V§ 149), получим окончательно

р₅^(7\-Г)<²-«>/³. (28,3)

Этим устанавливается связь между температурными зави­симостями и теплоемкости вблизи А-точки (В. D. Josephson, 1966)!).