2NPaN2 mV

N nV

(25,14)

(Т. D. Lee, С. N. Yang, 1957). Для химического потенциала газа (при 7 = 0) соответственно имеем

dN

mV

1 +

32

³_N_ nV

(25,15)

Эти формулы представляют собой два первых члена разложе­ний по степеням (a³N/V)^1/2. Но уже следующий член не мог бы быть вычислен изложенным способом. Он должен содержать объем как V~², а величина этого порядка зависит уже не только от двойных, но и от тройных столкновений.

При больших значениях импульса (р^>ти) энергия квази­частиц (25,10) стремится к р²/2т, т. е. к кинетической энер­гии отдельной частицы газа.

При малых же импульсах (р<^ти) имеем г тир. Легко видеть, что коэффициент и совпадает со скоростью звука в газе, так что это выражение отвечает фононам в соответствии с общими утверждениями § 22. При Т — 0 свободная энергия совпадает с энергией Е_й) и взяв главный член в разложении последней, находим давление

р _ дЕ _ 2n%²aN² dV ~~ mV² '

Скорость же звука получается как и = ]/ дР/др (где p=mN/V— плотность газа) и совпадает с (25,11).

Отметим, что в рассматриваемой модели бозе-газа длина рассеяния а непременно должна быть положительной величи­ной (отталкивательное взаимодействие между частицами). Это видно формально уже из того, что в полученных формулах для энергии при а< 0 появились бы мнимые члены. Термодинами­ческий же смысл условия а > 0 заключается в том, что оно необходимо для соблюдения в данной модели бозе-газа неравен­ства (dP/dV)_T<0.

Статистическое распределение элементарных возбуждений (средние значения п_р их чисел заполнения) при отличной от нуля температуре дается просто формулой распределения Бозе (22,2). Распределение же Л/р истинных частиц газа по импуль­сам можно вычислить усреднением оператора а⁺_ра_р. Использо­вав (25,8) и учитывая, что произведения Ь__Р6_Р и Ъ_р Ы_р не имеют диагональных матричных элементов, получим

».-*⁺?* ⁺ ". (25,16)

Это выражение справедливо, разумеется, лишь при р#0. Число же частиц с нулевым импульсом

В частности, при абсолютном нуле все и_р = 0, и с помощью (25,9) получим из (25,16) функцию распределения в виде¹)

^{Np =} 2е (р) {е (р) + р²/2т+ти²} (25,18)

(при Г = 0 средние значения N_p совпадают с точными значени­ями; поэтому черту над буквой опускаем). Неидеальность бозе-газа приводит, естественно, к появлению частиц с отличным от нуля импульсом и при абсолютном нуле; интегрирование в (25,17) с N_p из (25,18) производится элементарно и дает

N₀ = N

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу полу­ченного здесь спектра. При малых р производная dHjdp² > О, т.е. кривая е(р) загибается вверх от начальной касательной г = ир. В таком случае (см. ниже § 34) возникает неустойчи­вость спектра, связанная с возможностью самопроизвольного распада квазичастиц (фононов). Соответствующая ширина уров­ней, однако, мала (пропорциональна pi при малых р) и не затрагивает выражений, получающихся в рассмотренных при­ближениях.