§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ

Основные свойства энергетического спектра бозевского типа ясно видны на модели слабо неидеального бозе-газа при близ­ких к нулю температурах. Эта модель будет рассмотрена в этом параграфе аналогично тому, как это было сделано в § б для ферми-газа¹). Все сказанное в § 6 в связи с общей характери­стикой моделей вырожденного почти идеального газа относится и к настоящему случаю. В частности, условие слабой неидеаль­ности (газовый параметр a(N/V)^1/3<51; а—длина рассеяния) может быть по-прежнему сформулировано в виде условия (6,1) малости импульсов частиц: pa/fl -^с 1 ²).

^х) Излагаемый ниже метод принадлежит Я. Я. Боголюбову (1947). При­менение им этого метода к бозе-газу явилось первым примером последова­тельного микроскопического вывода энергетического спектра «квантовых жид­костей».

^а) Мы увидим ниже, что в вырожденном бозе-газе основная масса частиц (вне «конденсата») обладает импульсами р ~ % УаИ/У, для которых указанное неравенство действительно справедливо.

Гамильтониан системы парно взаимодействующих бозонов (которые мы будем предполагать бесспиновыми) имеет вид, от­личающийся от (6,6) лишь отсутствием спиновых индексов:

# = Е-ё-^*«» + "2~Е <Р1Р21U | р_хр₂> flpjfl^SpA, (25,1)

(суммирование по всем импульсам, фигурирующим в индексах), Операторы же уничтожения и рождения частиц удовлетворяют теперь правилам коммутации

йрСр —арй_р= 1.

Как и в § 6, снова заменяем, в соответствии с предположением о малости импульсов, все матричные элементы в (25,1) их зна­чением при нулевых импульсах; тогда

£ = Е Ш «Я + W Е 4{^а&^' (25,2)

Исходным пунктом применения теории возмущений к этому гамильтониану является следующее замечание. В основном со­стоянии идеального бозе-газа все частицы находятся в конден­сате—состоянии нулевой энергии; числа заполнения Л/р₌₀ = ==N_Q = N, N_p = 0 при рфО (см. V § 62). В почти идеальном же газе в основном и в слабо возбужденных состояниях числа N отличны от нуля, но очень малы по сравнению с макроскопи­чески большим числом N₀. Тот факт, что величина atа₀ = N₀& N весьма велика по сравнению с единицей, означает, что выра­жение

а₀а+—ata₀ = \

мало по сравнению с самими a_g, at, и потому можно рассмат­ривать последние как обычные (равные VN₀) числа, пренебрегая их некоммутативностью.

Применение теории возмущений означает теперь формально разложение четверной суммы в (25,2) по степеням малых вели­чин а_р, Яр (р=бО). Нулевой член разложения равен

fljaja₀a₀ = а%. (25,3)

Члены первого порядка отсутствуют (ввиду невозможности со­блюдения в них закона сохранения импульса). Члены второго порядка

«о 2 (a_Pa-p+apa-p + 4apa_p). (25,4)

р=£0

Ограничиваясь точностью до величин второго порядка, можно заменить в (25,4) a\ = N₀ на полное число частиц N. В члене же

(25,3) следует учесть более точное соотношение

рфо

В результате сумма членов (25,3—4) становится равной N² + N 2 (а_Ра-_Р + ара±_Р + 2а^а_р),

и после подстановки в (25,2) получаем следующее выражение для гамильтониана:

^{H =} W^U° +X.-2^"^ap^p + -2T^o X (a_pa__P4-^ai_P4-2a_pa_p). (25,5)

р рфо

Первый член этого выражения определяет, в первом при­ближении, энергию Е₀ основного состояния газа, а его произ­водная по N—соответственно химический потенциал р при Т=0:

^Eo = W^U<" ^ ⁼ Т(^25,6)

Остальные же члены в (25,5) определяют поправку к £₀ и спектр слабо возбужденных состояний газа.

Входящий в (25,5) интеграл U₀ должен еще быть выражен через реальную физическую величину—длину рассеяния а. В членах второго порядка это может быть сделано прямо по формуле (6,2): U₀ = 4nfi²a/m. В первом же члене нужна более точная формула (6,5), учитывающая второе борновское прибли­жение в амплитуде рассеяния. При этом речь идет о столкно­вении двух частиц конденсата, соответственно чему в сумме в (6,5) надо положить Pi = p₂ = 0, p'i = — рг = р, так что будет

V рфо

Подставив это в (25,5), получим для гамильтониана

_ 2пРа / j i 4я&²а у, 1 \ ~ m V [ ' V 2^ )'

+ ^TL (apa-_p + a;at_p + 2a;a_p)+j\£a_p⁺a_p. (25,7)

рфо р

Для определения уровней энергии надо привести гамильто­ниан к диагональному виду, что осуществляется надлежащим линейным преобразованием операторов а_р, а_р. Введем новые операторы Ъ_р, Ъ_р , согласно определению,

a_p = u_pb_p + v_pbt_p, а_р = u_pb_p + v_pb-_p,

причем потребуем, чтобы они удовлетворяли таким же соотно­шениям коммутации

bpbp—bpS_p = 0, bpbp' — bp>bp = bpp',

каким удовлетворяют операторы а_р, ар. Легко видеть, что для этого должны быть и\—Up=l. Учтем это, написав линейное преобразование в виде

а„ =

_{i±bti Ъ-Ч+ЬЬ. (25,8)}

Величину L_p надо определить таким образом, чтобы в гамиль­тониане выпали недиагональные члены (Ь_РЬ__Р, bpbtp). Простое вычисление дает

где введены обозначения;

1/2

(Р) = ["

(25,10)

При этом гамильтониан принимает вид

Я = £₀+ 2 е(р)&р⁺6_р, (25,12)

p=pfc0

где

E₀ = ytnu*

р ^ о

Вид гамильтониана (25,12) и бозевские соотношения комму­тации для операторов Ь„, Ь_р⁺ позволяют заключить, что bp и Ь_р представляют собой операторы рождения и уничтожения квази­частиц с энергией в(р), подчиняющихся статистике Бозе. Соб­ственные значения диагонального оператора Ь_р Ъ_р представляют собой числа tip квазичастиц с импульсом р, а формула (25,10) определяет зависимость их энергии от импульса (числа запол­нения квазичастиц снова обозначены посредством п_р , в отли­чие от чисел заполнения N_p истинных частиц газа). Тем самым полностью определен энергетический спектр слабо возбужден­ных состояний рассматриваемого газа.

Величина же Е₀ есть энергия основного состояния газа. Заменив суммирование по дискретным значениям р (в объеме V) интегрированием по Vd³pl(2nk)³ и произведя вычисления, полу­чим следующее выражение:

Е₀ =