§ 2. Взаимодействие квазичастиц

Являясь функционалом от функции распределения квазичас­тиц, их энергия меняется при изменении этой функции. Изме­нение энергии при малом отклонении 8п функции распределения от «ступеньки» (1,10) должно иметь вид

бе_аР (р) = J f_ay, _ps (р, р') Ьп_6у (р') dx' (2,1^ч

или, в более символическом виде,

fie(p) = Sp'S ?(р, р')вй(р')Л',

где Sp' означает взятие следа по паре спиновых индексов, отвечающих импульсу р'. Функцию / можно назвать функцией взаимодействия квазичастиц (в ферми-газе f = 0). По своему определению эта функция представляет собой вторую вариаци­онную производную от полной энергии жидкости Е и поэтому симметрична по переменным р, р' и соответствующим им парам спиновых индексов:

fay. Рв (Р, Р') = fya, вр (Р'₍ Р). (2,2)

С учетом изменения (2,1) энергия квазичастиц вблизи по­верхности ферми-сферы дается суммой

l(p)-e_P=v_P{p-p_P) + Sp'lf(p, p')6n(p')dt'. (2,3) В частности, для термодинамически равновесных распределений

второй член в формуле (2,3) определяет зависимость энер­гии квазичастицы от температуры. Отклонение 8п' заметно отлично от нуля только в узком слое значений р' вблизи по­верхности ферми-сферы, и в таком же слое находятся импуль­сы р реальных квазичастиц. Поэтому функцию /(р, р') в фор­мулах (2,1), (2,3) фактически можно заменить ее значением на самой этой поверхности, т. е. положить р = р' = р_Р, так что f будет зависеть только от направлений векторов р и р'.

Спиновая зависимость функции / связана как с релятивист­скими эффектами (спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодей­ствия), так и с обменным взаимодействием. Последнее наиболее существенно. С его учетом функция взаимодействия квазичастиц имеет (на ферми-поверхности) вид

^/(Р, v') = F{b) + oo'G{b), (2,4)

где а, а'—матрицы Паули, действующие на соответствующие (т. е. отвечающие переменным р и р') спиновые индексы, a F и G—две функции угла й между р и р' *). Вид этого выражения связан с характерным свойством обменного взаимодействия: оно не зависит от ориентации полного момента системы в простран­стве; поэтому операторы двух спинов могут входить в него лишь в виде скалярного произведения. Определенные, согласно (2,4), функции F и G безразмерны. Введенный для этой цели в левой стороне (2,4) множитель представляет собой число состояний квазичастицы на ферми-поверхности, отнесенное к единичному интервалу энергий:

2AnpF ( dp \

, _ч 2dx

^s=eF (2nhf \d6jPp

или

v - Р^2р ■ ^РрП* (2 5)

1) В явной матричной форме: pFm'

fay, рб = ™с$\б + ^ав«^у6- (2.4а)

Поскольку след матриц Паули равен нулю, то после взятия следа Sp' второй член в (2,4) исчезает, так что Sp'/ не зави­сит уже и от а. Такая независимость имеет место в действитель­ности также и при учете спин-орбитального и спин-спинового взаимодействий. Дело в том, что скалярная функция Sp'fMonia бы содержать оператор спина лишь в виде произведения s[pp'] двух аксиальных векторов s и [рр'] (выражения же, квадратич­ные по компонентам s, можно не рассматривать, так как для спина 1/2 они сводятся к членам, линейным по s и не содер­жащим s вовсе). Но это произведение не инвариантно по отно­шению к обращению времени и потому не может войти в инва­риантную величину Sp'/-

Введем удобное для дальнейшего обозначение

/«v.Pv(P. Р') = б_ар/(Р. Р'), /=4s_PSp'/. (2,6)

Из выражения (2,4) имеем

ig£/(ft) = 2F(*). (2,7)

Функция взаимодействия квазичастиц удовлетворяет опре­деленному интегральному соотношению, следующему из прин­ципа относительности Галилея. Прямым следствием этого прин­ципа является совпадение импульса единицы объема жидкости с плотностью потока ее массы. Скорость квазйчастицы есть дг/др, так что поток квазичастиц дается интегралом

^s_pJ4p

dx.

Поскольку число квазичастиц в жидкости совпадает с числом истинных частиц, то ясно, что полный перенос массы квази­частицами получится умножением потока их числа на массу т истинной частицы. Таким образом, получим следующее равенство:

Sp ^pndx = Sp ^m^-ndx. (2,8)

Положив n_ap = м8_ар, е_ар = еб_аВ, варьируем обе стороны (2,8). Использовав (2,1) и обозначение / из (2,6), получим

J* р8п dx = m | ^ 8п dx + т J ^ ^ ^р * п 8п' dx dx' = ^{= m}IlT⁶"^dT—mI'^P(^p' P')^^8tldxdx',

где n' = n (p') (во втором интеграле заменено обозначение пе­ременных и произведено интегрирование по частям). Ввиду произвольности отсюда следует искомое соотношение

Для ступенчатой функции

п(р') = в(р') производная дп'/др' сводится к б-функции:

-Ьв(р-Ы. (2,10)

рр

Подставив в (2,9) функцию е(р) из (1,12), заменив затем везде импульср = /т значением p_F=p_Fn на ферми-поверхности и умно­жив обе стороны равенства на p_f, получим следующее соотно­шение между массой т истинных частиц,и эффективной массой квазичастиц:

cos -8- do', (2,11)

m ^m* (2nky

где do'—элемент телесного угла в направлении р'. Если под­ставить сюда для / {$) выражение (2,7), то это равенство при­нимает вид

2L=1 +F(b) cos(2,12)

где черта означает усреднение по направлениям (т. е. интегри­рование по do'/4л = sin-&du/2).

Вычислим еще сжимаемость ферми-жидкости (при абсолютном нуле), т. е. величину и² = дР/др¹). Плотность жидкости p*=mN/V, так что

₂ у^% др

^U ~ mN dV '

Для вычисления этой производной удобно выразить ее через производную от химического потенциала. Заметив, что послед­ний зависит от iV и V только в виде отношения N/V, а также, что при Т = const = 0 дифференциал dn=VdP/N, имеем

Lit—

ал/ ~ N dV л/² dV '

так что

_"² _{= — Ife". (2>}¹³₎

т dN

^х) При 7 = 0 также и S = 0, так что нет необходимости различать изо­термическую и адиабатическую сжимаемости. Величина и определена как известное выражение скорости звука в жидкости. Следует, однако, иметь в виду, что фактически при 7" = 0 обычный звук вообще не может распро­страняться в ферми-жидкости — см. начало § 5.

Поскольку [г = е₅при Т = 0, то изменение бу при измене­нии числа частиц на 6N равно

8|i=J/(p* р')бп'Л' + ^бр_Р (2,14)

Первый член в этом выражении — изменение величины е^) благодаря изменению функции распределения. Второй же член связан с тем, что изменение полного числа частиц меняет также и значение предельного импульса: в силу (1,1) имеем 8N = =Vp_Fbp_F/n²fl³. Поскольку Ьп' заметно отлично от нуля лишь при р' жрр, то, заменив в интеграле функцию / ее значением на ферми-поверхности, можем написать

2dx' \ . т bN

4яУ '

(2,15)

Подставив это выражение в (2,14) и введя т* согласно de_F/dp_F = = p_F/m*, получим

дЫ ~ 2V~t~ p_Fm*V '

Наконец, взяв ]/пг* из (2,11) и снова учтя (1,1), получим окончательно

"² = а^+з4(^)³ j/(*) (l-cos^)do'. (2,16)

С функцией /($) из (2,7) и с использованием (2,12) это выра­жение можно привести к виду

pf

^и2 = зШ*(¹+^р(Ъ))- (2>¹⁷)

Функция f должна удовлетворять определенным условиям, возникающим из требования устойчивости основного состояния жидкости. Последнему отвечает заполнение всех состояний квазичастиц внутри ферми-сферы, и энергия этого состояния должна быть минимальна по отношению к произвольной малой деформации сферы. Не приводя всех вычислений, укажем здесь лишь их окончательный результат¹). Его удобно сформулиро­вать, разложив функции Р (ft) и G(b) из (2,4) по полиномам Лежандра, т. е. представив их в виде

F (Ь) = 2 (21 + 1) F_[P_[ (cos t}), G (Ь)= 2 (2/ +1) G,P, (cos д) (2,18)

^J) См. И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 35, 524 (1958).

(при таком определении коэффициентов F_t и G_t они совпадают со средними значениями произведений FP_t и GP_t). Тогда усло­вия устойчивости записываются в виде неравенств

Л + 1>0, (2,19)

G, + 1>0. (2,20)

Сравнив условие (2,19) при 1=1 с выражением (2,12) для эффективной массы, убеждаемся в положительности последней. Условие же (2,19) при / = 0 обеспечивает положительность выражения (2,17).