§ 24] Фононы в жидкости 121

Правило коммутации операторов р и v определяется требова­нием, чтобы для коммутатора р и [получалось выражение (24,6). Легко проверить, что для этого надо положить

v (г) р (г') -р (Г') v (г) = -1% (V6 (г-г'))

(при этом надо учесть очевидную коммутативность операторов р(г) и р (г')). Наконец, положив v(r) = Ycp(r), получаем правило "коммутациии между операторами плотности и потенциала ско-оости

ф (г) р' (г') -р' (г') ф (г) = - iU (г-г') (24,7)

(вместо р можно, конечно, писать здесь оператор р' = р—р₀ переменной части плотности), Правило (24,7) аналогично пра­вилу коммутации между координатой и импульсом частицы; в этом смысле величины р' и ф играют в данном случае роль канонически сопряженных обобщенных «координат»и«импульсов».

Использовав выражения (24,4—5) для установления правила (24,7), напишем теперь операторы ф и р' в представлении вто­ричного квантования (т. е. выразим их через операторы унич­тожения и рождения фононов), потребовав при этом, чтобы они удовлетворяли правилу (24,7). Для этого пишем

ф (г) = у=- £ [A_kc_ke^ikr + Aidie-**)

с пока не определенными коэффициентами А_к; суммирование производится по всем значениям волнового вектора, пробегаемым для жидкости в большом, но конечном объеме К¹), Операторы Ск, с£ удовлетворяют бозевским правилам коммутации

с_кс_к- — Ck<c_k = 6_kk.. (24,8)

Напомним для дальнейших ссылок, что отличные от нуля ма­тричные элементы этих операторов

<п_к — 11"с_к | п_к > = <п_к | с i | rt_k -1 > = K«fc\ (24,9)

где п_к — числа заполнения фононных состояний.

¹) В отличие от ^-операторов частиц, оператор вещественной величины <f эрмитов и содержит одновременно операторы рождения и уничтожения фоно­нов. Напомним, что это свойство (как и такое же свойство операторов поля в квантовой электродинамике) связано с несохранением числа «частиц» в фо-нонном поле.

В дальнейшем нам понадобится, однако, не шредингеровский оператор ф (г), а гейзенберговский ф(/, г). Он получается из ф (г) просто путем введеййя множителей ехр (±i(ot) с частотами

co = u& в каждый член суммы

Ф (t, г) = ~ £ (А_кд_ке< О"-**) + Л *_кс~\е-< <*-*«">)

(ср. сказанное по этому поводу для ^-операторов в начале § 9). Оператор же плотности p'(t, г) должен быть связан с опера­тором ф(г, г) соотношением (24,2) и поэтому дается такой же суммой с множителями iA_kp₀k/u вместо А_к. После этого мно­жители А_к надо определить так, чтобы выполнилось правило коммутации (24,7). В результате получаются следующие окон­чательные выражения:

_ф(*>^г_{)=£{-щ&У*'fa}^eiikt_~^ukt)_+*^r_-^ukt)_),

^y^/2 (a_ke*(br-«*o_2j_e-Mkr-«*o). ⁽²⁴'¹⁰⁾

Действительно, подставив эти выражения в левую часть пра­вила (24,7), с учетом (24,8) получим требуемую б-функцию:

— it у £(c_kct—сгс_к)<л (г-П =

" = - у S ^ <^г-^г'>j" ^(r"^r<) w⁼- ^iU^-^r,)-

Легко убедиться также, что гамильтониан жидкости, полу­чающийся подстановкой у=уф и р' вместо v и р' в интеграл (24,3), имеет, как и следовало, вид

H = ^uhk(clc_k + -j \;

его собственные значения равны 2uflk(п_к +1/2) в соответствии с представлением о фононах с энергиями e = ufik.

Выражение (24,3) для энергии жидкости в звуковой волне представляет собой .первые (после нулевого) члены разложения точного выражения

^£=_П^е_?^+ре(р)

_ч

•ре(р)

^{(где е(р) — внутренняя энергия единицы массы жидкости). Роль точного гамильтониана жидкости играет этот интеграл, в кото­ром v и р заменены операторами v= уф и р = р„ + р' с ф и р' из (24,10):}

vp V

йЧ (24,11)

(оператор кинетической энергии написан в симметризованном виде vpv/2, чтобы быть эрмитовым). При этом существенно, что именно р и ф являются канонически сопряженными «обобщен­ными координатами и импульсами», через которые должен быть выражен гамильтониан. Это видно из того, что правило кимт мутации (24,7), которому удовлетворяют операторы (24,10), яв­ляется точным — в его выводе малость колебаний нигде не ис­пользовалась.

Члены более высоких (третьей и т. д.) степеней в разложении этого гамильтониана выражают собой ангармоничность звуко­вых колебаний, а в терминах фононной картины — описывают взаимодействие фононов. Эти члены имеют матричные элементы для переходов с одновременным изменением нескольких чисел заполнения фононов и тем самым играют роль возмущения, вызывающего различные процессы рассеяния и распада фононов. При этом матричные элементы самих операторов с_к и с_к имеют, разумеется, прежний вид (24,9), поскольку (как это всегда де­лается в теории возмущений) используется представление, в котором диагоналей невозмущенный гамильтониан. Приведем здесь выражения членов третьего и четвертого порядков

(24,12)

(24,13)