2. Найти закон дисперсии епр (р) для примесных частиц в движущейся

сверхтекучей жидкости, если известен этот закон впр (р) в неподвижной жидкости (J. Bardeen, G. Baym, D. Pines, 1967).

Решение. После добавления к неподвижной жидкости (при Т = 0) атома примеси (с массой т) с импульсом р₀ ее энергия и импульс (в системе координат, в которой жидкость первоначально покоилась) есть Вй~гпр(Ра), Ро = Ро- В системе же координат, в которой жидкость движется со скоростью v, имеем, согласно (23,1),

Е = el,? Ы + Роv + (М + т) v², Р = р„ + (М + т) v.

^х) В ферми-жидкости (жидкий Не³) капиллярные волны рассмотренного типа (как и объемные волны обычного звука) не существуют ввиду неогра­ниченного возрастания вязкости при Т —*- 0.

§ 24] Фонолы в жидкости 119

Отсюда видно, что изменения энергии и импульса движущейся жидкости при добавлении к ней атома примеси равны

(0) / ч 1 1 ^mV I

в_Пр=епр'Ы + Ро* Ч 2~ ' P = Vo + m\.

Выразив е_пр через р, находим

/V <0) , ч , fTlV²

е„р (P) = enp(P-mv) + pv — .

При малых значениях и, с точностью до членов первого порядка, для спектра епр (р) вида (23,9) имеем

(P)=-ⁱV + vp( 1 -

^Dnp „, . . . .

2m_np \ т_пр

§ 24. Фононы в жидкости

При переходе от классической картины звуковых волн к кван­товому представлению о фононах гидродинамические величины (плотность, скорость жидкости и т. п.) заменяются операто­рами, выражающимися через операторы с_к, с£ уничтожения и рождения фононов. Выведем формулы, дающие эти выражения.

Напомним, что в классическом описании звуковой волны плотность жидкости испытывает малые колебания с частотами и волновыми векторами, связанными друг с другом соотноше­нием w = uk. Величиной того же порядка малости, что и пере­менная часть плотности р' = р—р₀ (р₀ — равновесное значение плотности), является скорость жидкости v. Движение жидкости в волне потенциально, т. е. может быть описано скалярным потенциалом скорости ср," определяющим скорость согласно

v = .V<p. (24,1)

Скорость и плотность связаны друг с другом уравнением не­прерывности dp'/dt = — div(pv) да — p„div v, или

|^ = -_РоАф. (24,2)

Энергия жидкости в звуковой волне дается интегралом

Первый член в подынтегральном выражении есть плотность кинетической, а второй —внутренней энергии жидкости; оба квадратичны по малым величинам v и р'.

Дальнейшую процедуру квантования можно было бы про­вести полностью аналогично тому, как это было сделано для фононов в твердых кристаллах (см. V § 72). Мы, однако, избе­рем здесь несколько иной путь, демонстрирующий некоторые поучительные методические моменты. Рассмотрим сначала one­

раторы плотности и скорости жидкости, выраженные через микро­скопические переменные—координаты частиц.

В классической теории плотность р и плотность потока массы жидкости j могут быть представлены суммами

р (г) = 2 т_аЬ (r_a—г), j (г) = 2 р₀6 (г_в—г),

а а

взятыми по всем частицам (г_д и р_а— радиус-векторы и импульсы частиц); интегралы от этих функций по какому-либо объему дают полную массу и полный импульс жидкости в этом объеме. При переходе к квантовой теории эти функции заменяются соответствующими операторами. Оператор плотности имеет тот же вид

P(r) = 2/*„6(r_e-r), (24,4)

а

а оператор плотности потока

^{1>) ={2{Р.в(г,-г)т8(г,-г)р,}, (24,5)}

а

где Pa== — — оператор импульса частицы¹).

Найдем правило коммутации между операторами j(r) и р(г'), взятыми в точках г и г'; при этом можно, для краткости, рас­сматривать всего по одному члену в суммах (24,4—5), поскольку операторы, соответствующие разным частицам, коммутативны. При раскрытии коммутатора операторы вида б (r_t—г) ViSfo—г') преобразуются следующим образом:

б (fi-г) V_t6 (г,-г') = б (г,- г) (V6 (г-г')) + б (г_х-г) б (г, - г') Vj,

где в первом члене (V6 (г—г')) означает просто градиент б-функ-ции; ввиду наличия множителя б (r_t—г) в этом члене можно писать в нем (V6(r—г')) вместо (v_x6 (r_t —г')). В результате по­лучим

j (г)р (г') - р (г') j>) = - iflp (V6 (г-г')). (24,6)

Введем теперь вместо j оператор скорости жидкости v, со­гласно определению,

j = y0<v+ vp).

^х) Пусть, для простоты, система состоит всего из одной частицы. Усред­нение оператора p(r) = m6(ri— г) по состоянию с волновой функцией г|> (d) дает ^ яр* (r_x) pip (rj) d³x₁ = m 1tp (г) |², как и должно быть. Аналогичным обра­зом, усреднение оператора j (г) дает правильное выражение плотности потока (£/29 {V (г) V4> (г)—-ф (г) V** (г)}.