2) Формула же (2,11) для эффективной массы может быть выведена с по­мощью соотношения (17,17) и тождеств (19,11) и (19,15).

JV __8я££_ V ~ 3(2л)=> *

§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа

Для иллюстрации способа применения диаграммной техники в этом параграфе мы применим ее к вычислению гриновской функции почти идеального ферми-газа в рамках той же модели, которая была рассмотрена в § 6 с помощью обычной теории воз­мущений (В. М. Галицкий, 1958). Напомним, что речь идет о газе с отталкиванием между частицами, причем описанный в § 6 прием позволяет применять к этому взаимодействию теорию возмущений до тех пор, пока в окончательный результат вычисления входит только амплитуда рассеяния.

Как было показано в § 14, нахождение функции Грина сво­дится к вычислению собственно-энергетической функции 2_ар(Р). В первом и втором приближениях теории возмущений она дается совокупностью диаграмм (14,9) и (14,10). Изобразим их здесь следующим образом:

(21,1)

+

р

■Р

Диаграммы (21,1а—б) охватывают собой диаграммы первого по­рядка (14,10а) и (14,9а) и диаграммы второго порядка (14,106—в) и (14,96—в); последние отличаются от первых лишь поправками к внутренней сплошной линии; эти линии изображены в (21,1 а—6) жирными и им должны сопоставляться, следовательно, не гри­новские функции идеального газа G⁽⁰⁾, а функции G, исправлен­ные до членов первого порядка. Наконец, (21,1в—г)—это диа­граммы второго порядка (14,Юг—д). Все диаграмы деформиро­ваны так, что становится ясным характер их структуры; это — первые члены «лестничного» ряда четырехконцевых диаграмм, в которых по паре из внешних линий «закорочены» друг с дру­гом двумя различными способами.

Начнем с вычисления диаграммы (21,1а). Ее аналитическое выражение

d⁴Q (2я)«

[-i2(P)l = ^U(Q)G(P-Q)-_{

q= (<7<>, q), p = (v, р)

(21,2)

(общий множитель б_ар опущен). Произведем сначала интегриро­вание по dq₀. Поскольку, однако, множитель U (Q)=U (q) от q„ не зависит, a Gccl/q₀ при |<7„| —>оо, то необходимо предварительно уточнить способ интегрирования. Для этого надо вернуться к про­исхождению диаграммы (21,1а) и заметить, что сплошная линия в ней соответствует свертке пары "ф-операторов внутри одного и того же оператора V. Это значит, что f и t⁺ берутся в оди­наковый момент времени, и при свертывании ¥⁺ стоит слева от Y. Другими словами, в координатном представлении возникающая G-функция берется при t = t_t—1₂—»-•—0. В импульсном же пред­ставлении это означает добавление в подынтегральном выраже­нии в (21,2) множителя ехр (— iq_Qt) с переходом к пределу t —»-—0. Использовав теперь формулу (7,20), получим

[- iSJ, = i§U(q)N (p-q) , (21,3)

где N (р)—функция распределения частиц.

Фурье-компонента U (q) существенно зависит от величины q лишь при q^> l/r₀, где г₀ — радиус действия поля U (г); эти зна­чения заведомо велики (для разреженного газа) по сравнению с p_F. Если ограничиться значениями \р—p_F\<^.\/r₀, то при ука­занных значениях q будет N (р—q) « 0. Поэтому U (q) в (21,3) можно заменить на U (0) и вынести из-под знака интеграла¹). Оставшийся интеграл равен половине (заданное значение про­екции спина!) плотности газа п (р), так что [2]_а = —п (р) U (0)/2.

Диаграмма же (21,16) с замкнутой на себя сплошной линией дает [2]_б = /г (р) U (0). Таким образом, вклад в 2 от обоих диаграмм есть

[S]_ai6 = in(p)i/(0)=^n(p)a, (21,4)

где а—длина рассеяния, определенная согласно (6,2).

Выражение (21,4) содержит в себе, в частности, весь эффект первого порядка. В этом приближении п (р) надо понимать как плотность идеального газа п^т(ц), так что

2«»^[2]£_б = |£_Я«>0.)а. (21,5)

*) Допускаемая таким образом погрешность имеет, как легко видеть, от­носительный порядок величины — (Pf/"o)² и потому не отражается даже на членах следующего по ррг₀ порядка.

Для дальнейшего вычисления введем, в качестве промежуточ­ного обозначения, функцию F, определенную лестничными диаграммами:

^р'*< т ^р'^а = *-Г— + • Г Г (21,6)

- ■ ■ V-Л ^^9 ^ —^—«*—

(как всегда, Я₁ + Я_а = Л + Я₄). В аналитическом виде

iF_y6, _а6 (Р„ Я₄; Я,, Р₂) = /6_av6p₆ (/?(»■+F«>), (21,7)

где

i_Fti> ₌ __iU{p_t_p_i)t ^ (21,8)

= J G«» (П U{Р_г-Р') G«» (Р_х + Р,-Р') U(Р'-Р₃),9)

Раскрыв обе диаграммы (21,1в—г) и выразив их через F⁽ⁱ\ получим

[-a(P)]_B,_r^-^G^(Q)F^(P, Q; Q,P)-^ +

+ 2 JG<»>(Q)^'(P, Q; P, QJ-Ц- (21,10)

(такие же интегралы с F⁽¹⁾ вместо F^l2) дают (21,5)). Разница зна­ков перед двумя интегралами связана с наличием замкнутой петли в диаграмме (21,1 г); б-множители в первой диаграмме дают б<губуР — 6ав, а во второй: 6_ap6_vv = 26_aP.

Перейдем к вычислению F^{2\ Поскольку U (Q) не зависит от q_t, то интегрирование по dp'₀ сводится к интегралу

JG<°> (/>') 0™(Р_х + Р₂ — Р')

2п

Подставив сюда G⁽⁰⁾ из (9,9) (и учитывая сходимость интеграла ^ПР^И I Ро I—оо), замыкаем путь интегрирования бесконечно уда­ленной полуокружностью в одной из полуплоскостей комплекс­ного р'₀; интеграл отличен от нуля, лишь если полюсы двух функ­ций G^<0) лежат в различных полуплоскостях, т. е.

sign (р'—р_Р) = sign (| Pi + Ра-р' \—Pf). (21,11)

В результате получим

F^lt4P„ P_t; Ри =

U (p_t - р') U (р' — р₃) sign (р' — p_F) <Fp* ,₉, ₎₀,

»i + <D₁ + 2|i—gjj- [p'* + (Pi+P«—Р')'] +*"0-sign (р'-ррУ >

(где со₁ = р₁₀, со₂ = р_ао). При этом, чтобы автоматически учесть требование (21,11), в числителе подынтегрального выражения

следует заменить

sign (р'-_Рр)-+ 1-е (p')-e(_Pl+p₂-p'),

где 9(р) — ступенчатая функция (1,10).

Мы видели в § 16, что ряд лестничных диаграмм определяет (в вакууме) амплитуду взаимного рассеяния двух частиц. Поэ­тому выражение (21,12) содержит в себе поправку к членам пер­вого порядка в амплитуде рассеяния. Эту поправку можно учесть, заменив в f^ll) (21,8)

£/(р₃— Pi)-*- — 4r^Re^(Ps' Pi)

(где /—точная до второго порядка амплитуда рассеяния в ва­кууме)¹) и одновременно вычтя из выражения f^{2) (21,12) вещест­венную часть его значения в вакууме, т. е. при р_Р=0, р, = 0 и значениях щ = рЦ2т, ca₂ = pl/2m, отвечающих энергиям двух реальных сталкивающихся частиц («физические» внешние концы диаграмм). После этого можно уже будет заменить — Re/ значением при нулевой энергии, т. е. длиной рассеяния а²). Таким образом, будем иметь

f™{P₃, р₄; Pi, Л) =

4яа V CI L^⁶ (P')-^e(Pi + P2-P')

Л«1 + ш₂ + 2ц—+ (Pi+Pa—P')⁸J -f-iO-sign ip'—p_P)

_p _^ \*£L. (21,13)

P² + P|-P'²-(P₁ + P₃-P')² / <^2я>

Знак P во втором члене означает, что интеграл берется в смысле главного значения; это — результат отделения вещественной части интеграла с помощью правила (8,11).

Поскольку выражение (21,13) симметрично по р_х и р_а, оба интеграла в (21,10) совпадают, так что

^г) He смешивать / в этом параграфе с функцией взаимодействия квазичастиц!

²) Эта замена не могла быть произведена в (21,12), так как привела бы к расходимости интеграла при больших р". После произведенного же вычита­ния интеграл сходится (при р' ~ р_Р) уже и с такой заменой, что и позволяет произвести ее. Вычитание лишь вещественной части интеграла (и соответственно замена U через Re/) произведено с целью избежать затруднения, связанного с мнимой частью амплитуды рассеяния. Дело в том, что при малых импуль­сах Re/ разлагается, по четным, а 1т/—по нечетным степеням импульса (см. 111 § 132). Поэтому учет импульсной зависимости / привел бы к поправкам относительного порядка (qpa)², т. е. пренебрежимым. Замена же U —* — 4я//т потребовала бы учета мнимой части /, приводящей к поправкам относительного порядка величины рра,

[- iS (р)]_в, _р = j g<" (Q) F<²> (p, Q; p, Q) Ц.

При подстановке сюда первого члена из (21,13) интеграл по dq₀ отличен от нуля, если

sign (р'—Ре) = — sign (q—р_Р), (21,14)

так что оба полюса подынтегрального выражения снова нахо­дятся в разных полуплоскостях q₀. При подстановке же второго члена из (21,13) от q₀ будет зависеть только множитель G₀(Q), интегрирование по dq₀ осуществляется формулой (7,23) и дает #⁽⁰⁾(я)—функцию распределения частиц в идеальном газе, т. е. ступенчатую функцию 6(q). В результате получим (собрав вклады от всех диаграмм (21,1 а—г))

2Кр) = -^п(|х)а + 2<»>, р), (21,15)

где

_И:

2<*>(со,р) =

Лпа у- Г ( [1 — 9 (р') —в {p + q—Р')] 1в(я)-в(р')]

- и+№ -р'² - (р+ч-р')²]+«"о • sign (р' -рр) _р ?*ejq) (21,16)

P² + 9²-p'4(P+q-P')² \ <^2jl>

(множитель 6(q)—б(р') в числителе первого члена под знаком интеграла заменяет собой — sign (<7—р_Р) при условии (21,14)).

Заметим прежде всего, что 2 имеет мнимую часть. Она вы­деляется из (21,16) с помощью правила (8,11) и дается выра­жением

ImS (со, р) = - п J {8 (q) [1 -8 (р')] [1 -0 (p + q—р')] —

-[l-8(q)]0(p')e(p + q-p')}X хб[са + р.+^((_?²-р'²-(р + _Ч-р')²)]^^: (21,17)

(выражение в фигурных скобках преобразовано с учетом того, что е«(р) = 8(р)).

«(P) = 4- + ^«(fi)a + 2<» р) (21,18)

Спектр энергий квазичастиц вычисляется, согласно* (14,13), как

2т ¹ т ^уг> ' I 2т

(в Е⁽²⁾ можно, с требуемой точностью, положить етр²/2т). Комплексность 2 означает наличие затухания у возбуждений (Ime =7=0).

Появление этого затухания выражает неустойчивость квази­частиц, связанную с возможностью реального процесса их рас­пяла 1Соаси111ЯРти11я мпжрт птпять часть своей энергии, за счет которой рождается пара квазичастиц (частица и дырка). Рас­смотрим, например, первый член в фигурных скобках под интег­ралом в (21,17). По свойствам ступенчатой функции этот член отличен от нуля, если

p'>pf> Iq+p—v'\>pf> я<рр-

Эти неравенства отвечают процессу, в котором квазичастица с начальным импульсом р (р > p_F) переходит в состояние р' (р > р' > p_F), причем импульс р—р' передается частице внутри ферми-сферы (импульс q<_p_F), возбуждаемой до состояния с импульсом q + p—р' вне ферми-сферы; такой переход экви­валентен появлению двух новых элементарных возбуждений — с импульсами — q (дырка) и q + p—р'. Закон сохранения энер­гии в этом процессе выражается б-функцией в (21,17), в которой со + р играет роль начальной энергии квазичастицы е(р):

е (Р) = е (р') + [е (q 4- р - р') - в (q)]

(здесь достаточно положить, в первом приближении, е (р)=р*/2т). В соответствии с указанным смыслом, определенная этим равен­ством энергия е (р) действительно отвечает квазичастице вне ферми-сферы (е > р.).

Аналогичным образом, второй член в фигурных скобках в (21,17) возникает от процессов, в которых пара рождается дыркой. Этот член дает затухание элементарных возбуждений с е < р. На языке диаграммной техники возможность рождения пары квазичастицей выражается возможностью рассечь диаг­рамму G-функции на две части путем пересечения ее по хрем сплошным линиям, из которых две направлены в одну, а третья— в другую сторону. На диаграммах (21,1 в—г) таковы сечения, проходящие между двумя пунктирами.

Случай слабо неидеального газа специфичен (по сравнению с общим случаем произвольной ферми-жидкости) в том отноше­нии, что спектр квазичастиц в нем имеет смысл во всей области значений импульсов, а не только вблизи ферми-поверхности: затухание квазичастиц (Ime) оказывается относительно малым уже благодаря малости «параметра газовости» ap_F. Мы приведем здесь, однако, окончательный результат вычислений лишь для двух предельных случаев.

Вблизи ферми-поверхности (\р—Pf\^Pf) получается

Re е = р, + (р—Pf) Pf?¹⁷¹*

с р из (6,14) и т* из (6,17). Для затухания же квазичастиц получается

1ш в = —j— {p_Fa¥ {p-PfY sign (p-Pf). (21,19)

Пропорциональность этого выражения квадрату (р — р_Р)² имеет ясное происхождение: один множитель р—р_Р возникает как ширина той области импульсного пространства (узкий шаровой слой), в которую попадает импульс квазичастицы после рожде­ния ею пары, а еще один такой множитель—как ширина слоя, в котором рождается пара. Отметим, кстати, что эти соображения относятся и к любой ферми-жидкости, так что вблизи ферми-поверхности всегда Im е оо (р — p_F)^{2 х}).

При больших импульсах р^>р_Р (но все же ра<^\) имеем

(21,20)

В обоих случаях отношение Ime/Ree мало. Максимальное значение этого отношения достигается при p~p_F, но и здесь оно ~ {Ррй)^г <^ 1.

Наконец, приведем значение перенормировочной постоянной функции Грина слабо неидеального газа. Она вычисляется как

дЪ (<в, р)

и равна

Z = \

8 In 2 я²

(р_Ра)К

(21,21)

^г) При отличных от нуля температурах усреднение этой величины по тепловому распределению приводит к пропорциональности затухания квад­рату Г², о чем уже говорилось в § 1.