- •Часть 2
- •Глава I
- •§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости
- •§ 2. Взаимодействие квазичастиц
- •1) В явной матричной форме: pFm'
- •§ 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости
- •§ 3] Магнитная восприимчивость ферми-жидкости 25
- •§ 4. Нулевой звук
- •1) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном ферми-газе, были впервые рассмотрены ю. Л. Климентовичем и в. П. Силиным (1952).
- •§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости
- •§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами
- •Глава II
- •§ 7. Функция Грина макроскопической системы
- •2) Мы будем называть оператор н', как и н, гамильтонианом.
- •§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина
- •2) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой Челлена—Лемана (ср. IV §§ 101, 108).
- •§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа
- •§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам
- •§11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина '
- •§12] Т-операторы в представлении взаимодействия
- •§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем
- •X) Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложиы на конец параграфа.
- •3 Е. М. Лифшнц, л. П. Питаевскнй
- •§ 14. Собственно-энергетическая функция
- •§ 15. Двухчастичная функция Грина
- •§16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц
- •§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса
- •§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц
- •§ 18] Функция взаимодействия квазйчасгиц 91
- •§ 19. Тождества для производных от функции Грина
- •1) Оно аналогично калибровочному преобразованию в квантовой электродинамике (ср. III (111,8—9)).
- •2) Ср. Более подробные рассуждения ниже, в § 23.
- •4 Е. М. Лнфшиц, л. П. Пнтаевский
- •§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью
- •§ 20] Связь между предельным импульсом и плотностью
- •2) Формула же (2,11) для эффективной массы может быть выведена с помощью соотношения (17,17) и тождеств (19,11) и (19,15).
- •§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа
- •Глава III
- •§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости
- •§ 23. Сверхтекучесть
- •2) Подробное изложение гидродинамики сверхтекучей жидкости дается в другом томе этого Курса (том VI).
- •I. Найти предельный закон температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля (к. R. Atkins, 1953).
- •2. Найти закон дисперсии епр (р) для примесных частиц в движущейся
- •§ 24] Фонолы в жидкости 119
- •§ 24. Фононы в жидкости
- •§ 24] Фононы в жидкости 121
- •§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ
- •2NPaN2 mV
- •§ 26. Волновая функция конденсата
- •2) Добавление или удаление частицы надо представлять себе как совер- шаемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы пере- менным полем.
- •5 Е. М. Лифшиц, л. П. Патаевсквй
- •§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата
- •§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи л-точки
- •§ 29. Квантованные вихревые нити
- •2) Эго утверждение не относится, однако, к близкой окрестности х-точки; здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного радиуса флуктуации.
- •1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.
- •2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити (w. Thomson, 1880).
- •§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе
- •§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости1)
- •§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости
- •2) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться множитель s, а выходящей — множитель е*; ввиду вещественности е эти множители фактически одинаковы.
- •§ 32] Диаграммная техника для бозе-жидкости 155
- •2) Поскольку f—четная функция своего аргумента, то выбор общего знака р здесь несуществен.
- •§ 33. Собственно-энергетические функции
- •§ 34. Распад квазичастиц
- •2Л2(р —рс)3 ЗпрЛ4
- •§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания
- •1) Содержание этого параграфа принадлежит л. П. Питаевскому (1959).
- •§ 36. Гриновские функции при конечных температурах1)
- •§ 36] Гриновские функции при конечных температурах 173
- •§ 37. Температурные функции Грина
- •§ 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина
- •Глава V
- •§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
- •§ 391 Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
- •§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства
- •1) При больших и первый член разложения / (и) по 1/и:
- •2) Для разложения интеграла / (и) при и —»• 0 прибавляем и вычитаем из него интеграл
- •§ 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
- •§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
- •1) Эту формулу можно получить, написав 1 1 г 1 , 1
- •§ 43. Сверхпроводимость металлов
- •§ 44. Сверхпроводящий ток
- •2) Феноменологическая электродинамика сверхпроводников изложена в другом томе этого курса—см. VIII глава VI.
- •2) Изложенный вывод уравнения (44,8) принадлежит л. Д. Ландау (1941).
- •§ 45. Уравнения Гинзбурга — Ландау
- •2) Этот выбор (в том числе отождествление m с истинной массой электрона) не имеет, конечно, глубокого смысла и условен в той же мере, как и определение ns в (44,2).
- •§ 46. Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз
- •8 Е. М. Лифшнц, л. П. Патаюаквй
- •§ 47. Два рода сверхпроводников
- •2) Не путать его с промежуточным состоянием сверхпроводников первого рода, возникающим при определенных конфигурациях образца и внешнего магнитного поля!
- •§ 47] Два рода сверхпроводников 229
- •§ 48. Структура смешанного состояния
- •1) В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую координату—расстояние от оси.
- •J) Второй член в (48,13), будучи выражен через ток j, принимает вид
- •2) Наиболее выгодна, по-видимому, решетка, образованная равносторонними треугольниками с вихревыми нитями в их вершинах.
- •§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода
- •§ 49] Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода 241
- •§ 50. Эффект Джозефсона
- •§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике
- •§ 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник
- •§ 53. Сверхпроводящие сплавы
- •§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары
- •2) Переход происходит при температуре —ю-3 к. Заметим, что малость Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной ферми-жидкости к жидкому Не3.
- •Глава VI
- •§ 55. Электрон в периодическом поле
- •2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом периодическом поле 0 (х).
- •§ 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке
- •§ 56J влияние внешнего поля на движение электрона
- •§ 57. Квазиклассические траектории
- •§ 58. Квазиклассические уровни энергии
- •§ 58] Квазиклассические уровни энергии 285
- •1) При движении в однородном магнитном поле адиабатическим инвариантом, не зависящим от выбора векторного потенциала, является интеграл
- •2) Для свободных электронов (см. Примечание на стр. 282) условие (58,7)
- •§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке
- •§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле
- •§ 61. Электронный спектр нормальных металлов
- •§ 62. Гриновская функция электронов в металле
- •§ 62] Гриновская функция электронов в металле 305
- •§ 63. Эффект де Гааза — ван Альфена
- •2) Ср. V § 60, где этот эффект рассматривался для идеального электронного газа.
- •2) Ср. VIII § 18, где аналогичное условие выведено для электрического случая.
- •§ 64. Электрон-фононное взаимодействие
- •§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный спектр в металле
- •2) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат а. Б. Мигдалу (1958).
- •11 В. М. Лифшнц, л. П. Питаевский
- •§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков
- •§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках
- •§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения
- •1). Такая ситуация имеет место для дна дырочной зоны в алмазе, кремнии и германии, которые все имеют решетку одинакового типа.
- •1) Примером является одна из модификаций олова—серое олово.
- •Глава VII
- •§ 69. Уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике
- •1) Экспериментальные данные о гиромагнитных отношениях g, дающие для ферромагнетиков значения, очень близкие к 2, свидетельствуют о спиновой природе ферромагнетизма.
- •§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр
- •§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины
- •§ 72. Спиновый гамильтониан
- •§ 72] Спиновый гамильтониан 357
- •2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между р§ и т.
- •§ 73. Взаимодействие магнонов
- •§ 74. Магноны в антиферромагнетике
- •Глава VIII
- •§ 75. Гриновская функция фотона в среде
- •§ 76. Флуктуации электромагнитного поля
- •§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде
- •2. То же для тела с магнитной поляризуемостью a,-j (to) *).
- •3. Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях задачи 1 считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела.
- •2 27 Eha/t_l г2 eftco/r_,
- •§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях
- •§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил
- •§ 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула
- •§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи
- •§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости
- •§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости
- •§ 85. Вырожденная плазма
- •§ 85] Вырожденная пллзма 417
- •2 YnVTe3
- •Глава IX
- •§ 86. Динамический формфактор жидкости
- •§ 87. Правила сумм для формфактора
- •§ 87] Правило сумм для формфактора 431
- •§ 88. Гидродинамические флуктуации
- •§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде
- •1. Найти корреляционную функцию флуктуации числа растворенных час- тиц в слабом растворе.
- •2. Найти корреляционную функцию флуктуации давления в жидкости, обладающей большой диспергирующей второй вязкостью £ (со) (связанной с медленной релаксацией некоторого параметра).
- •§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов
- •§91. Динамический формфактор ферми-жидкости
- •198, 207, 208, 213, 263 Восприимчивость парамагнетика 358, 359
- •216, 245, 276, 370 Квазиимпульс 267
- •118, 196, 208 Сила взаимного трения 142 Скелетная диаграмма 74, 84 Случайные потоки 434
- •384, 425, 435 Форм-фактор динамический 422
- •1) Этот указатель дополняет оглавле] включены термины и понятия, непосредствен
- •399, В формуле (81,6) в последнем выражении должно быть
1) В
классической функции Лагранжа свободной
частицы L
—
mv%/2
пере-
ход
к движущейся системе координат
совершается заменой v—*v
+ 6w и
приводит
к появлению малой (при малом 6w)
добавки
6L
=
mv6w.
Соответст-
венно
(ср. I (40,7)) добавка к функции Гамильтона
6Н=
—
p6w,
а
в квантовой
механике ей отвечает
оператор (19,14).2) Ср. Более подробные рассуждения ниже, в § 23.
4 Е. М. Лнфшиц, л. П. Пнтаевский
Нам
придется ниже применять полученные
тождества, в частности, при значениях
свободной переменной Р
=
(р(>,р)
на
фер-миповерхности: PF
=
{0,
рр)-
Перенеся
множитель G2(P)
из
правых сторон тождеств в левые,
заменим там производные от.G
(Р)
производными от G~1(P);
при
этом способ перехода к пределу К
-*
0 в G
(Р)
G(P
+
K)
несуществен.
С другой стороны, вблизи ферми-поверхности функция Грина определяется своим полюсным членом, так что
G-i(P) = ±[pt-vP(p-pF)] .
Отсюда, на самой этой поверхности,
dG-1 _ 1_ dG-1 _vfdpF др0 ~~Z ' dfx Z dji
В результате, например, тождества (19,9) и (19,13) принимают на ферми-поверхности вид
ijre\a6(Pf,Q){G2(<3)}w-^=(l-y)6aP, (19,16) i j Ць, «e(PF, Q) {G* Шмщ1= (l -]T2jf) (19,17)
§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью
Полученные в предыдущих параграфах соотношения позволяют дать последовательное доказательство основного положения теории ферми-жидкости Ландау: утверждения о том, что связь между предельным импульсом рР и плотностью жидкости N/V дается той же формулой (1,1), что и для идеального газа.
Идея доказательства состоит в независимом-вычислении изменений N и рР при бесконечно малом изменении химического потенциала р и затем их сравнении.
Согласно (7,24), полное число частиц (в заданном объеме V) как функция химического потенциала дается интегралом
N = -2iVUm JG (/>)<>-">.'!£ , Р = (Ро,р). (20,1) Отсюда производная
Ввиду сходимости этого интеграла при больших р0 (dG/d[x со <v> 1/р02 при —> со) писать множитель e-W в подынтегральном выражении уже не надо. После подстановки сюда dG/dp из тождества (19,13) (просуммированного по a = 6) находим
Т%=211 <°2 <р»* +1 (P)h г* (Р, Q) {<?* Шк .
§ 20] Связь между предельным импульсом и плотностью
99
где для краткости Г = Га?а7. Цель дальнейшего вычисления состоит в том, чтобы выразить правую часть этого равенства через интеграл только по ферми-поверхности.
Прежде всего подставим вместо Г* во втором интеграле выражение из (17,17) (заменив в нем обозначение QP на SF):
if = 2;J F (P)\kЩГ + ^\°2 (P)h Га (P, Q) {G2 (Q)}ft
2 72 Г rf4P d*0 do
{°2
{P))k
г^a*
{P'
sp)
£v
(5f'
Q)
{G%
(Q)}*
(2*>8
*
•
(20,3)
Преобразуем сначала последний член. В его подынтегральном выражении от Q зависят только последние два множителя; интеграл от них по d*Q определяется (на ферми-поверхности, S = SP) формулой (19,17), так что этот член принимает вид
vP(2n)3
Далее, вспомним, что при интегрировании по d*P предельные значения G(P)G(P + K) надо понимать в смысле (17,10); поэтому {G2(P)}ffl = cp(P), а
{G2 (P)\k = {G2 (Р)}и-^ б (р0) б (р-^). (20,4)
После этой замены получим
i;F (2я)3
где, согласно (18,4), введена функция взаимодействия квазичастиц и использовано выражение /а|, „g через функцию F (Щ согласно (2,6 — 7); черта над F означает интегрирование по dolAn. Оставшийся интеграл по d*P дается формулой (19,16), после чего интегрирование по dos дает еще множитель 4я. В результате третий член в (20,3) оказывается равным
1'рЛ-
Аналогичным образом преобразуется второй член в (20,3): величины {G2(P)\k и \G2(Q)\k выражаются через {С2(Р)}И и {G5(<5)}(o согласно (20,4), после чего используются тождества (19,9) и (19,16). В результате этот член оказывается равным
(20,6)
Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по dpB, поскольку G—>-0 при р0—»-±оо.
Наконец, первый член в (20,3) после подстановки в него (20,4) дает
2j-j{G2(P^W + #- (20.7)
Сложив теперь все вклады (20,5 — 7), найдем
v£-g3r+-fe{'-3j''"+M- (ад
С другой стороны, производная
dpF~~\dNJv\dpp)v~ rfp 6N » согласно (2,15), равна
*!L = vPQ + F). (20,9)
Подчеркнем, что при выводе (2,15) еще не использовалась конкретная зависимость рР от N/V, и поэтому мы имеем право применить здесь это соотношение с целью нахождения указанной зависимости (равенство (20,9) можно, конечно, получить и с помощью тех же соотношений для вершинных функций, которые были использованы при выводе (20,8)) *).
С учетом этого равенства мы видим, что фигурная скобка в (20,8) обращается в нуль и, таким образом,
d n pf dpP
TfM • (20,10)
ф V 2я2 dji <ifi
При N/V—s-0 мы имеем дело с газом, так что в этом пределе зависимость рР от N/V во всяком случае должна совпадать с газовой. Этим условием устанавливается постоянная при интегрировании (20,10), и мы приходим, наконец, к искомому соотношению (1,1):