§ 19. Тождества для производных от функции Грина

*) См. N. D. Mermin, Phys. Rev. 159, 161 (1967),

В математическом аппарате функций Грина существенную роль играют некоторые тождественные соотношения между про­изводными от этих функций и амплитудой рассеяния квази­частиц. Вывод этих соотношений однотипен: вычисляется изме-

ненйе гриновской функции под влиянием некоторого фиктив­ного «внешнего поля», результат воздействия которого на систему известен заранее.

Поэтому прежде всего вычислим изменение 6G гриновской функции под влиянием «внешнего поля» произвольного вида. Такому полю соответствует в гамильтониане член

8уи> ₌ $ф£(г, _Г)6с?¥_а(г, r)d»x, О⁹-¹)

где 8U — некоторый оператор, действующий на функции от г (и могущий зависеть также от времени t).

При наличии внешнего поля функция Грина зависит уже от двух 4-импульсов P_f и Р₂. В диаграммной технике такое поле изображается новым графическим элементом—внешней пунктир­ной линией:

I I

причем такой линии сопоставляется множитель

— i8U (Р₂, Pi) = —i J e^iP'^x8Ue-^lp>^x d*X. (19,2)

В первом порядке по внешнему полю поправка к точной функции Грина изображается суммой двух скелетных диаграмм

(19,3)

где все сплошные линии—жирные (точные G-функции), а кру­жок— точная вершинная функция (г'Г). В аналитическом виде это равенство записывается как

(Р₂, Рг) = G_Bv (Р₂) bU (Р₂, Рх) G_va (P_f) -

-iG_Bv(P2)G_ea(Pi) S r_v6, _e£(P₂, Q_x; P_it Q₂) x

X 8U (Q₂, Q_t) G_lK (Q₂) G_xe (Q_t) ^ , (19,4)

причем Q₂ + Pi = P₂ + Q{-

Первые два из интересующих нас тождеств связаны с сохра­нением числа частиц в системе. В гамильтониане системы это свойство выражается тем, что г^-операторы входят в него парами: по одному ¥⁺(Х) и Ф(Х) для каждого аргумента X.

Произведем калибровочное преобразование \р-операторов:

у_а{Х) = У_а(Х)е-'*(^х\ = (19,5)

где %(Х)— вещественная функция¹). В силу указанного харак­тера гамильтониана, если W удовлетворяет «уравнению Шредин-гера» (7,8), то ¥' удовлетворяет тому же уравнению с заменой

При бесконечно малом % = 8% такое изменение уравнения экви­валентно добавлению к гамильтониану «внешнего поля»

8U = -^ + ±(A8% + 2(v8_%) V).

В частности, если

8x(X) = Re(x„e-«*), /С = (со, к), (причем ввиду линейности последующих операций знак Re можно опустить), то

8U (Р₂, PJ = I (2я)« Хо^⁽⁴⁾ (Р,-Рг-Ю {«> -^k (_Pl + p₂)} . (19,6)

С другой стороны, функция Грина, построенная по tp-onepa-торам:

4>;=¥_a(i+i6_X), ф;⁺=Ф2(1-»6х)

отличается от функции, построенной по операторам ¥, Ф"¹", на

8G„p (Х_и Х₂) = Ш_вЭ (X_t- Х₂) [8% (X,) - 8_г (X_t)] или, в компонентах Фурье:

SG_ap (Р₂, Р_г) = J 6G_aP (X_lt Х₂) е¹ сл-яА) ^ d*X₂ =

= i [Оа&(Рг) - G«p (Р₂)] 8_% (Я, - Я_г), (19,7)

где

бХ (Р) = J ^бХ W e*^PJfd'X = (2л)« Xofi⁽⁴⁾ (Р — К)-

Таким образом, одно и то же изменение 6G_ap выражено в двух видах: (19,7) и (19,4), куда надо подставить 8U из (19,6). Приравняв оба эти выражения друг другу, получим (после замены G_ap = G6_ap и некоторых переобозначений переменных)

б_ар[G (P+K)-G(P)] = G (Я + К) G (Р) { [__Q + !L(|±J0] _баР +