§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса

Важную роль в теории ферми-жидкости играет вершинная функция при близких значениях пар переменных P_lt Р₃ и Р₂, Р₄ (мы увидим, в частности, что она тесно связана с функцией взаимодействия квазичастиц). Имея в виду связь

4,

положим Р₃ = Pj-f/C, Р₄ = Р₂—К и введем упрощенное обозна­чение

r_V6,ap(Px+tf, P_t-K; Pi, P₂) = r_Ye,_ap(/C; P_i5 P₂); (17,1)

мы будем рассматривать эту функцию при малых значениях К-В терминах процессов рассеяния квазичастиц это значит, что рассматриваются столкновения с малой передачей 4-импульса, близкие к «рассеянию вперед».

При /С = 0 функция Г имеет, как мы увидим, особенность; нас будет интересовать именно та часть функции, в которой заключена эта особенность. Происхождение последней легко понять из рассмотрения скелетной диаграммы

(17,2)

*) Так, во втором порядке теории возмущений (по парному взаимодейст­вию) в (17,2) входят диаграммы (15,11а,б,в) и диаграмма (15,11д) с перестав­ленными концами 3 и 4.

заключающей в себе ту совокупность диаграмм двухчастичной функции Грина, которые могут быть рассечены между парами концов P_lt Р₃ и Р₂, Р₄ на две части, соединенные между собой двумя сплошными линиями¹). Двум соединительным жирным линиям отвечают точные одночастичные гриновские функции G(Q) и G (Q +К), причем по 4-импульсу /<" в диаграмме про­изводится интегрирование. При К—>-0 аргументы этих двух функций сближаются, а потому сближаются и их полюсы. Сбли­жающиеся полюсы могут «зажать» между собой путь интегри­рования (см. ниже), что и является источником возникновения особенности в функции Г.

Для вычисления точной функции Г надо просуммировать весь ряд теории возмущений. Поскольку наша цель состоит в выделении части, имеющей особенность при /С = 0, надо прежде всего отделить вклад от всех диаграмм, которые не могут быть рассечены по парам сплошных линий с близкими (отличающи­мися на К) значениями 4-импульса. Эту часть функции Г, не имеющую особенности при /С = 0, обозначим посредством Г; в ней можно положить К = 0, так что Г будет функцией лишь

переменных P_if Р₂: Туб,аа(.Рй Р*)- Что же касается «опасных» диаграмм, то их можно классифицировать по числу содержа­щихся в них пар линий с близкими аргументами. Таким об­разом, полная вершинная часть Г изобразится следующим бес­конечным «лестничным» рядом диаграмм:

(17,3)

Р,+К Р_г-Я

Здесь светлому кружку отвечает искомое гТ, а заштрихованные кружки изображают if. Внешние линии на этих диаграммах не входят в определение Г и служат лишь для указания числа и значений входящих и выходящих 4-импульсов. .

Все внутренние линии на диаграммах (17,3)—жирные, т. е. им соответствуют точные G-функции. Подчеркнем в этой связи, что возможность представления Г в виде этих скелетных диа­грамм (а тем самым и все дальнейшие следствия из них) отнюдь не предполагает парности взаимодействия между частицами, поскольку пунктирные линии здесь в явном виде отсутствуют; от характера взаимодействия в действительности зависит лишь (не интересующая нас здесь) внутренняя структура блоков, изо­браженных кружками *).

Задача о суммировании ряда (17,3) сводится к решению интегрального уравнения, для получения которого «ум'ножим» весь ряд еще на одно Г, т. е. заменим его рядом

*) Предполагается лишь такое общее свойство, как сохранение числа ча­стиц. Последнее проявляется в постоянстве разности числа линий, проходящих направо и налево в каждом сечении диаграммы (равной нулю для сечений показанного в (17,3) типа).

_)с*(=XX⁺_)ос>(⁺ _-

Сравнение с исходным рядом (17,3) приводит к равенству

(17,4)

Это диаграммное равенство, будучи записано в аналитическом виде, и дает искомое интегральное уравнение

Г₇6, ар (К; Р_и Р₂) =

^{= Г76, ар {Pi, P,)-i j Г*, ах {Pi, Q) G (Q+/C) G (Q) X}

^xT_K6^{,^{K;Q, P}_s^{)J|j. (17,5)}

Согласно сказанному выше, в функциях Г положено /С = 0; ис­пользованы введенные выше сокращенные обозначения Г и Г, а также положено G_ap = g6_ap.

Для исследования этого уравнения рассмотрим прежде всего стоящее в его ядре произведение G {Q -\~K) G (Q). Как уже было отмечено, при малых /С полюсы обоих множителей близки друг к другу. Вблизи этих полюсов G-функции представляются по­люсными членами (10,2). Обозначив компоненты 4 векторов К и Q, согласно

/С = (ю, k), Q = fa,,q), (17,6)

пишем в этой области

G{Q)G(Q+K)&

fstZ*[q_Q—v_F{q—p_F) + i6_l]-^l[q_a+<i>—v_F{\q+k\—p_F) +16,]"¹,

(17,7)

где 8_if б₂—бесконечно малые добавки, знак которых (вблизи полюсов) определяется согласно

sign 8_{1 =} sign (? —p_F), „_{? g)}

sign б₂ = sign (j q + k j—p_F).

Знаки 8_t и б₂ определяют расположение полюсов — в верх­ней или нижней полуплоскостях комплексной переменной q₀. Особенность в ядре интегрального уравнения (а с ним и в его решении) возникает в результате зажатия контура интегриро­вания по dq₀ (вещественная ось) между полюсами, для чего последние должны находиться по разные стороны этого кон­тура, т. е. в разных полуплоскостях.

Предположим сначала, что qk > 0, т.е. cos 9 > 0, где 9 — угол между q и к. Тогда |q+k|><7, и 6j и б₂ имеют различ­ные знаки (б_х < 0, б₂>0), если q < p_F, jq + k|>p_F, что ввиду малости k эквивалентно условиям

p_F—kcosQ<q<p_F. (17,9)

При дальнейшем интегрировании по dq_a в (17,5) путь интегри­рования можно замкнуть бесконечно удаленной полуокруж­ностью (все равно—сверху или снизу), и тогда интеграл опре­делится вычетом подынтегрального выражения в соответствующем полюсе. При этом ввиду узости интервала (17,9) (при малом k) в множителях Г и Г под знаком интеграла можно будет поло­жить k = 0 и соответственно для положения полюсов (при малых k, ю): q₀&0.

Другими словами, в смысле своей роли в ядре интегрального уравнения (17,5) произведение полюсных множителей (17,7) эквивалентно б-функциям

A8(q₀)8(q-p_F) с коэффициентом А, определенным как интеграл

Z² dq₀ dq

[Qo—vf(4~Pf) + »'6i] [<7o + w — Ml 4 + k| — Pp) + i\] '

2niZ4q

a>-v_F(\q + k[-q) + iO

Когда q лежит вне интервала (17,9), оба полюса лежат в одной полуплоскости комплексного q₀, и, замкнув путь интегрирования по dq₀ через другую полуплоскость, убедимся, что интеграл обращается в нуль. В области же (17,9), замкнув путь через одну из полуплоскостей и вычисляя интеграл по вычету в рас­положенном в этой полуплоскости полюсе, найдем

(учтено, что в области (17,9) 8_± < 0, б₂ > 0). Поскольку в силу (17,9) qtapp^k, то можно положить |q + k |—q ж й cos в, после чего (с учетом пределов (17,9))

^ _ 2niZ² k cos 8

СО—-top cos 0'

Легко показать тем же способом, что такое же выражение для А (но с другим знаком у Ю) получается и при cos9<0 (когда интегрирование должно производиться по области q > p_F, |q + k|<p_f). Таким образом, в ядре уравнения (17,5) имеем

G_{Q)G_{Q+K) = + <¹⁷'¹⁰> где написано lk вместо &cos6 (1 = q/q), а функция ф не содер­жит (при малых К) б-функционной части, и потому в ней можно положить /С = 0.

Подставив (17,10) в (17,5), получим основное интегральное уравнение в виде

Г,е, аВ (К; Pi, Р₂) = Г*, _кр (Pi, Р.) ~

+ ШI^f*• ^{т {Pi}'^{qp) Гиб}'^{ге Qf}' ^Pa) ^=flir- ⁽¹⁷'^11} В последнем члене подставлено d*Q = q²dqdo_ldq₀ (где do_t—эле­мент телесного угла в направлении 1) и интегрированием по dqdq₀ устранены б-функции. В этом члене в функциях Г и Г аргумент Q берется на ферми-поверхности: Q_f=(0_? р_Г\).

Обратим внимание на специфический характер множителя lk/(co—v_F\k) в ядре уравнения (17,11): его предел при к—>-0, ш—*0 зависит от предела, к которому стремится при этом от­ношение со//г. Таким же характером будет обладать, следова­тельно, и решение уравнения: предел функции Г (К; Pi, ^р₂) при К—s-0 зависит от способа стремления к нулю со и к.

Обозначим посредством Г^Ю(Р₁, Р₂) предел

r?e,_ep(Pi, P,)=Hm Г_7б,ар№ Р_иР₂) при —0 (17,12)

К-*0

(мы увидим в § 18, что именно с этой величиной связана функ­ция взаимодействия квазичастиц). При таком способе перехода к пределу ядро последнего интегрального члена в (17,11) обраща­ется в нуль, так что Г<° удовлетворяет уравнению

Губ, ар (^1, Рг) =

=Гуь, _ар (Р„ P_t) -i J f _rc. _m (P_it Q) ф (Q) 1%. _£B (Q, P.) Ц-₄. (17,13)

Отметим, что ввиду (15,8)

Г?в.ар(^,Л) = П?_у.р«(Р., P_t). (17,14)

Из двух уравнений (17,11) и (17,13) можно исключить Г. Результат исключения:

1\а,ар№ Pf. Рг) —Гув, ap(Pi» Р₂) +

Действительно, если формально записать (17,13) в виде Г = £Г^Ш, то (17,11) запишется как

Подставив сюда Т=СТ^а и применив к обеим сторонам равен­ства оператор L^-1, получим (17,15). Введем теперь функцию Г^й согласно

Г$в_>вэ(^,Л)=ИтГ_тв,_вр(/С; ^ри ^р*) ^ПР^И —0. (17,16)

Именно эта функция (умноженная на Z²) представляет собой амплитуду рассеяния вперед (т. е. перехода Р_г, P_i—*P_i, Р₂), отвечающую реальным физическим процессам, происходящим с квазичастицами на ферми-поверхности: столкновения, остав­ляющие квазичастицы на этой поверхности, сопровождаются изменением импульса без изменения энергии, и потому переход к пределу нулевой передачи импульса (к—>0) должен произ­водиться при "строго равной нулю передаче энергии (со = 0). Введенная же выше функция Г^ш отвечает нефизическому пре­дельному случаю «рассеяния» с малой передачей энергии при строго равной нулю передаче импульса (к = 0).

Положив в (17,15) со = 0, перейдя к пределу к-*0 и умно­жив обе стороны равенства на Z², получим

Z²r*a,ae(Pi, P₂)=Z*r»e,ae(Px. ^Р,)~

^{-М^122Г^аи(Р1' QFVZ'ThMQF. pddo}_t^{. (17,17)}

Таким образом, существует общее соотношение, связывающее обе предельные формы амплитуды рассеяния вперед.

Свойства антисимметрии (15,8) для Г дают некоторую инфор­мацию о поведении Г* и Г^ш при Р_г—>-Р₂, Положив в этом равен­стве Р₂ = Р₂ и а = р, получим

Tv6,_a«(Pi + K, Pi-K; P_it Px) = 0 (17,18)

(суммирования по а здесь нет!)¹). Переход к Г^ш или Г* в этом равенстве надо производить с осторожностью, так как в Г^ш, Г* сначала положено /С = 0, а в (17,18)—сначала P_t = P₂.

^J) При учете лишь обменного взаимодействия между спинами квазичастиц из всех Губ, аа отличны от нуля лишь Г_аа, асе- Это утверждение выражает собой неизменность вектора спина при рассеянии. Его можно преверить также и непосредственно по выражению вида (2,4).

Пусть одновременно малы К и Р_±—P₂ = 5 = (s₀, s). Тогда помимо диаграмм (17,2) будут опасными также и диаграммы

При К, функция Г_?6, аа будет зависеть, следовательно,

от двух «особых» аргументов:

Sq+CO

|s+k| '

и (17,18) означает обращение этой функции в нуль при х = у. Будем рассматривать значения Г на ферми-поверхности; тогда co = s₀ = 0, так что и у = 0. Поэтому в таком пределе равен­ство (17,18) имеет место, только если и х = 0. Другими словами, на ферми-поверхности оно справедливо для Г^А:

Гка«(^1, Pi) = 0 (17,19)

(А/. D. Mermin, 1967).