§12] Т-операторы в представлении взаимодействия

63

Подставляя в. предыдущее выражение, получим

= _ i <S-i (со, _ со) § (со, t_t) V_9a (tj S(t_u t_t) Y₀⁺e (g S(t„- co)>.

Понимая операторы 5 как произведения (12,7), мы видим, что все множители в усредняемом выражении, начиная со второго, расположены в хронологическом порядке справа налево от t = — со до t = oo. Поэтому можно написать

G_aP(Xi, x₁) = -t<^-^lTP#_oe(gti!jj(gs]>, (12,12)

где обозначено

5 = 5(со, — со) = Техр|— i $ V₀(t)dt^. (12,13) -

Вычисления при t_t < t₂ отличаются от произведенных лишь обозначениями, и окончательный результат (12,12—13) справед­лив при любых ti, t₂.

Произведенное преобразование не зависит от того, по какому состоянию системы подразумевается усреднение. Но если усред­нение производится по основному состоянию (как в (12,12)), то преобразование может быть продвинуто еще и дальше. Для этого заметим, что адиабатическое включение или выключение взаимо­действия, как всякое адиабатическое возмущение, не может вы­звать перехода с изменением энергии квантовой системы (см. III § 41). Поэтому система, находившаяся в невырожденном состоянии (каковым и является основное состояние), в этом состоянии и остается. Другими словами, действие оператора S на волновую функцию Ф = Ф₀(—со) должно сводиться к умно­жению на (несущественный для состояния) фазовый множитель— среднее значение S в основном состоянии: 5Ф = <§>Ф. Точно так же Ф*5^-1 = <5>^_1Ф*. Таким образом, окончательно получаем следующую формулу для функции Грина, выраженной через операторы в представлении взаимодействия¹):

Ю«_В(Х„ X₂) = ^<T[t_oa(X_i)4'₀⁺_p(X₂)5]>. (12,14)

^х) Отметим некоторую условность обозначений в (12,14): хотя символ Т в нем фигурирует дважды (в явном виде и в определении S), но в действи­тельности все множители в произведении должны расставляться в единой хронологической последовательности.

По смыслу этого представления усреднение в (12,14) произ­водится по основному состоянию системы свободных частиц.

Действительно, свойства операторов W₀ совпадают со свойствами гейзенберговских операторов ¥ в отсутствие взаимодействий, а гейзенберговская волновая функция Ф от времени не зависит, так что совпадает со своим значением при t = — со, когда взаи­модействие отсутствует. Поэтому, в частности,

<TV_oa(X₁)Vb(X,)> = iG$(X_i, Х₂) (12,15]

есть функция Грина системы невзаимодействующих частиц.

§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем

Смысл символических выражений типа (12,14) состоит в том, что они дают возможность легко написать последовательные члены разложений по степеням V. Так,

<W_oa(X)¥₀⁺_p(X')5> =

да ^{00 00}

= Ет I ^•••1 ^dtn<^oa(X)f^(X')V₀(t₁)...V_(l(t_n)>,

/J— 0 — 00 — 00

(13,1)

а выражение для <§> отличается от написанного лишь отсут­ствием множителей Фоа^ор под знаком Т-произведения. Как уже было указано, оператор V₀(t) в представлении взаимодействия получается из (7.7) заменой всех W на W₀. Вычисление после­довательных членов разложения (13,1) сводится, следовательно, к вычислению средних по основному состоянию от Т-произве­дения различного числа ^-операторов свободных частиц.

Эти вычисления в значительной степени автоматизируются с помощью правил диаграммной техники, которые, однако, су­щественно зависят от характера исследуемой физической си­стемы. Излагаемая в этом параграфе техника относится к не­сверхтекучим ферми-системам, причем взаимодействие .частиц предполагается парным и не зависящим от спинов. Соответст­вующий оператор взаимодействия:

v,(t) =

(13,2)

где U (г_х—г₂)—энергия взаимодействия двух частиц (индексы (2) у V и U опускаем).

Среднее значение произведений op-операторов вычисляется с помощью теоремы Вика, которая гласит¹):

Среднее от произведения любого (четного) числа операторов

Ф и W⁺ равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. В каждой паре операторы стоят в той же последовательности, что и в первоначальном про­изведении. Знак каждого члена в сумме определяется множите­лем (—1)^р, где Р—число перестановок операторов, которые надо произвести, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.

Отличны от нуля лишь свертки, в которые входит один опера­тор % и один W⁺: в диагональном матричном элеменхе все ча­стицы, уничтожаемые оператором W, должны быть вновь рожде­ны оператором Ч^г+. Ясно поэтому, что среднее от произведения нескольких гр-операторов может быть отлично от нуля, только если в нем содержится одинаковое число операторов W и Ф⁺.

В применении к среднему от Т-произведения теорема Вика позволяет выразить его через средние от попарных Т-произве-дений, т. е., согласно (12,15), — через гриновские функции сво­бодных частиц. Сделаем это для поправки первого порядка в функции Грина системы взаимодействующих частиц.

Предварительно отметим, что при раскрытии по теореме Вика выражения в числителе формулы (12,14) возникают, в частно­сти, члены вида

<W_oa (XJ *„⁺_э (Х₂)> <S> = iG$ (X_if X,) <S>, (13,3)

в которых пара «внешних» (по отношению к S) ^-операторов сворачивается между собой; выражение же <«§> содержит (в каж­дом члене его разложения) лишь свертки «внутренних» опера­торов между собой. Множитель <S> целиком сокращается со знаменателем в (12,14), и, таким образом, все эти члены дают

просто «невозмущенную» гриновскую функцию Юа$.

Оставив в (13,1) два первых члена разложения, подставив (13,2) и переобозначив переменные, получим

iG_ap(X_i( XJ^tG^+iGiV,

где

tG«V = - 4- <TF„_a (X,) *₀⁺р (X.) X

со

X I dt I d% d4, Wt₇(t, r₃) Yt₆(t, r_t) U (г,-г.) fob (t, n) *_ov (*,r,)>.