§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам

Гриновская функция ферми-жидкости не может быть, конечно, вычислена в общем виде, как это было сделано для ферми-газа. Но^ утверждение о том, что ферми-жидкость обладает спектром описанного в § 1 типа означает, что ее функция Грина имеет полюс при

<о = е(р)—{р —р_Р), v_P=pp/m\ (10,1)

Другими словами, она может быть представлена в виде

G(<b, Р)= ; ^Z, , ._п . \-g(e>, р), (10,2)

где g(co, р)—функция, конечная в точке (10,1). Как уже было отмечено в связи с (8,17), коэффициент Z (вычет функции G в по­люсе) положителен.

Из выражения (10,2) можно сделать интересное заключение о характере распределения частиц жидкости (не квазичастиц!)

по импульсам. Именно вычислим раз- V ность значений функции распределения

N (р) (фактически зависящей лишь от аб-

^{z =}*~~~n| солютной величины р) по обе стороны

поверхности ферми-сферы, т. е. предел

Lразности N(p,-q)-N{p_P-\-q)

^Р" ^Р при 7== +0. Рис. 1. Распределение N (р) выражается че-

рез функцию Грина интегралом (7,23). Ввиду конечности функции g(co, р) заранее очевидно, что разность интегралов от нее будет стремиться при q —>0 к нулю. Поэтому достаточно рассмотреть лишь разность интегралов от полюсных членов в (10,2). Поскольку при интегрировании членЮ в знаменателе существен только вблизи полюса, можно (как уже было указано в § 9) писать sign (р—р_Р) вместо sign со. Тогда имеем

00

^{N (p}_P^-q)-N(p_P^{+q) = -i j|}

Z Z 1 rfto

(a-^-v_Pq — iO со — v_Pq-\-iQ ) 2n

(ввиду сходимости этого интеграла от разности, множитель е^-1'"' с t = — 0 в нем можно опустить). Замыкая теперь путь интегри­рования бесконечно удаленной полуокружностью (все равно в ко­торой из полуплоскостей), найдем, что весь интеграл равен Z и не зависит от q. Таким образом, имеем

N(p_P-0)-N(p_P+0) = Z (10,3)

(А. Б. Мигдал, 1957).

Выше было указано, что Z>0. Поскольку #(р)^1,то из (10,3) следует, что

0<Z<1 (10,4)

(причем значение Z=l достигается лишь в предельном случае идеального газа).

Таким образом, распределение частиц по импульсам в ферми-жидкости при Т = 0 имеет, как и в газе, скачок на поверхности ферми-сферы, уменьшаясь в направлении изнутри сферы наружу. В отличие от случая газа, величина скачка, однако, меньше еди­ницы, и функция А/(р) остается отличной от нуля также и при р > р_Р, как это показано на рис. 1 сплошной кривой (пунктирная линия отвечает газу).

§11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина '

Знание гриновской функции системы достаточно для описания ее термодинамических свойств. При Т = О эти свойства выража­ются зависимостью энергии системы (совпадающей с энергией основного состояния Е₀) от плотности N/V.

После того как определен (решением уравнения (8,16)) закон дисперсии квазйчастиц г(р), эту зависимость можно найти, во­спользовавшись тем, что

e(pp)=ii. (11,1)

Поскольку зависимость p_F от N/V известна, согласно (1,1),

p_F=(3n*y/s(N/V)K3, (11,2)

равенство (11,1) определяет функцию \i(N/V) (хотя и в неявном виде, так как и закон дисперсии е (р) содержит, вообще говоря, р. как параметр). При Г = 0 (а потому и S = 0) химический потен­циал р -= (dE_Q/dN)_v; интегрируя это равенство, найдем искомую энергию

N

а

(при А/ = 0, разумеется, и Е₀ — 0).

Другой способ описания термодинамических свойств при Т = О состоит в вычислении термодинамического потенциала Q. Со­гласно общему определению (см. V § 24), этот потенциал Q=£—7\S — \xN = — PV и его дифференциал dQ = — SdT — Ыйц; при Г —0 имеем также и S = 0, и эти выражения сводятся к

Q=E — рА/, (11,4)

= — А/dp. (11,5)

Напомним также, что по смыслу потенциала Q он описывает свойства системы при V = const.

Простейший способ выразить Q через функцию Грина состоит в использовании связи (7,24) N/V с G. Подставив N из (7,24) в (11,5) и интегрируя по йц (при V = const), получим

Q(p) = 2_ty|dp.^limjG(co, р)е-™£^, (11,6)

поскольку, опять-таки, Q = 0 при р = 0.

§ 12. ^-операторы в представлении взаимодействия

Гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц нельзя, разумеется, вычислить в общем виде. Существует, од­нако математическая техника (подобная диаграммной технике квантовой теории поля), позволяющая вычислять ее в виде ряда по степеням энергии взаимодействия частиц. При этом каждый член ряда выражается через функции Грина системы свободных частиц и оператор взаимодействия.

Введем, наряду с гейзенберговским, еще и другое представ­ление операторов—представление, в котором их зависимость от времени определяется не истинным гамильтонианом системы

Н' = Я'⁽⁰⁾ + V = Я⁽⁰⁾ — \iN + V

(V—оператор взаимодействия), а гамильтонианом свободных частиц Я' ^т:

W₀{t, г) = ехр(1Я'⁽⁰'0^(г)ехр(— Ш'^Ч). (12,1)

Операторы и волновые функции в этом представлении (так на­зываемое представление взаимодействия) будем отличать индек­сом 0. Выразив функцию Грина через операторы Ф₀ (вместо гейзенберговских Ф), мы тем самым сделаем первый шаг к до­стижению поставленной цели —выражению G через G¹⁰' и V.

Обозначим в этом параграфе буквой Ф (или ср) волновые функции в «пространстве чисел заполнения» (в отличие от ко­ординатных волновых функций W или т|з); на эти функции дейст­вуют вторично-квантованные операторы. Пусть ср — такая функ­ция в шредингеровском представлении; ее зависимость от вре­мени определяется волновым уравнением

₁-^ _{= (я}мо₎₊у_)ф. (12,2)

В гейзенберговском представлении, где вся временная зависи­мость перенесена на операторы, волновая функция системы Ф вообще не зависит от времени: Ф = const. В представлении же взаимодействия волновая функция Ф₀ зависит от времени, но эта зависимость связана только со взаимодействием частиц

§ 12] ^-ОПЕРАТОРЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

61

в системе и определяется уравнением

i | Ф₀ = (О Ф.('), (12,3)

где

t>₀ = ехр (iH' «•» i)Vexp (— iH'ⁱ⁰⁾ t) (12,4)

— оператор взаимодействия в том же представлении (в опера­торах вида (7,6—7) переход к этому представлению сводится просто к замене W на Уравнение (12,3) легко получить, заметив, что преобразованию операторов, согласно (12,1), отве­чает преобразование волновых функций согласно

Ф_о = ехр(Ш'^(о,0ф (12,5)

(см. III § 12). Дифференцируя это выражение с учетом (12,2), получим (12,3) *).

В силу (12,3) значения Ф₀(0 в два бесконечно близких мо­мента времени связаны друг с другом равенством

Ф₀ (/ + 60 = [ 1 - iot ■ V_B (t)] Ф₀ (0 = ехр {- Ш ■ V₀ (t)} Ф₀ (t).

Соответственно значение Ф₀ в произвольный момент t может быть выражено через значение в некоторый начальный момент h (h < 0 ^как

Ct>o(0 = S('. *.)Ф.(*₀), (12,6)

где

S(t, g= П ехр{-»6*.?„(*,)}, '. (12,7)

причем сомножители в этом произведении расположены, оче­видно, справа налево в порядке возрастания времен t₍; подра­зумевается предел произведения по всем бесконечно малым ин­тервалам 6^ между t₀ и t. Если бы V₀(t) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к

*) Уравнение (12,3) совпадает с уравнением IV (73,5), и следующий ниже процесс его решения повторяет изложение в IV § 73.

Но такое сведение основано на коммутативности множителей, взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при переходе от произведения в (12,7) к суммированию в показателе. Для оператора V₀ (t) такой коммутативности нет и сведение к обычному интегралу невозможно. Вместо этого можно записать (12,7) в символическом виде

S(t, ^)=Texp|-i$V₀(Od*j, (12,8)

где Т—символ хронологического расположения множителей в той же последовательности, что в (12,7), т. е. справа налево от меньших времен к большим.

Оператор S унитарен (S~^l = S⁺) и обладает очевидными свойствами:

S(t₃, t₂)S(t_2i t₁) = S(t₃, t_t), П2 9)

s~Ht„ tjs-^ts, t₂) = s~Ht₃,

Для упрощения дальнейших рассуждений сделаем формаль­ное предположение (не отражающееся на окончательных резуль­татах), что взаимодействие V₀(t) адиабатически «включается» от t = — со к конечным временам и адиабатически «выключается» при t = + °°- Тогда при t —s- — со, до включения взаимодействия, волновая функция Ф₀(/) совпадаете гейзенберговской функцией Ф. Положив в (12,6) t₀ = — со, получим

Ф,(0 = $(*. -оо)Ф. (12,10)

Установив, таким образом, связь между волновыми функциями в обоих представлениях, мы устанавливаем тем самым и закон преобразования операторов, в том числе ^-операторов:

Y ₌ $-i(f, —oo)W₀S(t, —со). (12,11)

В силу унитарности S по такому же закону преобразуются и операторы Ф⁺.

Выразим теперь функцию Грина через ip-операторы в пред­ставлении взаимодействия¹). Пусть t_t > t₂; тогда

Ga»(X_it X_t)^-i<V_0l(t₁)Wi(t_t)> =

= -i -°°)*o«('i)S('i, -^S-¹^, -oo)x

xV$»(t_t)§(t_t, -oo)>.

Согласно (12,9) имеем

S(t_it-oo)S-Ht₂,-co)=§(t_it t₂)S(t₂, -oo)S-i(t₂, -oo)=$(t_it t_t), $-i(t_it -oo) = S-¹(<₁, -00)5-400, ^)S(oo, tj =

^l) Этот вывод повторяет рассуждения в IV § 100.

= S-*(oo, —co)S(co, tj).