§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа

Для иллюстрации рассмотренных в предыдущем параграфе общих соотношений вычислим функцию Грина идеального газа.

Шредингеровские ф-операторы всегда можно представить в виде разложения

^(r) = 2a_patl)_pa(r) (9,1)

а

по полному набору функций %_а—волновых функций свобод­ной частицы с импульсом р (и энергией р^г/2т), т. е. по плоским волнам

^ = yfe^ (9,2)

(«_a—спиновая амплитуда, нормированная условием ы_ам_а=1); такой выбор функций i])_pa не имеет отношения к реальному взаимодействию частиц в системе.

Но для системы невзаимодействующих частиц может быть записан в явном виде также и гейзенберговский 1]>оператор. В этом случае переход от шредингеровского к гейзенберговскому представлению сводится к введению в каждый член суммы в (9,1) соответствующего временного множителя

%(t, г) =£a_paap_pa(r)exp [—*(-^~I*)'] • (9,3)

pa

В этом легко убедиться, заметив, что матричные элементы гей­зенберговского оператора для всякого перехода i—►/ должны содержать множители ехр[—i(E(—Ej)t], где El, E'_f—энергии начального и конечного состояний (в данном случае это—соб­ственные значения гамильтониана Н' = Н—\x.N). Для перехода с уменьшением числа частиц в состоянии ра на 1 разность Е\—Ef = p²/2m—д, так что указанное требование выполнено.

Однако, вместо прямого вычисления функции Грина с по­мощью (9,3) по определению (7,10), удобнее свести сначала это определение к эквивалентному ему дифференциальному урав­нению. Для этого продифференцируем функцию G«p(X₁—Х₂) по t_x. При этом надо учесть, что в точке t₁ = t₂ эта функция разрывна. Действительно, согласно определению (7,10), скачок функции

[Gap] = Gap \t_{1 =} i, + 0 — G_ap \t_t=t₂-0 =

= -i<V_a(t_u rJTp+Ci, T_t) + %(t_it Г₂)ЗД, _Г1)>

или в силу (7,3) *)

[Gap] = -i6_ap8(r₁-r₂). (9,4)

Наличие скачка приводит при дифференцировании к появлению члена [G_ap]6(^—1₂). Поэтому

^G«p=-i(Ti^^^(X_il))-t6_ep6(r₁-r₁₁)6(<₁-/_a). (9,5)

Для системы свободных частиц гейзенберговский гр-оператор удовлетворяет уравнению

(ср.7,8)). Подставив эту производную в (9,5) и снова воспользо­вавшись определением (7,10), получим уравнение для функции Грина

где уже положено Gep = 6_apG⁽⁰⁾, а индекс (0) у G указывает отсут­ствие взаимодействия между частицами. Преобразуем это уравнение по Фурье:

«>-!r+n)^G0K p)⁼¹-

Определяя отсюда гриновскую функцию, надо добавить к со бес­конечно малую мнимую часть таким образом, чтобы мнимая

^гУ Подчеркнем, что величина этого скачка вообще не зависит от взаимо­действия частиц!

часть G имела правильный знак (в соответствии с (8,14)):

G⁽°>(co, р)= [cu-^ + fi + iO-signo]"¹. (9,7)

Полюс этого выражения лежит при со + р. = е (р) = р²/2т в соответ­ствии с тем, что в идеальном газе квазичастицы совпадают с ре­альными частицами. Химический потенциал идеального ферми-газа р = p²_F/2m. Для слабо возбужденных состояний р близко к p_F, так что можно заменить р²/2т «ц + и_р(р—р_Р) (где v_p = p_pJm) и для таких состояний переписать функцию Грина в виде

G«»(g>, p)=[(o-v_P(p-p_F) + iO-sign(o]-K (9,8)

При всяких интегрированиях с участием функции G⁽⁰⁾ нали­чие бесконечно малой мнимой части в ее знаменателе сущест­венно только вблизи полюса, когда u>ttv_F(p—р_Р). В этом смысле sign со в (9,7) можно заменить на sign (/?—р_р) и написать G⁽⁰⁾ в виде

G<°>(co, p) = [a-p²/2m + \i + iO-s\gn(p-p_F)]-K (9,9)

Такая замена существенна в том отношении, что в виде (9,9) G⁽⁰⁾ оказывается единой аналитической во всей плоскости функцией комплексной переменной со и для вычисления интегралов можно пользоваться методами теории аналитических функций.

Так, для вычисления интеграла (7,23) (распределение частиц по импульсам) при отличном от нуля отрицательном t замыкаем путь интегрирования (вещественная ось со) бесконечно удален­ной полуокружностью в верхней полуплоскости (после этого можно положить £ = 0). Интеграл

со — р²/2т + ц+ Ю- sign (р — р_Р)

определяется теперь вычетом подынтегрального выражения в по­люсе, находящемся в верхней полуплоскости. При р > р_Р такой полюс отсутствует, так что N{p) = Q. Если же р<р_Р, то нахо­дим N (р) = 1 —как и должно было быть для основного состояния идеального ферми-газа.