§91. Динамический формфактор ферми-жидкости

К ферми-жидкости неприменимы формулы (87,4—6) для форм-фактора при Т = 0, поскольку их вывод предполагает сущест­вование (при малых со и к) лишь фононной ветви спектра эле­ментарных возбуждений. Неприменима к ферми-жидкости также и развитая в §§ 88, 89 гидродинамическая теория флуктуации: она требует выполнения условия kl<^. \ (I—длина свободного пробега квазичастиц), заведомо нарушающегося в ферми-жид­кости, поскольку 1соТ~² и стремится при Т—>-0 к бесконеч­ности. Поэтому для вычисления формфактора ферми-жидкости надо обратиться к кинетическому уравнению.

При этом удобно исходить из формул (86,17—20), устанав­ливающих связь формфактора с обобщенной восприимчивостью по отношению к воздействию на жидкость некоторого поля U (t, г). В компонентах Фурье также и по координатам опре-

деление (86,18) записывается как

8n(co, к) = — а(со, к)с7_шк. (91,1)

Мы ограничимся случаем Т = 0. Тогда динамический форм-фактор выражается через а (со, к) согласно

( 2% Im а (со, к), со > О, па(со, к) = (_{0 § ю<0<} (91,2)

Возмущение же плотности бп(со,к) вычисляется с помощью кинетического уравнения, причем в нем можно (при Т—>-0) пренебречь интегралом столкновений. Эти вычисления отли­чаются от произведенных в § 4 для нулевого звука лишь тем, что в энергии квазичастицы добавляется член

U (t, r) = cW<kr-coO.

Соответственно в производной дг/дг (4,3) добавляется член dU/dr = ikU, а в левой стороне кинетического уравнения (4,8)— член

_ ikU ^д-^ = tkvt76 (8 — e_F).

Решение кинетического уравнения ищем в виде 6rt(p) = 5rt_(0k(p)e'(kr-coo_>

с / \ с/ v яФ , , р (91,3)

6ft_ak(p) = — б(е—e^gjj^xCn), "=р-

Это—фурье-компонента возмущения импульсного распределе­ния квазичастиц. Искомое же изменение плотности полного числа квазичастиц (совпадающей с плотностью числа истинных частиц) дается интегралом

8п(со, k) = Jбп_ак(р)₍-g-₃=-iiJx(n)g. U_ak.

Определение функции х(п) в (91,3) отличается от определения v(n) в (4,9) нормировкой: она выбрана здесь так, что форму­ла (91,2) принимает вид

по (со, k) = Im J х (n) % , со > 0. (91,4)

Для самой же функции % (п) получается уравнение

(о-оИсп) X(n) -vM JF % (n')^d^ = -kn Ц, (91,5) отличающееся от (4,11) своей правой частью.

Уравнение (91,5) не содержит в явном виде мнимых вели­чин. Появление мнимой части в его решении %(п) связано по­этому лишь с обходами полюсов в возникающих в процессе решения интегралах. Правило этих обходов определяется тре­бованием, чтобы наложенное на систему поле Ucoe~^iat адиа­батически включалось, начиная от t = —оо; для этого надо за­менить его частоту со—>-со + Ю.

Конкретный вид решения зависит от вида функции взаимо­действия квазичастиц F(b). Продемонстрируем ход решения и его свойства на простейшем примере функции F =const F₀.

В этом случае решение уравнения (91,5) имеет вид

x(")=g,_Fkn-^k:-_to» (91.6)

где С—постоянная. Последняя определяется обратной подста­новкой выражения (91,6) в (91,5), дающей

^С(1+/)=тЗ?' ^(91,7)

где

j _ С kn'vp do' J kn'vp— со — t'O 4л

Подынтегральное выражение зависит только от угла между п' и к, и после очевидной подстановки находим

,,_ч 1 С xdx , s. s+1 , ( isn/2, s<l, ^/(^s)=Y_i_i,-3^T₇o = l-yb —_{ +|_{0 > g>1>} (91,8)

где s = co/to_F (мнимая часть интеграла отделяется по прави­лу (8,11)).

Подставив функцию %(п) из (91,6—8) в (91,4), получим ди­намический формфактор

по (со, к)=Щ?\т, Ji^S)_t, (91,9)

^v пФ ¹ + ^F«^! (^s)

(Л. Л. Абрикосов, И. М. Халатников, 1958). В силу (91,8) он отличен от нуля при s< 1, т. е. при всех со < kv_F.

Если F₀ > 0, то в ферми-жидкости возможно распростране­ние нулевого звука со скоростью и₀, определяемой уравне­нием (4,15):

l+FJ(s₀) = 0, s₀ = m₀/v При значениях s вблизи s₀ выражение (91,9) принимает вид

const - Im —— , s — so

причем, согласно сказанному выше, s — <o/kv_F надо понимать, как s + Ю. Это значит, что в о (со, k) появляется еще и б-функ-ционный член вида const-6(s—s₀), или

о (со, k) = const • k& (со—ku₀). (91.10)

Этот член представляет собой вклад в формфактор, обязанный нуль-звуковой ветви энергетического спектра ферми-жидкости; он вполне аналогичен фононному вкладу (87,4) в формфактор бозе-жидкости.

Существование такого члена не связано, конечно, с предпо­ложением F = const и является общим свойством ферми-жидко­сти, в которой возможно распространение нулевого звука; "от закона взаимодействия квазичастиц зависит лишь значение постоянного коэффициента в (91,10). Без правой части уравне­ние (91,5) совпадает с уравнением нулевого звука; поэтому решение неоднородного уравнения имеет полюс при со/& = и₀.

Из вида уравнения (91,5) ясно, что его решение зависит от параметров со и k лишь в виде отношения со/&. Функцией этого отношения будет, следовательно, и динамический формфактор. Статический же формфактор

со

^{o(fc) = J о-(со, k)~}

— со

будет, следовательно, иметь вид

a(ft) = const-fc. (91,11)

Это значит, что одновременная пространственная корреляцион­ная функция флуктуации плотности приГ = 0 в ферми-жидко­сти (как и в бозе-жидкости) следует закону v (г) со г^-4.

Отметим, наконец, что динамический формфактор идеального ферми-газа может быть получен из (91,9) переходом к пределу F₀-+0:

(в согласии с результатом задачи 1 в V § 117).

о (со, k)=-^-, 0<a<kv_F. При этом статический формфактор

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ»)

Аномальные функции Грина 150, 198 Антиферромагнитный резонанс 369 Асимптотика корреляционной функции 411, 429, 431, 447

Бесщелевые полупроводники 335 ■= сверхпроводники 259

Взаимодействие атомов о металлической по­верхностью 407 Вика теорема 65, 71, 72, 154, 183 Вихревые кольца 143

— нити в сверхпроводниках 231, 237 Волновая функция сверхпроводящих пар