1. Найти корреляционную функцию флуктуации числа растворенных час- тиц в слабом растворе.

. Решение. Плотность п числа растворенных частиц удовлетворяет урав­нению диффузии

dt

(D—коэффициент диффузии). В слабом растворе одновременные значения плотности в различных точках пространства не коррелированы друг с другом (подобно отсутствию одновременной корреляции ,для плотности идеального газа); поэтому одновременная корреляционная функция

<бп (г_х) бя (г₂)> = пб (Г!—г₂).

Аналогично формуле (89,25), находим

... ₂, _ 2nkW

В этом решении мы пренебрегаем термодиффузией, вследствие чего флук­туации п могут рассматриваться независимо от флуктуации температуры.

2. Найти корреляционную функцию флуктуации давления в жидкости, обладающей большой диспергирующей второй вязкостью £ (со) (связанной с медленной релаксацией некоторого параметра).

Решение. Наличие медленных процессов релаксации приводит к по­явлению второй вязкости вида

ЕМ-Г^ <»--«*'

где т—время релаксации; щ—равновесная скорость звука; — скорость звука [при постоянном значении релаксационного параметра (см. VI § 78). Уравнения (89,20—21), а с ними и (89,22) справедливы также и при наличии дисперсии. Положив £ = £ (со) и пренебрегая членами, происходящими от ц и и, получим после вычисления

§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов

Полученным в § 88 формулам (88,20—21) можно придать новый аспект, прочтя их «справа налево», т. е. рассматривая их как выражения для коэффициентов теплопроводности и вяз­кости. При этом корреляционные функции в левых сторонах равенства можно выразить, согласно их определению, через операторы некоторых величин, имеющих микроскопический смысл; в результате через эти операторы оказываются выра­женными кинетические коэффициенты жидкости.

Прежде всего надо учесть, что отсутствие корреляции меж­ду флуктуациями «случайных» потоков энергии и импульса в различных точках пространства (б-функция б (г_х—г₂) в форму­лах (88,20—21)) является следствием гидродинамического при­ближения; последнее справедливо лишь при малых значениях волнового вектора. Чтобы выразить это условие в явном виде, запишем формулы в компонентах фурье-разложения по прост­ранственным координатам (что сводится к замене множителей б'(г_х—г₂) единицей) и перейдем к пределу к—*0. Так, формулу (88,20), свернутую по паре индексов i, k,

(g^(1,g^(2,Xo = 36 (r-i-rj fl(oT cth ~ • Re к (со) запишем в виде

^Нех(м)=з1Ь^1Ь2т1»^п₀^г_к- (9o,i)

Легко видеть, что при такой записи можно заменить в этой формуле «случайный» поток тепла g на полный поток энергии, который обозначим через Q. Последний, как известно из гид­родинамики, складывается из потока конвективного переноса энергии и потока тепла q:

Q = (д + ау) pv + q ttpwv — xYT + g (90,2)

(w—тепловая функция единицы массы жидкости; в последнем выражении опущен член с более высокой степенью флуктуа­ционной скорости v). Но при малых к флуктуации реальных физических величин (v, Т, р и т. п.) содержат, по сравнению с флуктуациями случайных потоков, лишнюю степень к, и по­тому в пределе к—s-О флуктуации g совпадают с флуктуация­ми Q. Это сразу очевидно уже из того, что в уравнении дви­жения гидродинамических флуктуации (88,6—8) потоки g и s_ik входят только под знаком пространственных производных, а

указанные физические величины—также и в виде производных по времени; после перехода к фурье-компонентам, следова­тельно, вторые оказываются порядка /г/со по отношению к первым.

В отличие от g, полный поток энергии Q есть величина, имеющая прямой механический смысл, и ей отвечает определен­ный квантовомеханический оператор Q (t, г), выражающийся через операторы динамических переменных частиц среды. Вспомнив определение корреляционной функции через операто­ры (гейзенберговские) соответствующей величины, приходим, таким образом, к формуле

_{Re х (со) = th ^ X}

X

lim \ \ e«"'-^kr> <Q {t, г) Q (0, 0) + Q (0, 0) Q (t, r)> dt d³x (90,3)

k-+0

(M. S. Green, 1954).

Более целесообразное представление функции х(со) получит­ся, однако, если воспользоваться формулой, выражающей кор­реляционную функцию через коммутатор соответствующих опе­раторов.

Если х_а(г), х_ъ(г) —две флуктуирующие величины (равные нулю в равновесии и ведущие себя одинаковым образом при обращении времени), то их корреляционная функция, согласно (76,1) и (75,11), может быть представлена в виде

(W% = cth^Rep»4fo(', г_г), x_b(0, r₂)}>dt, о

где скобки {.,.} означают коммутатор. Перейдя к фурье-разло-жению по координатам r = rj—г₂, получим формулу

СО

^(x_a^x_b⁾_ak^{=cth^. Re jp<"><K('.' г), *»(0, 0)}>dtd3x. (90,4)}

о

Применив эту формулу к корреляционной функции (Q²)_mk и подставив в (90,1), получим

со

Rex (co) = 3^HmRe j JV (^и'-^кг> <{Q (г, r), Q (0, 0)}>dtd³x.

Справа и слева в этой формуле под знаком Re стоят функ­ции со, стремящиеся к нулю при со—юо и не имеющие особен­ностей в верхней полуплоскости комплексной переменной со. Из равенства вещественных частей таких функций на вещест­венной оси со следует также и равенство самих функций, и мы приходим к окончательной формуле:

х(©)=^Пгп Це?№-ЪфУ, г), Q(0, 0)}>d/d»x. (90,5)

Чтобы получить статическое значение коэффициента теплопро­водности, надо затем перейти и к пределу со—»-0.

Аналогичным образом можно преобразовать формулу (88,21) и получить операторное выражение для коэффициентов вяз­кости.

Если ввести полный поток импульса o_ik — — P8_ik + a'_ik (cr_rt из (88,9)), то в пределе к—>-0 флуктуации всех членов, кроме s_ik, обратятся в нуль, так что в этом пределе можно заменить корреляционную функцию (s_iks_lm)_ak на (a_rta_im)_ak. В результате получим формулу

Я И (&iAm + SiAl—J S/Ая) + I (©) &,A_m =

00

= 1 lim f f e^lW-W<{o_ik(t, r), S_[m(0, 0)}>dtd*x, (90,6)

где o_ik(t, r)—оператор плотности потока импульса (Я. Mori, 1958). Свернув это равенство по парам индексов i, k и /, т или i, I и k, т, получим отдельные выражения соответственно для % или 10т] + 3£.