§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде

В этом параграфе мы рассмотрим гидродинамические флук­туации в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача может быть, конечно, решена изложенным в предыдущем пара­графе методом. Мы, однако, сделаем это здесь другим способом, проиллюстрировав тем самым альтернативный метод решения задач о гидродинамических флуктуациях.

Этот метод использует общую теорию квазистационарных флуктуации в ее более ранней стадии, до введения случайных сил. Напомним относящиеся сюда общие формулы (см. V§ 122).

Пусть

Ха = -2КъХ_Ь (89,1)

b

— макроскопические «уравнения движения» для набора величин x_a(t), описывающих неравновесное состояние системы (в равно­весии все х_а = 0); эти,уравнения справедливы, если величины х_а велики по сравнению с их средними флуктуациями (но в то же время настолько малы, чтобы была допустима линеаризация уравнений движения). Тогда можно утверждать, что таким же уравнениям удовлетворяют (при t > 0) корреляционные функ­ции флуктуации

^<x_a{t)x_c(0)> = -^Kb'<x_b(t)x_c(0)>, t>0. (89,2)

Р

Начальным условием к этим уравнениям служат равенства

<x_a(t)x_c(0)>\t= ₊ o = <x_ax_c>, (89,3)

где <.х_ах_су—одновременная корреляционная функция, предпо­лагаемая известной. В область t < 0 корреляционные функции продолжаются по правилу

<*_в(0М0)> = ±<*Л-0*Л0)>, (89,4)

причем верхний знак относится к случаю, когда обе величины х_а и х_с четны (или обе нечетны) по отношению к обращению времени, а нижний знак—к случаю, когда одна из величин четна, а другая нечетна. Решение уравнения (89,2) с условием (89,3) осуществляется путем одностороннего преобразования Фурье: умножив уравнение на е^ш и проинтегрировав по i в пределах от 0 до со (причем интеграл в левой стороне урав­нения преобразуется по частям), получим систему уравнений

_{— ш (хахе)£> = — 2 + <хахс> (89,5)}

- b

для величин (функций частоты)

со

(*Л)со^+> = J **" <х_а it) х_ъ (0)> dt. (89,6)

о

Обычные же фурье-компоненты корреляционной функции вы­ражаются через величины (89,6) согласно

со

(х_ах_ь)_а = J е<™ <х_а (t) x_b (0)> dt =*

— 00

= ix_ax№ ± l(x_aXb)^f = (x_ax_by» + (х_ьх_аУ+Ъ, (89,7) где знаки ± отвечают знакам в (89,4).

Переходя к поставленной задаче о флуктуациях в непод­вижной жидкости, прежде всего линеаризуем гидродинамиче­ские уравнения (88,6—8) с a'_ik и q из (88,9—10) (без последних членов). Положив р = р₀ + бр, v = 8v, ... и отбрасывая нели­нейные члены, получим

^ + pdivv = 0, (89,8)

p^=__V8P + r|AvVdivv, (89,9)

^ = ^А6Т (89,10)

(после линеаризации индекс 0 у постоянных величин р₀, ... отбрасываем). В уравнениях (89,8—10) будет удобным сразу разделить скорость на потенциальную («продольную») и вихре­вую («поперечную») части v^U) и v^U) согласно определению

v = v⁽» + v^(f), (89,11)

divv«> = 0, rotv^u> = 0.

В (89,8) остается только продольная скорость:

^ + pdivv»> = 0, (89,12)

а (89,9), распадается на два уравнения

dv«>

-ar~ir^Avlfl' ^{89,13)

p^=__V6P+(c+^) v-divv«>. (89,14)

Уравнение для поперечной скорости независимо от осталь­ных уравнений. Соответственно этому, и для корреляционной функции ее флуктуации имеем одно уравнение

j_t<vf{t, r)i#>(0, 0)>-vA<oi"(f, r)4"(0, 0)> = 0 (89,15)

(где v —т]/р — кинематическая вязкость). Подвергнув его одно­стороннему преобразованию Фурье, получим

- ш (w}<> (г) ojf' (0))L⁺⁾ -vA (»J<> (r) vf> (0))^' = <vp (r) i#> (0)>

(где справа стоит одновременная корреляционная функция), или, переходя к фурье-компонентам по координатам:

Одновременная корреляционная функция флуктуации скорости дается формулой (88,5); перейдя в ней к фурье-компонентам и отделив поперечную часть, имеем

(W)k=j(6_ft-f). (89,16)

Подставив это в предыдущую формулу, окончательно получим³³) («%k =2Re(«')<⁺_k>=f (⁸⁹-¹⁷)

Для остальных переменных имеем систему связанных друг с другом уравнений (89",10), (89,12), (89,14). Эта система, одна­ко, упрощается в предельных случаях больших или малых час­тот. Дело в том, что возмущения продольной скорости и дав­ления распространяются в жидкости со скоростью звука и, а возмущения энтропии—согласно уравнению теплопроводности. Последний механизм требует времени ~l/%k³⁴ для распростра­нения возмущения на расстояние ~l/k (% = v<lpc_p—температу­ропроводность среды). Поэтому для частот, удовлетворяющих (при заданном значении волнового вектора) условию

%k³⁵<^v>~ku, (89,18)

можно считать, что флуктуируют только v^U) и Р при постоян­ной энтропии. Напротив, при

%k³⁶~cu<^ku (89,19)

происходят изобарические флуктуации энтропии³⁷).

Рассмотрим сначала первую, высокочастотную область (89,18) и определим, например, флуктуации давления.

Уравнение (89,14), переписанное для корреляционных функ­ций, имеет вид

^<v«>(f, r)8P(0, 0)> = -grad<6P(*, r)6P(0, 0)> +

+ (S + j)grad div<v«>(^, r)6P(0, 0)>,

а начальным условием к нему служит равенство нулю одно­временной корреляции \^и) и 6Р. Произведя одностороннее пре­образование Фурье по времени и полное преобразование покоординатам, получим отсюда

-тр(мЩРу+) = -Ik(8px_k⁾^-{z + ⁴i) k(kv'⁽»8P)(+>. (89,20) Далее, в уравнении (89,12) пишем

⁸И1).^№+Й)р^&=>-Кз?)Л

a d8s/dt выражаем с помощью уравнения (89,10), написанного в виде

56s к [дТ\ _4Sn

(членом с A8s в правой стороне пренебрегаем по сравнению с d8s/dt в силу условия %№<<с.(о). Это приводит к уравнению

F.f-¥(S)>+P<"v"> = 0.

Соответствующее уравнение для корреляционных функций снова получается отсюда заменой 8Р и v⁽ⁿ соответственно на <8P(t, r)6P(0, 0)> и <v^U)(t, г)8Р(0, 0)>, а начальным усло­вием к нему служит (88,3). После фурье-преобразований это уравнение дает

^{[-5 + ^о ^у-^ (8P%y + i}_P^{(kv<4p)^ =} ₉^{T. (89,21)}

Из двух уравнений (89,20—21) находим после некоторых преобразований

^{(б^)}_юк ^{= 2 Re (8Ps)(}_t^> ₌ ^{2 Re ^g^^S ■ <38'22)}

где

⁷ . 2ри

_{г+з'+^ет <}³⁹_-²³₎

— коэффициент поглощения звука в среде (см. VI §* 77), а у_т— его часть, связанная с теплопроводностью. Выпишем оконча­тельный ответ для области частот вблизи значений a = ±ku, где флуктуации особенно велики:

(^-(co/^TuY ⁽⁸⁹'²⁴⁾

Эта формула справедлива при |со +ku\^иу¹).

В низкочастотной области (89,19) достаточно рассмотреть, как уже было указано, флуктуации энтропии, пренебрегая при этом флуктуациями давления. Это значит, что в уравнении (89,10) можно положить

\\dsjp с_р

(теплоемкость с_р относится к единице массы). Поэтому для искомой корреляционной функции имеем уравнение того же типа, что и (89,15), а начальное условие к нему дается выра­жением (88,4). В результате найдем

2с чк^ъ

(^6s2)»^k = fc^T^- ^(89,25)

Задачи