§ 87] Правило сумм для формфактора 431

при Г = 0:

о

(D. Pines, Ph. Nozieres, 1958). Задача

Найти корреляционную функцию v (г) в бозе-жидкости на расстояниях r^flu/T при температурах Т <^.Т\.

Решение. Искомая корреляционная функция определяется формфак­тором при значениях k — l/r ^ Т/%и <^ 1/а, для которых энергетический спектр жидкости—фононный. При Т Ф О в а (со, к) имеется член с 6(co + feu), отве­чающий поглощению фонона, наряду с членом с б (со — ku), отвечающим испусканию фонона. Коэффициенты в этих членах можно определить с помощью (86,14) и (87,3):

а (со, *0=^7 [1 -е-^%к"/^т]-¹ {б (со —ta) + _e~^Uul^T б (со + йи)}, (1) Интегрируя это выражение, находим

⁰^⁼2^^cthir ⁽²⁾

v(r) = C>«x f ^k'cth^dk.

Замыкая путь интегрирования no dk бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексного k, сводим интеграл к сумме вычетов в полюсах (расположенных на мнимой оси). При r^fvu/T главный вклад в интеграл возникает от вычета в полюсе при %kuj2T = »я:

S"⁷"⁸ / 2л.Г \ mu*Wr \ Ъи )

При условии aT/fvu<^.l характерное расстояние затухания функции v (г) оказывается много большим межатомных расстояний, на которых убывают эффекты, связанные с прямым взаимодействием между атомами. При этом в формулу (3) существенно входит К, так что описываемая ею корреляция имеет квантовый характер. Отметим, что при выводе мы пренебрегали вкладом ван-дер-ваальсовых сил. Как следует из результатов § 83, этот вклад имеет сте­пенной характер и является главным на достаточно больших расстояниях. Расстояния, на которых происходит переход от (3) к (83,16), зависят от кон­кретного соотношения между коэффициентами, но область применимости фор­мулы (3) всегда имеется при достаточно низких температурах, поскольку на границе области применимости при г — %и/Т, согласно (3), v « Т* а согласно (83,16), v ~ Th

§ 88. Гидродинамические флуктуации

В предыдущих параграфах мы рассматривали флуктуации плотности жидкости при произвольных частотах со и волновых векторах к. При этом, разумеется, конкретный вид корреляци­онной функции не мог быть найден в общем случае. Это можно, однако, сделать в гидродинамическом пределе, когда длина волны флуктуации велика по сравнению с характерными ми­кроскопическими размерами (межатомными расстояниями в жид­кости, длиной свободного пробега в газе).

Вычисление одновременных корреляционных функций флук­туации плотности, температуры, скорости и т. п. в неподвижной жидкости не требует особого исследования: эти флуктуации (в классическом, т. е. неквантовом пределе) описываются обыч­ными термодинамическими формулами, справедливыми для любой среды, находящейся в тепловом равновесии. Корреляции между одновременными флуктуациями✓в различных точках простран­ства распространяются на длины порядка величины межатом­ных расстояний (при этом мы пренебрегаем слабыми дально-действующими ван-дер-ваальсовыми силами). Но эти расстоя­ния рассматриваются в гидродинамике как бесконечно малые. Поэтому в гидродинамическом пределе одновременные флуктуа­ции в различных точках не коррелированы. Формально это утверждение следует из аддитивности термодинамической вели­чины—минимальной работы R_min, требуемой, для осуществления флуктуации. Поскольку вероятность флуктуации пропорцио_: нальна ехр(—R_miJT), то, представив /?_min в виде суммы членов, относящихся к отдельным физически бесконечно малым объемам, мы найдем, что вероятности флуктуации в этих объемах незави­симы друг от друга.

Имея в виду эту независимость, можно сразу переписать известные формулы для средних квадратов флуктуации термоди­намических величин в заданной точке пространства (см. V§ 112) в виде формул для корреляционных функций. Так, согласно формуле

-для флуктуации температуры в объеме V (р — плотность;

с₀ —теплоемкость, отнесенная к единице массы среды) пишем сначала

<6Г(г_а)бГ(г_ь)> = ^б_аЬ, где флуктуации относятся к двум малым объемам V_a и V_b,

Устремив затем величину объемов к нулю, получим *)

<бГ(г1)б7'(г₂)> = £б(г₁-г₂). (88,1)

Аналогичным образом записываются формулы для флуктуации других термодинамических величин:

<бр (г,) бр (г₂)> = рТ _то (r_f-r₂), (88,2)

<6Р (г,) 6Р (r₂)> = рТ (^)_s6 (_Г1-г₂) = _РГи»6 (_Г1-г₂), (88,3)

<6^(r₁)6_S(r₂)> = ^S(r_i-r₂) (88,4)

(Р—давление; s—энтропия единицы массы среды); при этом флуктуации пар величин р, Т и Р, s независимы. Выпишем также формулу для флуктуации макроскопической скорости жидкости v (равной нулю в равновесии):

<&>, (г,) bv_k (г₂)> = £ б_;лб (_Г1-г₂). (88,5)

Специфичным для гидродинамики является вопрос о времен­ных корреляциях флуктуации, а также вопрос о флуктуациях в движущейся жидкости. Решение этих вопросов требует учета диссипативных процессов в жидкости—вязкости и теплопровод­ности.

Построение общей теории флуктуационных явлений в гидро­динамике сводится к составлению «уравнений движения» для флуктуирующих величин. Это может быть сделано путем вве­дения соответствующих дополнительных членов в гидродинами­ческие уравнения (Л. Д. Ландау, Е.-М. Лифшиц, 1957).

Уравнения гидродинамики, написанные в виде

g + div(pv) = 0, (88,6)

Pr(S5 + ^)-T^(g + g)-dIvq (88,8)

^г) Эта и следующие формулы для одновременных корреляций в случае газов справедливы для флуктуации с длинами волн, большими лишь по срав­нению с межмолекулярными расстояниями, но не обязательно большими по сравнению с длиной пробега. Последнее условие требуется, однако, для раз­новременных корреляционных функций в гидродинамическом приближении (поскольку микроскопический механизм распространения возмущений в газах определяется именно длиной пробега частиц).

без спецификации вида тензора напряжений a'_ik и вектора по­тока тепла q, выражают собой просто сохранение массы, им­пульса и энергии. Поэтому в такой форме они справедливы для любого движения, в том числе для флуктуационных изменений состояния жидкости. При этом под р, Р, v надо понимать сум­му значений величин р₀, Р₀, v₀, . . . в основном движении и их флуктуационных колебаний бр, 6Р, 6v, ... (по последним, конечно, уравнения всегда могут быть линеаризованы).

Обычные выражения для тензора напряжений и потока теп­ла связывают их соответственно с градиентами скорости и гра­диентом температуры. При флуктуа'циях в жидкости возникают также местные спонтанные напряжения и потоки тепла, несвя­занные с указанными градиентами; обозначим их посредством s_ik и g и будем называть «случайными». Таким образом, пишем

(88,9) (88,10)

(т], £—коэффициенты вязкости; х — коэффициент теплопровод­ности) .

Задача заключается теперь в установлении свойств s_ik и g — в определении их корреляционных функций. Для простоты про­ведем все рассуждения для естественного в гидродинамике случая неквантовых флуктуации; это значит, что частоты флук­туационных колебаний предполагаются удовлетворяющими усло­вию %®<^Т. При этом коэффициенты вязкости и теплопровод­ности будем считать не диспергирующими, т. е. не зависящими от частоты колебаний.

В общей теории флуктуации (изложенной в V §§ 119—122) рассматривается дискретный ряд флуктуирующих величин x_lt х₂, ..., между тем как здесь мы имеем дело с непрерывным рядом (значения р, Р, . .. в каждой точке жидкости). Это не­существенное затруднение мы обойдем, разделив объем тела на малые, но конечные участки AV и рассматривая некото­рые средние значения величин в каждом из них; переход к бесконечно малым элементам произведем в окончательных фор­мулах.

Будем рассматривать формулы (88,9—10) в качестве уравнений

ь

(88,11)

общей теории квазистационарных флуктуации (см. V (122,20)), причем в качестве величин х_а выберем значения компонент тен­зора a'_ik и вектора q в каждом из участков AV; тогда величи­нами у_а являются s_ik и g:

x_a-+o'tk, Чи _{88)12)

Уа *" ^sik< 8i-

Смысл же термодинамически взаимных величин Х_а выясняется путем привлечения формулы для скорости изменения полной энтропии жидкости S. Обычным путем (ср. VI § 49) с помощью уравнений (88,8—10) находим

_{МгЗКЮ-^К} ⁽⁸⁸_'^|3)

Заменив этот интеграл суммой по участкам AV и сравнив его затем с выражением

5 = 2 х_аХ._а,

а

найдем, что

«■(£+£,)т.£,⁴"- <⁸⁸.'⁴>

Теперь легко найти коэффициенты у_аЬ, непосредственно оп­ределяющие искомые корреляции согласно формулам

<Уа Сi) Уъ (Ф = (УаЬ + Уьа) 6 (t.-t,) (88,15)

(см. V (122, 21а)).

Прежде всего замечаем, что в формулах (88,9—-10) нет чле­нов, которые связали бы a'_ik с градиентом температуры, a q — с градиентами скоростей. Это значит, что соответствующие ко­эффициенты у_аЬ = 0 и в силу (88,15) имеем

<s«('i. О &(*„г,)> = 0, (88,16)

т. е. значения s_ik и g вообще не коррелированы друг с другом.

Далее, коэффициенты, связывающие значения q_{ со значе­ниями (AVlT²)dT/dx_h равны нулю, если эти величины взяты в разных участках AV, и равны y_ik = xT²o_ik/AV, если они берутся в одном и том же участке. С этими значениями у_аЬ по форму­ле (88,15) получим после перехода к пределу AV—*0:

<gi(h. h)g_k(h. r₂)> = 2xT²6,._ft6(r_I-r₂)6(r₁-y. (88,17)

Аналогичным образом получаются формулы для корреляци­онных функций случайного тензора напряжений <s_ik{t_v r_l)s_[m(t₂, r₂)> =

= 27'[т1(б_/|б_А. + 6_/в6„)+(С-^)б,Л-]в(г₁-г_в)б(^₁). (88,18)

Формулы (88,16—18) решают, в принципе, поставленный вопрос о вычислении гидродинамических флуктуации в любом конкретном случае. Ход решения задач при этом таков. Рас­сматривая s_ik и g как заданные функции координат и времени, решаем формально линеаризованные уравнения (88,6—8) отно­сительно величин бр, 6v, учитывая при этом необходимые гидродинамические граничные условия. В результате получим эти величины, выраженные в виде некоторых линейных функ­ционалов от s_ik, g. Соответственно любая квадратичная по бр, 6v, ... величина выражается через квадратичные функционалы от s_ik, g, после чего их среднее значение вычисляется с помощью формул (88,16—18), и вспомогательные величины s_ik, g выпа­дают из ответа.

Выпишем формулы (88,16—18) также и в фурье-компонентах по частотам, причем сделаем это сразу в виде, обобщающем формулы на случай квантовых флуктуации. Согласно общим правилам флуктуационно-диссипационной теоремы, такое обоб­щение достигается путем введения дополнительного множителя ф®12Т) cth (ftco/27') (обращающегося в единицу в классическом случае, ftax^T). При наличии дисперсии вязкости и теплопро­водности величины т|, £, х являются комплексными функциями частоты; при этом в формулах для флуктуации tj, £, х заменя­ются вещественными частями этих функций:

(5?*'Л = 0, (88,19)

(gW)» = 6,*6(r_i-r₁) AtoT-cth^ • Rex (со), (88,20)

(«)_ш=Ьб(_Г1-г₂)сШ§£х

x[(6„6_te + e,Ai-|fi,A») ReriH + e^ReSH] . (88,21)